高溫高壓氣井測試井筒溫度應力場耦合分析

王思維，何淼，3，許明標，3，戴白妹

（1.長江大學石油工程學院，湖北 武漢 430100；2.長江大學油氣鉆采工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430100；3.長江大學非常規油氣省部共建協同創新中心，湖北 武漢 430100）

0 引言

我國南海高溫高壓氣井測試期間，高溫氣體從油管內自下而上流動，氣體攜帶的熱量使井口溫度迅速上升，易造成水泥環發生拉張破壞，井口密封失效，給測試生產作業帶來極大的安全風險。因此，如何有效保障水泥環密封性是高溫高壓氣井測試作業的關鍵環節，其中分析水泥環溫度和應力變化對于評價其完整性具有重要意義。前人已針對高溫高壓氣井溫度應力耦合開展了大量的研究工作。Al Saedi 等［1-2］根據傳熱原理及能量守恒定律，建立了井筒溫度壓力耦合模型，計算出鉆井和產能期間生產時間與產氣量對井筒溫度和壓力的影響；吳林等［3］建立了二氧化碳壓裂期間井筒瞬態溫度壓力模型，研究了油管尺寸等對井筒溫度壓力的影響；秦彥斌等［4］對高溫高壓井生產期間的井筒溫度場進行分析，發現生產和測試過程中環空溫度和壓力急劇上升，到達一定產量后環空溫度不再受產量的影響；董釗等［5-8］研究了氣井測試期間井筒溫度變化的參數，使井筒溫度大于生成水合物的臨界溫度值，預防了水合物的生成；李紫晗等［9］建立了溫度壓力耦合模型，模擬了測試期間井筒溫度和壓力的分布情況，結合管柱條件等發現，高產能深水氣井測試期間應采用較大尺寸的管柱；許紅林等［10-11］基于彈性力學理論建立了溫度壓力耦合的水泥環力學理論模型，得出井筒溫度的變化會影響水泥環的密封性和完整性［12］；席巖等［13-15］建立了井筒溫度及組合體力學模型，發現瞬態熱耦合作用導致套管和水泥環內壁應力發生變化，加劇了水泥環失效風險；李勇等［16］建立了井筒溫度場及溫度應力場模型，模型計算結果表明在高溫高壓氣井生產過程中淺層固井水泥環的溫升明顯，現場條件允許的情況下，采用兩層或多層水泥環進行封固可以提高其密封安全系數。

已有研究主要集中在井筒部分，分析溫度應力場對環空、套管應力以及套管損壞的影響。而在水泥環完整性方面，大多并未直接給出測試產量與水泥環應力變化之間的關聯性。因此，本文基于彈塑性力學和傳熱學等基礎理論，建立了氣井測試期間井筒-水泥環-地層組合體溫度應力場耦合模型。通過分析測試期間氣體產量對井筒溫度和應力分布的影響，提出測試期間存在最佳產量。同時結合氣油比、彈性模量、泊松比、套管壁厚等開展了氣井溫度應力場的敏感性參數分析，研究為海上高溫高壓氣井的井筒安全評價和高效測試提供了借鑒［17］。

1 模型建立

1.1 井筒溫度場模型

深水氣井以泥線為界限分為2 個部分，泥線上方是海水，下方是地層。根據流動和傳熱過程，建立如圖1 所示的深水氣井井筒傳熱模型。

圖1 深水氣井井筒傳熱模型Fig.1 Wellbore heat transfer model of deep-water gas well

氣井井筒溫度場模擬中，考慮到氣體流動過程中攜帶的熱量使井筒周圍溫度發生變化，作如下假設［18］：1）將井筒內的熱傳導看作一維穩態傳熱，井筒周圍地層中的熱傳遞為非穩態傳熱；2）地層溫度呈線性分布；3）流體在井筒內保持穩定的流動狀態；4）地層巖石的熱物理性質（密度、比熱容和熱傳導率）為恒定值；5）套管和水泥環簡化為井壁單元，導熱系數為其綜合導熱系數。

