常數

b]上可積,存在常數γ和Γ(γ＜Γ),使得對于任意t∈[a,b],有γ≤f＇(t)≤Γ,則對于任意λ∈[0,2]和任意x∈[a,b],有其中證明先考慮x≠a的情形．將P表示為利用式(2)得γ(x-a)2-Γ(b-x)2≤P≤Γ(x-a)2-γ(b-x)2,于是有 -(2 -λ)τ(Γ-γ)≤U≤λτ(Γ-γ),從而在式(3)中取ε=ε1,則式(1)的右邊不等式得證.再考慮x=a的情形．記對任意常數,由引理1 得推論1設條件同定理2,則對任意λ∈ [0,2]

式,α(z)為非常數整函數。若方程p(z)f(z)3+q(z)f″(z)=-sinα(z)有整函數解,則α(z)=3az+b，其中:a,b為常數,p和q為常數,且滿足27p=4q3a6，f(z)=c1eiaz+c2e-iaz，其中常數c1和c2滿足c13=-e2bic23，2ipc13=-ebi，3pc1c2=qa2。本文，我們進一步推廣定理B，得到了如下結果。定理1設p,q,r和s為非零多項式,α為非常數整函數。如果p或者r為常數,且pf3+qf″=re

,還可以通過構造常數列去解決數列求通項求和問題.非零常數列身兼等差數列和等比數列兩大特性,在一些數列求通項求和問題中,若能適時地構造常數列,則可避免復雜的累加、累乘或迭代等過程,從而使數列求通項求和一步到位,達到事半功倍的效果.下面以2021年八省市聯考第17 題為例,通過構造常數法的解答與分析,并進行探究與推廣,總結出構造常數法巧解數列的通項公式與數列的前n項和的幾種題型.一、試題展示與解法探究題目(2021年八省市聯考第17 題)已知各項都為正數的數列

，k)為可計算的常數。本文基于上述文獻，利用初等及解析的方法，證明了如下定理:定理設k≥2是給定的正整數，則對任意的實數x≥2，有漸近公式其中di(i=1，2，…，k)為可計算的常數，ζ(n)為Riemann Zeta-函數。1 相關引理引理1[8，9]對任意的素數p≥3即k∈N,z(pk)=pk-1。當p=2時，則有z(2k)=2k+1-1。若n為任意合數時，z(n)=max{z(m):m|n}。引理2[10]對于任意素數p，有sl(pk)=pk。引理3

可微函數，且存在常數γ和Γ使得對于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則有(6)證明由引理1得即式(6)得證。(7)類似可證故式(7)成立。推論1 設f是[a，b]上的可微函數，且存在常數γ和Γ使得對于任意t∈[a,b]，有γ≤tf′(t)≤Γ，則有式(7)成立。(8)證明因為f是[a，b]上的GA凸函數，故對于任意x,y∈[a,b]，x≠y，有根據定理2則式(8)的右邊不等式得證。即式(8)的左邊不等式得證。定理3 設f是[a，b]上的可微函數，

象經過的象限確定常數k，b的正負性解析：常數k，b決定一次函數y = kx + b的圖象所經過的象限;反過來，一次函數y = kx + b的圖象所經過的象限決定k，b的正負性. 根據題意畫出圖象，如圖2，由一次函數y=kx + b的圖象經過第一、第三象限可知k > 0. 由一次函數y=kx + b的圖象與y軸的負半軸相交可知b < 0. 所以kb<0. 故選B.

1]中筆者從構造常數列的角度另辟蹊徑，為該類問題的求解提供了一個新思路，本文分別從構造常數列和等比數列的角度，又探索出了兩種求和方法，現將其介紹如下：一、方法介紹不失一般性，設等差乘等比型數列{an}的通項公式為an=(kn+b)qn，(其中k,b,q均為常數，且q≠1)，其前n項和記為Sn.方法1：構造常數列{Sn+(xn+y)qn}.對數列{an}，由an=(kn+b)qn(q≠1)得an+1=[k(n+1)+b]qn+1，由an與Sn的關系，可得關于

