奇異譜分析-灰色混合模型在深基坑變形預測中的應用

盧鴻榮

(廣東省核工業地質局測繪院,廣東 廣州 510800)

0 引言

隨著中國城市化進程的不斷推進,超高層建筑物、大型商場、地鐵、地下街道等基礎設施的數目快速增長,使得基坑開挖的規模、深度和難度不斷增加。在基坑施工過程中,對基坑的變形進行監測以及預測,對確保施工安全尤為重要[1]。

從20世紀60年代末開始,國外便開始進行基坑變形監測,以預防塌方事故發生。我國的基坑變形監測雖起步較晚,但經過多年的發展,高精度電子水準儀、智能自動化全站儀、測量機器人、三維激光掃描儀、全球導航衛星系統等得到了應用[2-4]。

在基坑等建筑物變形預測方面,專家學者們開展了大量的研究工作。郭松等提出了基于ARMA等模型的基坑沉降時間序列預測分析方法[5],張巧英等提出了基于灰色模型的位移變形預測方法[6]。鑒于單一模型各有優缺點,張善廷等利用時間序列模型和灰色模型進行組合,并通過工程實例驗證了組合模型的可行性[7]。劉杰、王璐、滕浩等將傳統預測模型與人工神經網絡進行組合,取得了比單一模型更好的效果[8-10]。此外,還有馬爾科夫鏈、支持向量機、卡爾曼濾波等方法被用于基坑變形的預測研究[11-13]。

考慮到在基坑監測中獲取的數據中既包含有基坑變形的趨勢信號又包含有噪聲信號,本文將奇異譜分析和灰色預測模型進行結合,通過奇異譜分析重構趨勢信號,提升灰色模型的擬合優度和基坑變形預測的準確度。

1 奇異譜分析

奇異譜分析(Singular Spectrum Analysis,SSA)是一種強大的非線性時間序列分析工具,能根據觀測數據構造軌跡矩陣,然后進行分解和重構,以提取出代表原始時間序列不同成分的分量,包括趨勢、周期、噪聲等分量,從而能更準確地對時間序列進行分析和預測。奇異譜分析主要包括以下4個步驟[14]：

1)嵌入：通過選擇合適的窗口將原始的一維時間序列,{X(t)：t=1,2,…,N},轉換到相空間,得到軌跡矩陣：

(1)

式中：K=N-L+1。

(2)

3)分組：將下標分組為不相交的子集I1,I2,…,Im,并在組內進行相加,例如,對子集I1={1,2,…,p},相應地YI1=Y1+Y2+…+Yp,進而有Y=YI1+YI2+…+YIm。

(3)

2 灰色系統模型

在深基坑施工過程中,由于造成基坑各項變形的力學構成因素以及地質因素等復雜多變,很難明確地分析這些因素及其影響力,因此通過精密的力學模型來實現對深基坑變形的有效分析是很難的?；疑到y理論可通過如累加、累減、映射等信息處理方式,弱化原始數據序列的隨機性,將其轉化為有規律的數據序列,并通過一階線性微分方程進行近似的離散,建立起帶參數的灰色模型,利用最小二乘方法對該灰色模型進行參數估計,將得到的預測數據序列進行逆變換獲得原始的預測序列,并與原始系列進行對比,檢驗灰色模型的預測精度[15]。

文獻[15]對灰色模型進行了詳細的闡述,其中GM(1,1)模型采用一次累加(1-AGO)生成灰色序列,假設原始數據序列為X(0)={(x(0)(i),i=1,2,…,n},且原始數據序列為非負單調的,其一次累加生成的灰色序列為X(1)={x(1)(k),k=1,2,…,n},其中：

(4)

令生成的新的數據序列X(1)的緊鄰均值生成序列為Z(1)={z(1)(k),k=2,3,…,n},其中：

z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)

(5)

則定義基本灰微分方程為：

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(6)

式中：x(0)(k)代表灰系數;a代表發展系數;z(1)(k)代表白化背景值;b代表灰作用量。

將k=2,3,…,n代入式(6)中的基本灰微分方程可以得到：

(7)

將式(7)整理成矩陣形式有：

yn=BP

(8)

式中：yn=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T;

求解式(8)中的矩陣方程,得到P的解：

(9)

3 奇異譜分析-灰色串聯預測模型

當原始數據中包含較多噪聲時,灰色模型無法區分有效信息與噪聲信息,從而可能導致預測模型精度不高。為了提高基坑變形分析的準確性,本文在利用監測信號進行預測分析之前先對信號進行降噪處理。

首先,對獲取的基坑變形監測數據進行延時嵌入相空間,通過奇異值分解獲得特征值與特征向量。然后,篩選貢獻率最大的幾個特征值為一組,并根據該組的合成矩陣重構出基坑變形的趨勢信號。最后,從當前時點往前選取一段時間的監測數據用于構建灰色系統,并對未來多個時間步的變形進行預測。奇異譜分析-灰色模型流程圖見圖1。

圖1 奇異譜分析-灰色模型流程圖Fig.1 Flowchart of singular spectrum analysis-grey prediction model

4 工程案例

4.1 工程概況

廣州某人行地道采用“工”字形布置,主通道長度為85 m。地道凈寬為4 m,凈高為3 m,地道內設置了泵房、設備房及電梯井。鋼板樁以內的基坑最寬處寬為9.610 m,最深處深為8.937 m,人行通道主體部分的基坑深度為5.80 m;每個基坑周長均為410.79 m。

