分揀并聯機器人自適應滑?？刂?/h1>
2024-02-21 06:00高國琴
軟件導刊 2024年1期
劉 濤，高國琴
（江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013）
0 引言
近年來，我國水果產量逐年增長，傳統人工分揀方法效率低下，不利于現代農業的發展。實現機器人水果自動分揀以提高水果分揀效率、降低勞動強度、提高經濟效益是現代農業發展的趨勢。水果分揀工作可采用機械手完成［1］，目前多采用Delta 機械手［2］添加UPU 支鏈［3］的方式實現SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm）運動的分揀操作。然而，UPU 支鏈長時間處于工作空間邊緣時損壞程度較大，會導致機械手控制精度降低。因此設計一款剛度大、精度高、承載能力強的串類水果分揀并聯機器人十分必要［4］。
1 相關研究
針對串類水果分揀并聯機器人末端負載變化強烈干擾、難以穩定運行的問題，國內外學者進行了諸多研究。例如，文獻［5］針對并聯機器人系統負載變化的問題，采用擴張狀態觀測器進行觀測與補償，根據狀態估測設計了控制器，提高了并聯機器人的抗干擾能力；文獻［6］分析了機器人系統額定負載和空載兩種狀態下的伺服系統損耗情況；文獻［7］針對末端執行器負載變化的并聯機器人軌跡跟蹤控制問題，在末端執行器中安裝力傳感器以測量負載變化，并提出一種超螺旋滑?？刂品椒?，仿真結果證實了其有效性。然而，以上控制方法均未能在末端負載大范圍變化的情況下確保串類水果分揀并聯機器人良好的軌跡跟蹤性能。為此，本文通過解決系統負載轉動慣量在線辨識和末端執行器負載變化的自適應滑?？刂苾蓚€關鍵問題，以此達到對串類水果分揀并聯機器人的高性能控制。
并聯機器人在分揀不同種類的串類水果時質量會發生變化，即使拾取同種類的水果也難免會發生纏繞等情況，負載變化具有不確定性，直接影響單通道系統的負載轉動慣量［8］，給機器人控制帶來困難。如何實現系統負載轉動慣量的在線辨識是關鍵難題，為此國內外學者們嘗試了各種方法，例如文獻［9］提出的卡爾曼濾波器對時變數據和系統狀態的估測具有很好效果，其是一種隨機狀態估計器，但卡爾曼濾波算法需要設計各種假設條件，計算量大且復雜，影響了其在日?？刂葡到y中的普及；文獻［10］采用的最小二乘法及其衍生算法相對簡單，但僅能保障系統估計量誤差和處于最小水平，無法實現誤差的最優分布，因此無法用于精度控制；文獻［11-12］中的狀態觀測器法可以估測電機的瞬時狀態，但沒有較強的抗干擾能力，在復雜操作環境中位置檢測可能會出錯；文獻［13-15］中的梯度校正參數辨識算法對于同步電機這種存在較多變量的設備可進行參數變換，在每次計算與收斂時耗時較短、速度較快，擁有優良的性能。
為提高串類水果分揀并聯機器人的抗負載能力，必須選擇合適的控制方法。模糊邏輯控制方法雖然具有抗負載變化的能力，但在應用中很難消除系統穩態誤差，控制精度不高［16-17］；人工神經網絡具有自適應、自組織、自學習能力，然而算法復雜程度高［18-19］；魯棒控制通過將末端執行器的負載變化作為干擾進行抑制或補償，但難以有效應對負載變化［20-21］；滑?？刂剖且环N設計非線性不確定系統魯棒控制器的有效方法，其對控制通道中的參數變化具有魯棒性和動態性能好的優點［22-23］。
為此，本文針對串類水果分揀并聯機器人存在負載變化及支路不確定性等問題運用滑?？刂品椒?，并根據滑模變量設計對于不確定性變化具備較強適應能力的自適應規則，以克服負載變化的影響；同時有效抑制滑?？刂魄袚Q增益過估計帶來的抖振，以期增強系統對于負載變化的魯棒性。