解為其中C為任意常數.定理1Riccati微分方程（1）存在形如證明為證明方便，設必要性. 設方程（1）的通解為式（2），則將式（2）代入式（1）得整理得即顯然，y=-ke-x是方程（3）的解.設z=y+ke-x，則方程（3）可變為由引理1得，即y=-ke-x+為任意常數.類似可得下面定理.定理2Riccati 微分方程（1）存在形如的通解充要條件為其中：k為常數，C為任意常數.根據定理1和定理2，我們可得下列2個推論.推論1若Q(x)=2kP(x)e-x

極大單調映射，對常數 ρ＞0，定義映射 JG:H→H 為:JG(u)=(1+ρG)-1(u)，u∈H 稱為 G 的預解算子，其中 I是H上的恒等映射。2.5. REPAIR systemBoth CBE and ABE base editors were developed for targeted single-base substitutions at the DNA level. To enable gene correction at the RN

C1等來表示正的常數, 允許在不同的地方取不同的值.3 主要結果及證明引理1設(Φ1,Ψ1)和(Φ2,Ψ2)是兩對互補的N-函數,ωi(i=1,2,3,4)為權, 則以下三條等價:(i)存在與f=(fn)n≥0∈M無關的常數C1>0, 使得(3.1)(ii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關的常數C2>0, 使得(iii)存在與f=(fn)n≥0∈M無關的常數C3>0, 使得證明下面證明(i)?(ii)?(iii)?(i).(i)?(ii). 設(fn)n≥

結論.【關鍵詞】常數變易法常數變易法是微分方程中解線性微分方程的方法，就是將齊次線性微分方程通解中的常數c變換為待定函數u（x）.不僅如此，它在高中數學中也有著廣泛的應用，用變量來表示一個常數，可以巧妙地解決問題.下面列舉幾種題型加以闡述.一、在解方程中的應用二、在不等式中的應用三、在三角中的應用四、在向量中的應用【參考文獻】[1]崔士襄.“常數變易法”來歷的探討[J].邯鄲農業高等?？茖W校學報，1998（5）：40-41.[2]胡宜寒.常數變易法在高等數

級教師)已知基本常數:難溶電解質的Ksp、弱電解質的電離平衡常數(弱酸的Ka及弱堿的Kb)、水的Kw，如何求整個化學反應的平衡常數K?對于簡單的化學反應來說,常用變換相關物質基本常數冪與相關離子濃度冪乘除的方法,找出K與相關物質基本常數冪的關系,然后求解．但對于復雜的化學反應來說,用變換法找出上述關系相當困難．現總結歸納出簡單的方法,則很容易得出K與相關物質基本常數的冪的關系．方法是:平衡常數K等于反應物中有基本常數物質常數冪的乘積與生成物中有基本常數物質

那么它一定是非零常數列.其實，以下兩個與常數列相關的結論，看似簡單明了，解題中如果巧妙運用，?？梢粤肀脔鑿?結論1 設A、B是已知常數，若無窮等差數列{an}滿足：A結論2 設A、B是已知正常數，若無窮正項等比數列{an}滿足：A例1 (2016年江蘇省競賽初賽題)已知數列{an}的奇數項依次構成公差為d1的等差數列，偶數項依次構成公差為d2的等差數列，且對任意n∈N*，都有an解析依題意，a2n-1=a1+(n-1)d1,a2n=a2+(n-1)d2,a

納。技巧一：加減常數例1求函數的值域。解：(1)當x＞1時,當且僅當x-1=,即x=2時,等號成立,此時y的最小值為3。(2)當x＜1時,所以1-x＞0=(x-1)++1=+1≤+1=-1,當且僅當1-x=,即x=0時,等號成立,此時y的最大值為-1,綜上,y的值域為(-∞,-1]∪[3,+∞)。點評：當各項符號不確定時,必須分類討論,要保證代數式中的各項均為正數。技巧二：巧變常數例2已知,求函數y=x(1-2x)的最大值。解：因為0＜x＜,所以x＞0。y