4.2 測點布置

該工程共布設了28個水平位移和沉降監測點,沿基坑坡頂采用淺埋式布設水平和沉降一體化布置,編號為S29～S56,平均布點間距為14.7 m,監測點布設如圖2所示。 監測時間覆蓋從基坑開挖至土方回填結束的全過程。從2017年5月23日至2017年7月3日,歷時42 d,最小監測間隔1次/d,最大監測間隔1次/5 d,總監測期數為22次。因篇幅所限,本文以S52號監測點沉降數據、S53號監測點水平位移數據為例,實測數據詳見表1,展開變形預測分析。

表1 監測點S52和S53的實測數據

圖2 監測點布設圖Fig.2 Layout of monitoring points

4.3 數據重構

首先,選取嵌入延時為1和嵌入維度為7,將基坑變形的原始監測數據轉為軌跡矩陣。通過奇異值分析,獲得一系列的特征根和特征向量。選取貢獻率大于0.001的特征值進行組合與重構,獲得基坑變形的趨勢分量。

圖3(a)為采用奇異譜分析對S52監測點沉降數據進行重構前后的對比圖。其中,圓形曲線為實測數據,正方形曲線為重構后的數據。圖3(b)為重構前后曲線的殘差,經ADF檢驗和KPSS檢驗,結果表明殘差為平穩序列,也就是說殘差中已不包含趨勢分量,說明重構序列已充分反映基坑變形的趨勢。對比重構前后的曲線,可見原始監測數據存在一定的波動,部分觀測值偏離主趨勢,如第3、12、13數據點。通過奇異譜分析和重構,變成一條能夠更好反映變化趨勢的平滑曲線,有利于后續預測模型的構建。

圖3 基坑變形S52監測點沉降數據重構Fig.3 Reconstruction of settlement data for monitoring point S52 for foundation pit deformation

圖4(a)為采用奇異譜分析對S53監測點水平位移數據進行重構前后的對比圖。其中,圓形曲線為實測數據,正方形曲線為重構后的數據。圖4(b)為重構前后曲線的殘差。從圖4中可見,原始監測數據存在較大波動,在第10、19個數據點之后的幾個點出現了與主趨勢相反的變化。通過奇異譜分析和重構,水平位移數據變得更為平滑,且變化趨勢更為規律,有利于后續預測模型的構建。

圖4 基坑變形S53監測點水平位移數據重構Fig.4 Reconstruction of horizontal displacement data for monitoring point S53 for foundation pit deformation

4.4 趨勢預測

對經過重構后的S52和S53監測點的數據,建立灰色模型。在建模過程中取n=8期(13-20期)觀測數據作為實驗數據,并預測后兩期數據(21、22期)。模型預測值和重構值對比如圖5所示。通過計算模型的后驗方差比C和小誤差概率p對兩個監測點的灰色模型進行檢驗。S52點的后驗方差比C=0.012 5,小誤差概率p=100%,S53點的后驗方差比C=0.018,小誤差概率p=100%,說明兩個監測點的預測模型效果好。

圖5 基坑變形的預測結果Fig.5 Prediction results of foundation pit deformation

為了對比本文采用的奇異譜分析-灰色串聯模型和直接采用灰色模型的預測精度,對S52點和S53點的觀測數據分別建立兩種模型?？紤]到參與模型預測的原始數據序列長度不同,獲得的模型精度不同,分別選取不同維度的數據序列進行模型預測,并計算預測值和實測值的平均誤差對比模型精度。對于監測點S52和S53,以第20期數據為原點,分別向前取長度為4到20的觀測數據作為建模輸入數據,例如n=6的數據為第15到第20期觀測數據,預測第21、22期數據。對于S52和S53,兩種預測模型的誤差對比分別如表2和表3所示。

表2 采用不同模型對S52監測數據的預測誤差對比

表3 采用不同模型對S53監測數據的預測誤差對比

通過對比,可以看出：

1)模型精度：奇異譜分析-灰色模型的后驗方差普遍小于灰色模型的后驗方差。因為通過奇異譜分析,去除了數據中的噪聲干擾,使數據變化趨勢的規律性得以增強,有助于GM(1,1)建模,因此奇異譜分析-灰色混合模型較單純灰色系統模型精度更高。

2)預測精度：在任意維度下,奇異譜分析-灰色模型的預測精度均優于單純使用灰色模型。對于監測點S52,直接采用灰色系統模型的各維平均相對誤差的均值為11.73%,而奇異譜分析-灰色系統模型的平均相對誤差為9.5%;對于監測點S53,直接采用灰色系統模型的各維平均相對誤差的均值為14.5%,奇異譜分析-灰色系統模型為9.4%。

5 結束語

本文采用奇異譜分析-灰色混合模型對基坑變形監測數據進行了分析。首先,采用奇異譜分析對原始數據進行重構,然后采用灰色系統進行建模和預測。實驗結果表明：經過奇異譜分析重構的監測數據更具有規律,利于預測模型構建;在不同數據維度下,奇異譜分析-灰色混合模型的預測精度均優于直接采用灰色系統模型的預測精度。本文方法可幫助基坑工作人員掌握基坑變形情況和預測變化趨勢,更好地指導基坑施工。