2 串類水果分揀并聯機器人
2.1 機構簡述
串類水果分揀并聯機器人實物如圖1 所示，包括動靜平臺和4 組正交布置的R-（2-SS）（R 為旋轉副，S 為球副）支鏈。為減輕運動部件質量，主動臂和從動臂的主要制作材料為碳纖維，動平臺的主要制作材料為鋁合金。動平臺由主、輔兩個平臺構成，通過轉動機構連接主平臺和輔平臺，轉動機構由通過軸承轉動連接在主平臺上的絲杠和固接于輔平臺上的螺母兩部分構成。
Fig.1 Physical entity of string fruit sorting parallel robot圖1 串類水果分揀并聯機器人實物
2.2 運動學分析
為了更好地實施運動學分析，進一步簡化串類水果分揀并聯機器人的設計，使之成為如圖2所示的等效機構。
Fig.2 Kinematic equivalent mechanism of string fruit sorting parallel robot圖2 串類水果分揀并聯機器人運動學等效機構
基于靜平臺的中點創建參考坐標系O-xyz，將該坐標系下的主平臺和輔平臺分別作為質點P1和P2，因此P1(P2)的矢量r可表示為：
式中：s為P1點到P2點的長度；e為主動臂轉軸到靜平臺中心的長度；l1、l2分別表示支路i主、從動臂的桿長度；ui、wi分別表示主動臂和從動臂的單位矢量。其中ui表示為：
式中：θi為主動臂i的轉角。根據機構的裝配方式便能列出運動學逆解方程：
式中：分別表示為坐標系O-xyz各坐標軸上的單位矢量。
由式（2）和式（3）可求出wi：
將式（1）左右兩端分別對時間求導，整理可得：
將式（5）兩端點乘wiT并寫成矩陣形式，可得速度模型為：
式中：J、Jθ與Jx分別表示雅克比矩陣、直接與間接雅克比矩陣；。
通過式（5）對于時間的求導，可求出加速度模型的計算公式：
2.3 動力學分析
為構建串類水果分揀并聯機器人的動力學模型，本文作出如下假設：①各運動副之間工作過程中產生的摩擦無能量損失；②從動臂質量較小，轉動慣量也較小，可按照1∶2的比例將質量分配給動平臺與主動臂。
基于虛功原理，可作如下計算：
式中：τ表示主動關節的驅動轉矩；τAg表示主動臂對其轉軸的重力矩；IA表示主動臂傳遞給轉軸的轉動慣量等效值；表示動平臺轉動絲杠的角加速度；Is表示絲杠與負載轉軸的轉動慣量。
代入δθ=Jδr與δθs=(2π/p)δs，經過計算可以得到關節空間的動力學模型：
M(θ)為4 × 4 的對稱正定矩陣，稱為慣量矩陣。末端執行器負載的變化會引起M(θ)的改變。
驅動關節的等效慣量為：
施加在電機軸上的等效負載慣量為：
交流伺服電機的數學模型可表示為驅動軸的角位移θout與輸入轉速ωd的傳遞函數：
式中：Rph、LD分別表示定子繞阻和電樞電感；Kpi、Kpv分別表示電流環和速度環增益；KE為感應電動勢常數；Kii、KT、αT分別表示電流反饋系數、轉矩系數以及測速反饋系數；J(t)=J+J'，J表示負載轉動慣量，J'表示電機轉子轉動慣量。
2.4 梯度校正參數辨識算法
梯度校正參數辨識算法建立在梯度函數理論的基礎上，校正原則為基于準則函數的負梯度方向進行搜索，修正模型參數的估計值，保障準則函數最小化［22］。
永磁同步電機主要包括轉子與負載兩部分［23］，機械運動可用公式表示為：
式中：wm表示轉子機械角速度，Tem表示電機電磁轉矩，TL表示負載轉矩，J表示負載施加于電機軸上的總轉動慣量，B表示粘性阻尼系數。
將式（10）離散化為：
式（11）可進一步轉化為：
則式（11）可表示為：
Ts為運用梯度校正慣量辨識算法進行采樣時轉速與電磁轉矩所需的采樣周期。由于慣量辨識所需的周期較短，采樣頻率必須足夠高，離散化不易造成失真，無需考慮，得出公式（18）：