1.1.1 數學方程

1.1.1.1 能量守恒方程

根據圖1 建立的模型，將井筒-地層傳熱系統在徑向上劃分為5 個區域：油管內、油管壁、環空、套管和水泥環、地層。根據傳熱學第一定律，微元體內的能量等流入的凈熱量與外界對其做的功之和，針對于已經劃分的5 個區間分別建立控制方程，各個方程之間相互關聯，最終聯立求解［19-21］。根據上述假設，井筒溫度與測試時間、半徑的二階偏微分方程為

流體在油管中的能量變化主要有3 個部分：1）沿軸向的對流換熱；2）沿徑向與油管內壁的強制對流換熱；3）流動產生的摩阻生熱。

油管壁的能量變化主要有3 個部分：1）油管內壁沿徑向與油管內流體的強制對流換熱；2）油管外壁沿徑向與環空流體的熱傳導；3）油管壁沿軸向和徑向的熱傳導。

測試期間，環空測試液為靜止狀態，環空內的能量變化主要有2 個部分：1）沿徑向與油管外壁的熱傳導；2）沿徑向與井壁的熱傳導。

將套管和水泥環統一簡化為井壁單元，綜合導熱系數為

井壁的能量變化主要有3 個部分：1）沿徑向與環空流體的熱傳導；2）沿徑向與地層的熱傳導；3）沿井壁徑向和軸向的熱傳導。

地層和海水段的能量變化主要有2 個部分：1）沿徑向的熱傳導；2）沿軸向的熱傳導。

1.1.1.2 輔助方程

井筒流體沿路徑的壓降包括重力壓降、 摩擦壓降和加速壓降，井筒壓降方程［22］為

摩擦因數u 是雷諾數和粗糙度的函數，根據雷諾數范圍，確定摩擦因數［23］：

1.1.2 初始條件和邊界條件

1.1.2.1 初始條件

初始時刻，井筒-地層整個傳熱系統的初始溫度均為原始地層溫度。

初始時刻，海水溫度等于油管和環空流體的初始溫度。海水溫度數據不完整時，根據Levitus 模型計算不同深度處的海水溫度。

1.1.2.2 邊界條件

油管內的流體、 油管壁和環空的流體在井底處溫度相同。

1.1.3 數值求解方法

溫度控制方程離散化時，采用Crank-Nicolson 全隱式格式。徑向空間選用變密度網格，近井壁網格較密，遠井壁網格稀疏，徑向步長基本服從指數規律變化［24］。

根據Crank-Nicolson 全隱式格式，所有的能量方程可寫成：

各節點的離散方程組成的線性方程組可以由矩陣形式表示

1.2 組合體力學模型

水泥漿凝固后，將套管、水泥環和地層看作復合圓筒［25］。由于它們的物性參數不同，當套管內壓、地層壓力和復合圓筒的溫度變化時，水泥環在第一、二界面會產生接觸壓力或拉應力［26-27］。假設組合體界面完全膠結，根據組合體的溫度變化和界面處連續位移條件計算出水泥環的徑向應力和周向應力。簡化后的模型受力情況如圖1c 所示。

模型假設如下：1）套管、水泥環、地層均視為厚壁圓柱體，套管無幾何缺陷，水泥環2 個界面完全膠結，即徑向位移和徑向應力在2 個膠結面上保持連續性。2）套管、水泥環、地層巖石看作均質各向同性材料，其熱力學參數均不考慮徑向變化且水泥環內無初始應力。3）復合圓筒為平面應變變形。

