例析有趣的高斯函數

■向 東

函數y=[x]稱為高斯函數,也叫取整函數,其中[x]表示不大于x的最大整數,如[1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3,[5.7]=5。下面就高斯函數的應用進行舉例分析,供大家學習與參考。

A.偶函數

B.奇函數

C.奇函數也是偶函數

D.非奇非偶函數

評注:函數的奇偶性是函數的重要性質,且要在函數的定義域內考慮。

例2 不等式4[x]2-12[x]+5≤0 成立的充分不必要條件是( )。

解:因為4[x]2-12[x]+5≤0,所以(2[x]-1)(2[x]-5)≤0,解得。又[x]表示不大于x的最大整數,所以不等式4[x]2-12[x]+5≤0的解為1≤x<3。欲求不等式4[x]2-12[x]+5≤0成立的充分不必要條件,只要求出不等式4[x]2-12[x]+5≤0 解集的一個非空真子集即可,只有[1,2][1,3)成立。應選B。

評注:要分清命題p是q的充分不必要條件與命題p的充分不必要條件是q的區別。

例3 (多選題)以下關于“高斯函數”的命題,其中的真命題是( )。

A.?x∈R,x=x[]-1

B.?x∈R,x=x[]+1

C.?x、y∈R,x[]+y[]≤[x+y]

D.若?t∈R,使得[t3]=1,[t4]=2,[t5]=3,…,[tn]=n-2同時成立,則正整數n的最大值是5

解:對于A,B,當x∈Z 時,x=[x];當x?Z時,設k

對于C,由上可知[x]≤x<[x]+1,設x=[x]+{x},則0≤{x}<1。若0≤{x}+{y}<1,則[x+y]=[x]+[y];若1≤{x}+{y}<2,則[x+y]=[x]+[y]+1。綜上可得,?x、y∈R,[x]+[y]≤[x+y],C正確。

對于D,由題意得1≤t3<2,2≤t4<3,3≤t5<4,…,n-2≤tn

評注:解題時,要理解x=[x]+{x}、{x}+{y}的含義,要注意{x}+{y}的取值范圍。