由文獻［6］可知梯度校正參數辨識的實用公式為：
式中：(k-1)=[(k-1)(k-1)(k-1)]T；α、β分別表示兩個修正參數與待辨識參數，根據即可求出負載的轉動慣量J。
3 控制器設計
3.1 自適應律設計
不確定非線性系統表示為：
式中：x∈χ表示系統狀態向量，χ?Rn表示存在原點的領域，u∈R表示控制輸入，f(x)表示存在不確定性參數的光滑函數，g(x)表示易為外界擾動影響的光滑函數。函數f(x) 與g(x) 無明確的界，g(x) ≠0 可以控制全部的(x，t) ∈χ系統，使得滑模變量s于短期內接近零的領域。假設S與控制輸入u將相對階保持為1，則：
為方便起見，下文將簡化這些函數的表達（S、ψ、Γ 中x與t將省略）。假設函數ψ和Γ 有界，但該界未知，不失一般性地有：
非線性不確定系統中，滑模變量可通過式（20）來計算。反饋控制律u(t)可表示為：
將式（22）代入式（20）中，得到：
式中：sgn表示符號函數，K表示切換增益。
為彌補現有自適應律的不足之處，本文還制定出一種新的自適應率，即積分指數自適應律，表示為：
式中：α＞0，ε＞0，β＞0，μ＞0，γ為正整數。當β=0時，自適應律經過簡化變為積分自適應律［6］。
3.2 自適應滑?？刂破髟O計
本文設計的串類水果分揀并聯機器人轉動慣量自適應滑?？刂圃砣鐖D3 所示。該控制器主要由自適應切換增益和轉動慣量在線辨識兩個模塊構成。自適應切換增益基于滑模變量設計而成，主要作用是克服串類水果分揀并聯機器人因末端負載變化問題引起的支路間不確定影響。由于滑?？刂菩枰咔袚Q增益，設計的自適應律需有效抑制抖振。轉動慣量在線辨識的主要作用是克服串類水果分揀并聯機器人受到的外部負載擾動影響。伺服系統的轉動慣量變化范圍大，采用梯度校正算法實時辨識負載轉動慣量的大小，并在控制器當中形成補償，可提高系統的魯棒性和抗干擾能力。
Fig.3 Motion control principle block diagram of series fruit sorting parallel robot mechanism圖3 串類水果分揀并聯機器人轉動慣量自適應滑?？刂圃砜驁D
為更有效地控制不同支路的交流伺服驅動電機及相關驅動器，為支路搭建相應的數學模型。表示為：
在單支路控制系統中，滑模變量s為：
可得：
式中：ρ(t)表示集總不確定項。
滑模變量動態方程為：
控制律u表示為：
當=0時可推導出：
將式（31）代入式（28）可得：
綜上，總的控制律為：
3.3 穩定性證明
此次設計的積分指數自適應滑?？刂疲↖ntegral Exponential Adaptive Sliding Mode Control，IEG-ASMC）分為兩個階段，即補償與趨近階段。在補償階段，當切換增益K小于ψsgn(s)/Γ時有：
由式（23）和式（34）可得：
因此，|s|非減。根據式（24）和Γ＞0，有：
由于|s|非減，由式（24）可知(t)將會補償式（36）右側的上界，K最終會于有限時間t*內對ψsgn(s)/Γ 進行補償。任何|s|＞ε皆會產生最終時刻t*≥0，因此：
對于任何t≥t*，如果發生了ψsgn(s)/Γ 比切換增益K更大的情況，K將會對ψsgn(s)/Γ 作進一步補償。因此，t*≥0 會一直存在，滑模變量s符合|s|＞ε要求，(t)仍會持續增加，保持一般性，存在κ＞0 和δt＞0，對 于t≥t*+δt，則有：
補償階段結束后，系統軌跡進入趨近階段。Lyapunov函數的構建公式為：
基于所有t≥t*+δt，有：
式中：在t*+δt和t≥t*+δt間采用積分，以便使|s|于限定時間內向領域|s|≤ε收斂。