結合溫度變化這個條件，圓環的切向應變和軸向應變表示為

由于井眼深度較大，忽略軸向應變，將圓環受力假設為平面應變，滿足圓環的徑向變形量為

套管在第一界面的徑向變形量為

水泥環在第一界面處的徑向變形量為

由界面連續條件可知，式（19）和式（22）中2 個徑向形變量相等，則有

水泥環在第二界面處的徑向變形量為

地層巖石分別受接觸壓力和地層壓力的作用，其在第二界面處的徑向變形量為

由界面連續條件可得式（24）和式（25）中2 個變形量相等，從而有：

將溫度場模型計算得到的井口溫度差值，聯立上述組合體力學模型方程組，計算出水泥環在任意半徑r 處的井周應力。

2 模型驗證

為了驗證本文模型的準確性和可靠性，分別采用文獻［28］（井1）和文獻［29］（井2）中的直井PIPESIM模擬和實測2 組數據，結合本文模型進行對比分析，井1 和井2 的計算參數見表1。

表1 計算參數Table 1 Calculation parameters

圖2 為本文模型與商業軟件、 實測數據及經典模型模擬數據的對比。由圖2a 可知，李勇模型［16］和宋戈模型［28］的模擬結果均低于商業軟件計算結果，本文模型計算結果與PIPESIM 模擬結果的吻合度更高，平均誤差僅為0.84%，而李勇模型和宋戈模型的平均誤差分別為3.13%和4.03%。氣井產量為50×104m3/d 時，溫度從井底到井口逐漸降低，穩定后測得單點井口溫度為82.3 ℃。李勇模型［16］和宋戈模型［28］的模擬結果分別為79.5 ℃和75.8 ℃，本文的模擬結果為80.9 ℃，相對誤差僅為1.7%。

圖2 模型與商業軟件、實測數據及經典模型計算結果對比Fig.2 Comparison of calculation results of model with commercial software,measured data and classical model

圖2b 給出了本文模型與文獻［29］實測數據及經典模型的對比結果。由圖可知，相比于Ramey 模型和Hassan 模型，本文模型的計算結果與實測數據的吻合度更高，平均誤差僅為1.65%，具有更高的精度。綜上所述，結合已有文獻中PIPESIM 模擬溫度和實測溫度2 組數據驗證，充分表明本文中模型具有較高的精度與準確性。

3 實例分析

在模型驗證的基礎上，以南海高溫高壓氣井X 井為例開展模擬分析，計算所需基礎參數見表2。

表2 X 井基礎參數Table 2 Basic parameters of Well X

3.1 計算結果分析

3.1.1 測試產量對井筒溫度的影響

當產氣量分別為20×104，40×104，60×104，80×104，100×104，140×104，160×104m3/d 時，井筒內的溫度變化情況如圖3 所示。由圖3 可以看出，產量不變時，測試時間越長，井口溫度越高，井口溫度在測試初期變化較大，但總體變化幅度逐漸趨于平緩。主要原因是測試初期，氣井產氣時帶有巨大的熱量，瞬態傳熱系數較大，氣體從井底流向井口的過程中損失的熱量較大； 隨著測試時間增大，無因次生產時間越大，瞬態傳熱系數逐漸減小。在氣體從井底流向井口的過程中，損失的熱量逐漸減小。當測試時間到達一定值后，瞬態傳熱系數保持穩定，井口溫度趨于一個恒定值。

圖3 產量對井口溫度的影響Fig.3 Influence of yield on wellhead temperature

3.1.2 不同產量下溫差對水泥環應力的影響

測試產量對于井筒溫度場分布的影響較大。由表2 的基礎數據計算得出，當產量分別為20×104，40×104，60×104，80×104，100×104，140×104，160×104m3/d 時，井口溫差分別為55，86，103，114，122，130，134 ℃。近井口處水泥環周向應力的分布情況如圖4 所示。圖4表明，水泥環切向上為拉應力，最大拉應力位于第一界面。井口溫度升幅越大，水泥環周向應力越大，水泥環切向受拉失效風險也越大。因此，高溫高壓氣井測試和產能期間需要考慮產量和溫度變化對水泥環整體力學性能的影響。

