Hilbert空間中的K-R-融合框架*

洪國慶,楊富超,張建霞

(1. 河南工學院 理學部,河南 新鄉 453003;2. 河南工學院 智能工程學院,河南 新鄉453003)

0 引言

傅里葉變換作為現代分析的主要工具已有100多年的歷史。但是它只提供頻率信息,且在它的相位中隱藏關于信號發射時刻和持續時間的信息。Gabor[1]在1946年解決了這個問題并引入了一種基本信號分解新方法。因為該方法提供了對附加噪聲、量化和傳輸損耗的恢復能力且具有捕捉信號重要特征的能力,因此很快成為該領域的范例。1952年,Duffin和Schaeffer[2]研究非調和傅里葉級數的一些深層問題時發現需要一個正式的結構來處理L2[0, 1]中高度冗余的指數函數族。為此,Duffin和Schaeffer引入了Hilbert空間框架的概念。人們發現Gabor的方法是其一個特例,且屬于時頻分析領域[3]。令I表示一個可數指標集,序列{fi}i∈I表示Hilbert空間H的一族向量。若存在常數0<α≤β<+∞,使得

則稱序列{fi}i∈I為H的一個框架?？蚣茏鳛镠ilbert空間基的一種推廣,使得空間中任意元素可以被框架元素的線性組合表示,并且這種表示方法可以不唯一,正因如此,使其在實際應用中有許多優于基的地方。

20世紀80年代末,Daubechies、Grossman 和Meyer[4]重新提出了框架的基本概念并展示了框架對數據處理的重要性,同時這項開創性的工作也揭示了對信號處理的意義。此后,人們對框架理論及其應用進行了深入的研究,并取得了一系列重要研究成果。隨著泛函分析、算子理論、算子代數和Banach空間理論等許多工具用于框架的研究,框架的內容日漸豐富。到目前為止,框架已經成為基礎數學、應用數學、計算機科學和工程學中的一個標準概念。我國學者分別研究了Banach空間中的(p,Y)-框架理論、算子代數B(H)上的算子框架、Banach空間中的Xd-框架與Riesz基、Hilbert?？蚣芾碚?、Banach空間中的連續框架、有限維或帶類群結構的算子值框架、小波框架的構造、Hilbert空間中的K-框架、框架的優化設計等重要問題,使框架理論得到了進一步的發展。

Hilbert空間中的K-R-融合框架是R-融合框架[6,7,8]與K-框架[9,10,11]的有機結合,本文將對K-R-融合框架的刻畫和性質、冗余性進行研究。

1 預備知識

在本文中,符號I,J表示可數或有限指標集。令H和M表示可分復Hilbert空間,B(H,M)表示從H到M的所有有界線性算子構成的集合。如果H=M,則B(H,M)=B(H)。符號IH表示H上的恒等算子。對于一個有界線性算子T,ranT表示T的值域空間,kerT表示T的零空間,T*表示T的伴隨算子。如果W和V分別是H和M的閉子空間,則分別令πW∈(H)和τV∈(M)表示在子空間W和V上的正交投影。

定義1設Ti∈(H,M)表示Hilbert空間H到M的一族有界線性算子,{Wi}i∈I表示H的一族閉子空間,{Vi}i∈I表示M的一族閉子空間,{vi}i∈I為一族權重。若存在常數0<α≤β<∞使得

成立,則稱序列{(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是Hilbert空間H的界為α和β的R-融合框架。

R-融合框架使用的相關表示空間是

其中內積定義為

定義2設K∈B(H),設Ti∈B(H,M)表示Hilbert空間H到M的一族有界線性算子,{Wi}i∈I表示H的一族閉子空間,{Vi}i∈I表示M的一族閉子空間,{vi}i∈I為一族權重。若存在常數0<α≤β<∞使得

成立,則稱序列{(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是Hilbert空間H的界為α和β的K-R-融合框架。

設R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是界為β的Bessel R-融合序列,定義分析算子

TR:H|→Rl2,TRf={viτViTiπWif}i∈I?f∈H

此時有

此外,若R是一個界為α和β的K-R-融合框架,則有

αKK*≤SR≤βIH

引理1[12]設H,H1,H2是Hilbert空間,T∈(H2,H)S∈(H1,H),則下列條件等價:

(1)ranS?ranT;

(2)存在α>0使得SS*≤αTT*;

(3)存在N∈(H1,H2)使得S=TN。

2 K-R-融合框架的性質與刻畫

本節給出了K-R-融合框架和緊K-R-融合框架的一些新的刻畫和性質。

定理1設K∈B(H),R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈I是H的界為β的Bessel R-融合序列,則R是H的K-R-融合框架當且僅當存在N∈B(H)使得K=SR1/2N,其中SR是R的R-融合框架算子。

αKK*≤SR

因此有

KK*R≤α-1SR1/2(SR1/2)*

(充分性)設存在算子N∈(H)使得K=SR1/2N。由引理1可得存在常數α>0使得αKK*≤SR,因此序列R是Hilbert空間H的K-R-融合框架。

證明:(1)設序列R是Hilbert空間H的緊K-R-融合框架,則存在常數α>0使得

傳統圖紙會審工作方法是對照平立剖圖紙進行問題查找，尺寸比對，信息核實等會審讀圖工作，其效率非常低，不易找到設計圖紙問題。

使得

因此,

必要性得證。

(充分性)由條件可知,

設存在常數α,β>0使得

3 K-R-融合框架的冗余性

如所周知,框架的一個重要性質是冗余性。許多學者討論了框架、廣義框架和融合框架的冗余問題。本節討論了一個充分條件,即在不破壞剩余集的K-R-融合框架性質的情況下,可以去除一些元素。

因此,

從而對任意h∈ran(K)有

另一方面,對每個h∈ran(K)⊥和f∈H,有

〈K*h,f〉=〈h,Kf〉=0

即R={(Wi,Vi,Ti,vi)}i∈JI是Hilbert空間H的界為α和β的K-R-融合框架。