4 仿真試驗結果分析
為保證系統轉動慣量能準確有效地完成在線識別，需嚴格校驗IEG-ASMC 算法的準確性率和有效性。在設計和開發串類水果分揀并聯機器人時需要為工作空間設計出門字形運動軌跡，根據動力學模型分別計算出在線和非在線識別到的電機慣量參數J與J'，根據平均值和進行自適應滑?？刂破髟O計。具體過程如下：分別對本文提出的IEG-ASMC 方法與文獻［6］中的自適應滑?？刂疲↖GASMC）方法、切換增益恒定的滑?？刂疲⊿MC）方法在如圖4 給定的期望軌跡下，以J作為電機慣量參數、Jˉ為自適應滑?？刂圃O計參數進行仿真。根據電機模型參數和伺服驅動器設置公式（25）中參數為Rph=18Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.052 5H，KT=1.25N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215；自適應滑?？刂破鲄禐閏1=2 500，c2=50，α=0.01，ε=2g(x)KTe，Te=0.001，β=1.5，μ=0.01，γ=1。仿真結果如圖5 所示?？梢钥闯?，本文方法在保證良 好跟蹤性能的前提下可有效削弱滑?？刂频亩墩駟栴}。
Fig.4 The desired trajectory of the end effector圖4 末端執行器位姿各分量期望軌跡
Fig.5 Simulation results圖5 仿真結果
比較辨識與不辨識兩種狀態下電機的跟蹤誤差，結果 見圖6?？梢钥闯?，本文方法有效提高了系統跟蹤精度。
Fig.6 Verification of online identification of load moment圖6 在線辨識負載轉動慣量驗證
5 驗證實驗
本文采用分布式結構建成串類水果分揀并聯機器人控制平臺。上位機（Personal Computer，PC）主要負責系統初始化、代碼編譯和人機交互以及狀態的監控等功能；下位機（Universal Motion and Automation Controller，UMAC）主要負責數據的整理、數模之間的轉換和運動控制等指令。PC 與UMAC 通過以太網（Ethernet）進行通訊。所搭建的串類水果分揀并聯機器人的整個程序流程是：在上位機當中編寫相關程序，整理所需參數的設定，將指令發送給下位機；下位機接收指令，并對數據進行計算和處理，利用板卡把指令發送給驅動系統，串類水果分揀并聯機器人的伺服電機在接收指令后完成相關運動；上位機接收力傳感器檢測的壓力結果，整理編碼器采集到的電機信息；下位機控制完成后把結果送回上位機。
在以往的滑?？刂飘斨?，為了滿足機器人系統的高性能控制，經常設計定值增益或無指數項的自適應律。在選用切換增益的同時必須滿足其高于不確定性的上邊緣，進而可以對負載擾動實時補償，但在生產應用中此信息不容易得到，導致機器人系統的性能不佳。本文設計的自適應律可以降低系統的不確定性，同時也能很好抑制抖振。實驗結果表明，本文方法的電機最大誤差為1.19 × 10-2rad，其他方法的電機最大誤差為 3.26 × 10-2rad、1.38 × 10-2rad、1.56 × 10-2rad，誤差均較大。說明本文方法能夠克服負載變化和系統不確定性作用，提高串類水果分揀并聯機器人的控制性能。
6 結語