圖4 井口溫差對水泥環周向應力的影響Fig.4 Influence of wellhead temperature difference on circumferential stress of cement sheath

3.1.3 最佳測試產量

水泥環第一界面周向應力隨井深和井口溫差變化的剖面如圖5 所示。由井底向井口隨井深變淺，水泥環周向應力增加，并從壓應力向拉應力轉變。井口溫度升幅越大，水泥環周向應力越大。由圖5 可知，當產氣量為100×104m3/d 時，井口溫差為122 ℃，第一界面水泥環周向應力接近其抗拉強度極限值2.5 MPa［30］，為測試最佳日氣量。當產氣量達到120×104m3/d 時，井口溫度升幅為130 ℃，水泥環周向應力為2.62 MPa，該值已超過水泥環的抗拉強度，此時水泥環自井口向下近100 m 井段發生拉張破壞，井口水泥環封固失效。在現場工藝中，可以提前分析井筒內溫度和應力場的變化，并考慮改變測試液的保溫性能，以降低井口溫度升幅或提升水泥環的抗高溫性能。

圖5 井深和溫差變化對水泥環第一界面周向應力的影響Fig.5 Influence of well depth and temperature difference on circumferential stress at the first interface of cement sheath

3.2 影響因素分析

3.2.1 氣油比對組合體溫度和應力的影響

設置生產氣油比分別為9.0，4.0，2.5，1.5，1.0 m3/m3，測試產氣量為100×104m3/d 時，計算不同氣油比下組合體溫度和水泥環周向應力的變化情況（見圖6）。由圖6a 可知，氣油比越大，井筒溫度越高，在井深較淺處溫度變化較大。圖6b 表明，氣油比越大，井口處水泥環的周向應力越大，最大值出現在第一界面?？紤]氣油比時的井筒溫度和水泥環周向應力將低于純氣時的井筒溫度和水泥環周向應力。增大氣油比，井筒溫度和水泥環周向應力也隨之增大，水泥環受拉失效的風險越大。因此，高溫高壓氣井測試期間，應考慮氣油比對井筒溫度及水泥環力學性能的影響。

圖6 氣油比對井筒溫度和水泥環周向應力的影響Fig.6 Influence of gas-oil ratio on wellbore temperature and circumferential stress of cement sheath

3.2.2 水泥環性能參數對其周向應力的影響

為了確保復雜條件下水泥環的密封性和有效封堵性，通常需要對水泥環的性能參數進行優化［31］。當產氣量為100×104m3/d 時，研究水泥環的彈性模量和泊松比對其周向應力的影響（見圖7）。由圖7a 可知，彈性模量越大，水泥環沿切向受拉且拉應力逐漸增大。距離井筒中心越遠，周向拉應力逐漸減小，水泥環第一界面易受到拉張破壞，為危險界面。由圖7b 可知，泊松比和徑向距離越大，水泥環的周向應力越小，第一界面承受最大周向拉應力。相比于彈性模量，泊松比對水泥環周向應力的影響較小。為了降低第一界面水泥環拉伸破壞風險，建議在進行固井作業前優化水泥漿的配方，添加適量的韌性材料，以降低水泥石的彈性模量并提高其韌性［32］。

圖7 水泥環的性能參數對其周向應力的影響Fig.7 Influence of performance parameters of cement sheath on its circumferential stress

3.2.3 套管壁厚對水泥環應力的影響

當產氣量為100×104m3/d 時，套管壁厚對水泥環周向應力的影響如圖8 所示。由圖可知，隨套管壁厚和徑向距離的增加，水泥環的第一界面承受最大的周向拉應力，且拉應力逐漸減小?，F場工藝允許的情況下，為了減小水泥環第一界面的拉伸破壞風險，宜選用壁厚較大的套管。

圖8 水泥環周向應力隨套管壁厚的變化Fig.8 Change of circumferential stress of cement sheath with wall thickness of casing

