肖 越,馬淑芳
(東北林業大學 理學院,黑龍江 哈爾濱 150040)
Gray-Scott 模型[1-2]是一種重要的反應擴散系統,起源于模擬自催化化學反應,其化學反應過程為
其中U,V為兩種化學物質,V作為催化劑對自身生產起催化作用,P為一種惰性產物,不參與反應過程。該反應過程的無量綱反應擴散方程形式為
其中u(x,t),v(x,t)分別表示在x點處t≥0 時抑制劑與催化劑的濃度,a表示入流率,a+b表示催化劑V的移出率,Du和Dv分別表示化學物質U,V的擴散系數。
迄今,已有許多文章從不同的角度對系統(1)進行了研究[3-12]。2009 年,Kyrychko 等[11]對系統(1)施加了延遲反饋控制項
其中f(u,v)=-uv2+a(1-u),g(u,v)=uv2-(a+b)v,K為反饋強度,A為2×2 的控制矩陣。研究控制矩陣A取(?是相位)等情況時,延遲反饋控制對系統(2)的時空斑圖的影響。在每種情況下,在控制強度和時滯的參數空間中找到了穩定邊界。在時空混沌的情況下,施加的控制既可以穩定均勻穩態,也可以導致平凡穩態和傳播行波之間的雙穩態。
此外,為了獲得關于系統(1)的動力學的信息,研究者也對常微分系統進行了討論。
系統(3)是系統(1)中Du=Dv=0 的情形。文獻[12]研究了系統(3)對應的三次多項式系統在龐加萊盤中的相位圖。相位圖和相應的分岔圖顯示了這類系統的豐富性和復雜的動力學。
基于上述討論,本文將研究如下形式的一類具有延遲反饋項Gray-Scott 模型:
其中,p>0,τ>0 表示延遲;K是常數,Ke-pτ表示延遲反饋強度。受過去歷史記憶消退效應的啟發,延遲反饋強度隨著延遲τ的增加而衰減,當延遲τ趨于無窮時,反饋就消失。對于依賴于延遲的反饋控制研究也已取得了很多成果[13-16]。通過研究成果可以看出,參數對延遲τ的依賴性使得系統的動力學性質變的更加復雜。本文選擇延遲τ和衰減率p作為分岔參數,將分析系統(4)產生Hopf 分岔和穩定轉換的條件。
經過計算,系統(4)存在三個平衡點,分別為
在平衡點E1處將系統(4)線性化,得
系統(4)的特征方程為
令λ=iω,分離實虛部,得到
令θ=ωτ,由于τ∈[0,+∞),從而θ∈[0,+∞)。由式(7)可推得
化簡得
解得
顯 然,若K<0,>max(a,b),有sinθ>0,ω+>0;若K>0,>max(a,b),有sinθ<0,ω->0。本文僅考慮K<0,>max(a,b)情況(K>0,>max(a,b)討論方法類似)。
根據式(7),有
進一步,有
令θ=θ0+2nπ,n=0,1,2…,由于sinθ>0,那么θ0∈(0,π)。
當τ=0 時,方程(5)變為
討論τ>0 的情況。由于θ滿足式(12),且減小p的值或增大τ的值會導致θ的個數持續增加,這種變化同時也會引起Hopf 分支。由式(12)中p=p+的幾何圖,可以直觀看到Hopf 分支的出現頻率,如圖1 所示,其中n=0,1,2,3 的情況分別由藍色、橙色、黃色、紫色線條表示。根據圖1 可得以下結論:
圖1 式(12)確定的參數p 關于θ0 的值Fig.1 The values of parameter p versus θ0 determined by equation(12)
(1)若p>,特征方程(5)不存在純虛根,此時不產生Hopf 分支,系統(4)對所有的τ>0 都是穩定的;
(3)若p=,特征方程(5)存在(2n+1)個純虛根,這表明隨著時延遲的改變系統(4)會發生(2n+1)次Hopf 分支。
對每個n,都能通過計算最大值。由式(12),有
而由式(9),有
結合式(13)與式(14),有
其中
討論系統(4)的穩定性轉換和Hopf 分支。對于給定的τ,假設方程(5)存在一組共軛根λ=α(τ)±iω(τ)。為了簡單起見,定義τc=τn,ωc=ωn(n=0,1,2…),此時有α(τc)=0 以及ω(τc)=ωc,對方程(5)關于τ求導,有
將式(11)代入式(16),化簡得
同時,由于
結合之前的研究,可知系統(4)在τ=0 時是穩定的。當τ繼續增大時,情況保持不變,直到對應一對實部為零的特征根的第一個臨界值τ0的出現,此時系統開始由穩定變為不穩定狀態,并在τ0處產生Hopf 分支;當τ繼續增大到第二個臨界值τ1時,系統由不穩定再次變為穩定狀態。因此在(τ,p)平面內形成了一個穩定域,如圖2 所示,陰影部分即為穩定域,并且在這個區域的邊界上會產生Hopf 分支。
圖2 當a=0.1,b=0.02,K=-0.5 時,系統(4)在(τ,p)平面上的Hopf 分支曲線Fig.2 Hopf bifurcation curves of system(4)in the (τ,p) plane for a=0.1,b=0.02,K=-0.5
令a=0.1,b=0.02,K=-0.5,p=0.1,此時平衡點E1=(u1,v1)=(0.174,0.688)。計算可知滿足假設條件sinθ>0,>max(a,b)?;谇拔难芯?,當τ=1 時,E1是穩定的,如圖3 所示;當τ=2.514時,產生周期解,如圖4 所示。此外,隨著τ的繼續增大,解將趨于常值平衡點E0。另外,根據文獻[11]可知在遠離圖靈和Hopf 區域的參數范圍內,系統總是以E0或E1結束。在圖5 給出了τ=3 時,系統在E0處結束。
圖3 當τ=1 時,系統(4)的時間序列曲線Fig.3 Time series curves of system(4)when τ=1
圖4 當τ=2.514 時,系統(4)的時間序列曲線Fig.4 Time series curves of system(4)when τ=2.514
圖5 當τ=3 時,系統(4)的時間序列曲線Fig.5 Time series curves of system(4)when τ=3
本文研究了一類具有延遲反饋控制的Gray-Scott 模型,其中反饋控制強度為Ke-pτ。這種參數依賴于延遲的反饋控制,使得系統的穩定性以及分支分析變得更加復雜。研究給出了確定平衡點穩定條件的幾何方法和解析方法,并討論了該模型的Hopf 分支。主要結果如下:
(1)除時滯τ外,系統(4)的Hopf 分支強烈依賴于參數p,虛特征根的橫截條件由參數p(θ)變化決定;
(2)在(τ,p)平面上作出了系統(4)的Hopf 分支曲線,并且標記出了穩定域(圖2);
(3)本文通過數值模擬的方法驗證了當τ持續增大時,系統(4)會由穩定狀態轉為不穩定狀態。