串類水果分揀并聯機器人分揀不同種類的串類水果時質量會發生變化，從而導致負載變化具有不確定性，直接影響單通道系統的轉動慣量，進而影響機器人系統的控制精度。針對該問題，本文在分析電機機械運動方程的基礎上采用梯度校正參數辨識算法，沿著準則函數的負梯度方向不斷進行搜索，并修正參數的估計值，保障準則函數最小化，以此在線辨識系統轉動慣量的大小，增強系統對于負載擾動的魯棒性。為解決其不確定性上界難以獲取的問題，基于在線辨識系統轉動慣量的支鏈電機模型，引入滑?？刂品椒ú⒃O計積分指數自適應律，使其在近滑模面迅速有效調整滑模切換增益，提升了系統魯棒性，并抑制了滑?？刂贫墩?，提升了串類水果分揀并聯機器人的水果分揀效率。由于串類水果分揀并聯機器人存在耦合問題，會在一定程度影響其運行效率，后續可對該方面進行重點研究。
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近年來，我國水果產量逐年增長，傳統人工分揀方法效率低下，不利于現代農業的發展。實現機器人水果自動分揀以提高水果分揀效率、降低勞動強度、提高經濟效益是現代農業發展的趨勢。水果分揀工作可采用機械手完成［1］，目前多采用Delta 機械手［2］添加UPU 支鏈［3］的方式實現SCARA（Selective Compliance Assembly Robot Arm）運動的分揀操作。然而，UPU 支鏈長時間處于工作空間邊緣時損壞程度較大，會導致機械手控制精度降低。因此設計一款剛度大、精度高、承載能力強的串類水果分揀并聯機器人十分必要［4］。
1 相關研究
針對串類水果分揀并聯機器人末端負載變化強烈干擾、難以穩定運行的問題，國內外學者進行了諸多研究。例如，文獻［5］針對并聯機器人系統負載變化的問題，采用擴張狀態觀測器進行觀測與補償，根據狀態估測設計了控制器，提高了并聯機器人的抗干擾能力；文獻［6］分析了機器人系統額定負載和空載兩種狀態下的伺服系統損耗情況；文獻［7］針對末端執行器負載變化的并聯機器人軌跡跟蹤控制問題，在末端執行器中安裝力傳感器以測量負載變化，并提出一種超螺旋滑?？刂品椒?，仿真結果證實了其有效性。然而，以上控制方法均未能在末端負載大范圍變化的情況下確保串類水果分揀并聯機器人良好的軌跡跟蹤性能。為此，本文通過解決系統負載轉動慣量在線辨識和末端執行器負載變化的自適應滑?？刂苾蓚€關鍵問題，以此達到對串類水果分揀并聯機器人的高性能控制。
并聯機器人在分揀不同種類的串類水果時質量會發生變化，即使拾取同種類的水果也難免會發生纏繞等情況，負載變化具有不確定性，直接影響單通道系統的負載轉動慣量［8］，給機器人控制帶來困難。如何實現系統負載轉動慣量的在線辨識是關鍵難題，為此國內外學者們嘗試了各種方法，例如文獻［9］提出的卡爾曼濾波器對時變數據和系統狀態的估測具有很好效果，其是一種隨機狀態估計器，但卡爾曼濾波算法需要設計各種假設條件，計算量大且復雜，影響了其在日?？刂葡到y中的普及；文獻［10］采用的最小二乘法及其衍生算法相對簡單，但僅能保障系統估計量誤差和處于最小水平，無法實現誤差的最優分布，因此無法用于精度控制；文獻［11-12］中的狀態觀測器法可以估測電機的瞬時狀態，但沒有較強的抗干擾能力，在復雜操作環境中位置檢測可能會出錯；文獻［13-15］中的梯度校正參數辨識算法對于同步電機這種存在較多變量的設備可進行參數變換，在每次計算與收斂時耗時較短、速度較快，擁有優良的性能。
為提高串類水果分揀并聯機器人的抗負載能力，必須選擇合適的控制方法。模糊邏輯控制方法雖然具有抗負載變化的能力，但在應用中很難消除系統穩態誤差，控制精度不高［16-17］；人工神經網絡具有自適應、自組織、自學習能力，然而算法復雜程度高［18-19］；魯棒控制通過將末端執行器的負載變化作為干擾進行抑制或補償，但難以有效應對負載變化［20-21］；滑?？刂剖且环N設計非線性不確定系統魯棒控制器的有效方法，其對控制通道中的參數變化具有魯棒性和動態性能好的優點［22-23］。