4 結論

1）基于彈塑性力學和傳熱學等基礎理論，建立了深水高溫高壓氣井測試期間井筒溫度應力場耦合模型。用PIPESIM 模擬和實測2 組數據進行模型驗證，模型與PIPESIM 的平均誤差為0.84%，與實測數據的平均誤差為1.65%，表明本文模型具有較高的精度和準確性。

2）產氣量越大，井口溫度升幅越高，水泥環周向拉應力越大，第一界面具有最大周向拉應力。井底向井口隨井深變淺，水泥環周向應力增加，并從壓應力逐漸轉向拉應力。計算不同產氣量和井口溫度升幅下水泥環的周向應力剖面，并與其抗拉強度比較，得出存在測試最佳量，即為100×104m3/d。當產氣量為120×104m3/d 時，井口以下約100 m 井段發生拉張破壞，水泥環密封失效。

3）深水高溫高壓氣井測試過程中，井筒溫度和應力分布受多個因素的影響。研究表明，氣油比越大，井筒溫度越高，水泥環周向應力越大，第一界面封隔失效風險越大。工程上采用壁厚較大的套管、較大導熱系數的環空測試液、 低彈性模量及高泊松比的彈韌性固井水泥等措施，更能在井口溫度升幅較大時保證近井口段的水泥環完整性。

5 符號注釋

T 為溫度，℃；i，j，n 分別為徑向、軸向和時間節點；Δz 為軸向上最短距離，m；rpi為油管內壁半徑，mm；rpo為油管外壁半徑，mm；rci為套管內壁半徑，mm；rco為套管外壁半徑，mm；rse為水泥環半徑，mm；rf為地層半徑，mm；p 為壓力，MPa；pin為套管內壓，MPa；pm為套管和水泥環接觸壓力，MPa；pn為水泥環和地層接觸壓力，MPa；pf為地層壓力，MPa；ρ 為密度，kg/m3；φ 為流體的體積分數；c 為比熱容，J/（kg·℃）；t 為時間，s；q 為流體流量，L/s；z 為軸向坐標，m；r 為徑向坐標，m；λ 為導熱系數，W/（m2·℃）；Q 為黏性摩擦力功率，W/m；h 為強制對流換熱系數，W/（m2·℃）；pi 為油管內壁；p 為油管；l 為液相；g 為氣相；po 為油管外壁；pw 為油管壁整體；a 為環空；k 為環空內液體靜止時與表面的換熱系數，W/（m2·℃）；g 為重力加速度，m/s2；v 為流體流動速度，m/s；u 為摩擦因數；vm為氣液混合速度，m/s；D 為水力直徑，mm；ε 為絕對粗糙度；Reg為廣義雷諾數；n′為廣義流性指數；Deff為有效直徑，mm；H 為井深，m；G 為地溫梯度，℃/100 m；H1為海水深度，m；Tin為油管內流體溫度，℃；Aij，Bij，Cij，Dij，Eij，Uij為常數項矩陣；A 為系數矩陣；R 為溫度向量；εθ為切向應變；E 為彈性模量，GPa；σθ為切向應力，MPa；ν 為材料泊松比；σz為軸向應力，MPa；σr為徑向應力，MPa；α 為材料熱膨脹系數，℃-1；ΔT 為井口溫差，℃；εz為切向應變；δr為徑向變形量，mm；δrco為套管在第一界面徑向變形量，mm；σrse為水泥環徑向應力，MPa；σθse為水泥環周向應力，MPa；rm為套管平均半徑，mm；ts為套管厚度，mm；δrsei為水泥環在第一界面處的徑向變形量，mm；δrseo為水泥環在第二界面處的徑向變形量，mm；δrfi為地層在第二界面處的徑向變形量，mm；ci 為套管內壁；s 為井壁；c 為套管；se 為水泥環；co 為套管外壁；f 為地層；b 為海水。