黃書虹非零常數列即是等差數列，又是等比數列，簡單明了，但是常常被忽視。在一些數列的題目中，如果適當地利用構造常數列，可避免復雜的累加、累乘或迭代，使數列問題簡單化。利用常數列求通項公式例1：已知數列滿足，， 求通項公式解析：因式分解得：方法一：（累乘法）方法二：（構造常數列）是常數列本題中，兩種方法難度差不多，計算量也差不多。變式：已知數列滿足， 求通項公式。解析：方法一：（累乘法）方法二：（構造常數列）兩邊都乘以n，得：， 是常數列本題中，累乘法在消項過

們發現大綱對平衡常數的考查加大了難度.化學平衡常數、電離平衡常數、溶度積要求“能進行相關的計算”.人教版高中化學選修四從第二章出現化學平衡常數后，一發不可收拾，第三章依次出現了弱電解質的電離常數、水的離子積常數、鹽的水解常數，難溶電解質的溶度積.我們注意到一方面，后四大常數是對前面內容的補充與深化；另一方面，也滲透了化學平衡常數在后面內容中的應用，體現了知識的相互聯系，同時也不難看得出，后四大常數彼此之間也互相聯系，而且難度越來越大.endprint

所關注的數列——常數列的思考，探尋常數列在解多種題型中的巧妙應用，感受其優美.例1 數列{an}滿足an=n·3n，求數列{an}的前n項和Sn.解法1 由Sn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n,知3Sn=1·32+2·33+3·34+…+n·3n+1.2個式子相減可得-2Sn=1·3+1·32+1·33+…+1·3n-n·3n+1,從而解法2 因為an=n·3n，所以Sn-Sn-1=n·3n，經配湊可得故解法1是我們常用的一種方法——錯位相減法，

1000)?例說常數數列法巧求兩類數列的通項公式閆西寶(江蘇省徐州市第七中學，221000)在數列問題中,求通項公式最常見的兩種類型是：已知首項a1,且滿足an+1=an+f(n)或者an+1=anf(n),其所用的方法是累加法和累乘法．在教學實踐中,筆者發現解決這兩類問題,和可用同一種簡潔的方法,即構造常數數列法，下面舉例說明．一、an+1=an+f(n)型對于此類型的數列,可設g(n+1)-g(n)=f(n),則有an+1-g(n+1)=an-g(n)

)?次領頭階低能常數的改進*蔣紹周，蔣杰臣(廣西大學物理學院，廣西大學-國家天文臺天體物理和空間科學研究中心，廣西南寧530004)【目的】通過合適的處理，減少低能贗標介子手征微擾理論中出現的輸入參數，得到符合實驗的低能常數理論值，提高理論的預言性?！痉椒ā繉⒁延蟹椒ㄖ谐霈F的Schwinger-proper time方法引入的Λ趨于無窮，并通過在介子質量770 MeV處對領頭階的低能常數進行重整化。借助Schwinger-Dyson方程，得到所有的次領頭階

n（c，d，λ為常數且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ為常數且c≠0，1）的數列的通項問題，高考參考答案直接給出了變形構造的結果，卻沒有給出變形構造的方法及過程，看了仍不知其所以然， 筆者就此問題進行探究，進一步推廣得到形如：an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，λ為常數且C≠0，1，λ≠0，1）這一類數列的通項的求法，總結如下，以饗讀者。1.形如an+1=can+d（c，d為常數且c≠0，1）的數列的通項公

B，C，D，λ為常數且C≠0，1，λ≠0，1）的數列通項公式的求法楊文慶徐曉燕 （寧夏石嘴山市光明中學）近年高考中常出現形如an+1=can+d·λn（c，d，λ為常數且c≠0，1，λ≠0，1）、an+1=can+dn+λ（c，d，λ為常數且c≠0，1）的數列的通項問題，高考參考答案直接給出了變形構造的結果，卻沒有給出變形構造的方法及過程，看了仍不知其所以然， 筆者就此問題進行探究，進一步推廣得到形如：an+1=Can+D·λn+An+B（A，B，C，D，

據離子反應的平衡常數進行判斷。本文介紹一種確定離子反應平衡常數的方法以及離子反應平衡常數與弱電解質的電離常數、水的離子積常數、鹽類的水解常數、沉淀的溶度積常數等的關系，解決高中化學中常見復雜離子反應方向的判斷問題，供高中化學教師、學生參考。endprint