為此，本文針對串類水果分揀并聯機器人存在負載變化及支路不確定性等問題運用滑?？刂品椒?，并根據滑模變量設計對于不確定性變化具備較強適應能力的自適應規則，以克服負載變化的影響；同時有效抑制滑?？刂魄袚Q增益過估計帶來的抖振，以期增強系統對于負載變化的魯棒性。
2 串類水果分揀并聯機器人
2.1 機構簡述
串類水果分揀并聯機器人實物如圖1 所示，包括動靜平臺和4 組正交布置的R-（2-SS）（R 為旋轉副，S 為球副）支鏈。為減輕運動部件質量，主動臂和從動臂的主要制作材料為碳纖維，動平臺的主要制作材料為鋁合金。動平臺由主、輔兩個平臺構成，通過轉動機構連接主平臺和輔平臺，轉動機構由通過軸承轉動連接在主平臺上的絲杠和固接于輔平臺上的螺母兩部分構成。
Fig.1 Physical entity of string fruit sorting parallel robot圖1 串類水果分揀并聯機器人實物
2.2 運動學分析
為了更好地實施運動學分析，進一步簡化串類水果分揀并聯機器人的設計，使之成為如圖2所示的等效機構。
Fig.2 Kinematic equivalent mechanism of string fruit sorting parallel robot圖2 串類水果分揀并聯機器人運動學等效機構
基于靜平臺的中點創建參考坐標系O-xyz，將該坐標系下的主平臺和輔平臺分別作為質點P1和P2，因此P1(P2)的矢量r可表示為：
式中：s為P1點到P2點的長度；e為主動臂轉軸到靜平臺中心的長度；l1、l2分別表示支路i主、從動臂的桿長度；ui、wi分別表示主動臂和從動臂的單位矢量。其中ui表示為：
式中：θi為主動臂i的轉角。根據機構的裝配方式便能列出運動學逆解方程：
式中：分別表示為坐標系O-xyz各坐標軸上的單位矢量。
由式（2）和式（3）可求出wi：
將式（1）左右兩端分別對時間求導，整理可得：
將式（5）兩端點乘wiT并寫成矩陣形式，可得速度模型為：
式中：J、Jθ與Jx分別表示雅克比矩陣、直接與間接雅克比矩陣；。
通過式（5）對于時間的求導，可求出加速度模型的計算公式：
2.3 動力學分析
為構建串類水果分揀并聯機器人的動力學模型，本文作出如下假設：①各運動副之間工作過程中產生的摩擦無能量損失；②從動臂質量較小，轉動慣量也較小，可按照1∶2的比例將質量分配給動平臺與主動臂。
基于虛功原理，可作如下計算：
式中：τ表示主動關節的驅動轉矩；τAg表示主動臂對其轉軸的重力矩；IA表示主動臂傳遞給轉軸的轉動慣量等效值；表示動平臺轉動絲杠的角加速度；Is表示絲杠與負載轉軸的轉動慣量。
代入δθ=Jδr與δθs=(2π/p)δs，經過計算可以得到關節空間的動力學模型：
M(θ)為4 × 4 的對稱正定矩陣，稱為慣量矩陣。末端執行器負載的變化會引起M(θ)的改變。
驅動關節的等效慣量為：
施加在電機軸上的等效負載慣量為：
交流伺服電機的數學模型可表示為驅動軸的角位移θout與輸入轉速ωd的傳遞函數：
式中：Rph、LD分別表示定子繞阻和電樞電感；Kpi、Kpv分別表示電流環和速度環增益；KE為感應電動勢常數；Kii、KT、αT分別表示電流反饋系數、轉矩系數以及測速反饋系數；J(t)=J+J'，J表示負載轉動慣量，J'表示電機轉子轉動慣量。
2.4 梯度校正參數辨識算法
梯度校正參數辨識算法建立在梯度函數理論的基礎上，校正原則為基于準則函數的負梯度方向進行搜索，修正模型參數的估計值，保障準則函數最小化［22］。
永磁同步電機主要包括轉子與負載兩部分［23］，機械運動可用公式表示為：
式中：wm表示轉子機械角速度，Tem表示電機電磁轉矩，TL表示負載轉矩，J表示負載施加于電機軸上的總轉動慣量，B表示粘性阻尼系數。
將式（10）離散化為：
式（11）可進一步轉化為：
則式（11）可表示為：
Ts為運用梯度校正慣量辨識算法進行采樣時轉速與電磁轉矩所需的采樣周期。由于慣量辨識所需的周期較短，采樣頻率必須足夠高，離散化不易造成失真，無需考慮，得出公式（18）：
由文獻［6］可知梯度校正參數辨識的實用公式為：
式中：(k-1)=[(k-1)(k-1)(k-1)]T；α、β分別表示兩個修正參數與待辨識參數，根據即可求出負載的轉動慣量J。
3 控制器設計
3.1 自適應律設計
不確定非線性系統表示為：
式中：x∈χ表示系統狀態向量，χ?Rn表示存在原點的領域，u∈R表示控制輸入，f(x)表示存在不確定性參數的光滑函數，g(x)表示易為外界擾動影響的光滑函數。函數f(x) 與g(x) 無明確的界，g(x) ≠0 可以控制全部的(x，t) ∈χ系統，使得滑模變量s于短期內接近零的領域。假設S與控制輸入u將相對階保持為1，則：
為方便起見，下文將簡化這些函數的表達（S、ψ、Γ 中x與t將省略）。假設函數ψ和Γ 有界，但該界未知，不失一般性地有：
非線性不確定系統中，滑模變量可通過式（20）來計算。反饋控制律u(t)可表示為：
將式（22）代入式（20）中，得到：
式中：sgn表示符號函數，K表示切換增益。
為彌補現有自適應律的不足之處，本文還制定出一種新的自適應率，即積分指數自適應律，表示為：
式中：α＞0，ε＞0，β＞0，μ＞0，γ為正整數。當β=0時，自適應律經過簡化變為積分自適應律［6］。
3.2 自適應滑?？刂破髟O計
本文設計的串類水果分揀并聯機器人轉動慣量自適應滑?？刂圃砣鐖D3 所示。該控制器主要由自適應切換增益和轉動慣量在線辨識兩個模塊構成。自適應切換增益基于滑模變量設計而成，主要作用是克服串類水果分揀并聯機器人因末端負載變化問題引起的支路間不確定影響。由于滑?？刂菩枰咔袚Q增益，設計的自適應律需有效抑制抖振。轉動慣量在線辨識的主要作用是克服串類水果分揀并聯機器人受到的外部負載擾動影響。伺服系統的轉動慣量變化范圍大，采用梯度校正算法實時辨識負載轉動慣量的大小，并在控制器當中形成補償，可提高系統的魯棒性和抗干擾能力。
Fig.3 Motion control principle block diagram of series fruit sorting parallel robot mechanism圖3 串類水果分揀并聯機器人轉動慣量自適應滑?？刂圃砜驁D
為更有效地控制不同支路的交流伺服驅動電機及相關驅動器，為支路搭建相應的數學模型。表示為：
在單支路控制系統中，滑模變量s為：
可得：
式中：ρ(t)表示集總不確定項。
滑模變量動態方程為：
控制律u表示為：
當=0時可推導出：
將式（31）代入式（28）可得：
綜上，總的控制律為：
3.3 穩定性證明
此次設計的積分指數自適應滑?？刂疲↖ntegral Exponential Adaptive Sliding Mode Control，IEG-ASMC）分為兩個階段，即補償與趨近階段。在補償階段，當切換增益K小于ψsgn(s)/Γ時有：
由式（23）和式（34）可得：
因此，|s|非減。根據式（24）和Γ＞0，有：
由于|s|非減，由式（24）可知(t)將會補償式（36）右側的上界，K最終會于有限時間t*內對ψsgn(s)/Γ 進行補償。任何|s|＞ε皆會產生最終時刻t*≥0，因此：
對于任何t≥t*，如果發生了ψsgn(s)/Γ 比切換增益K更大的情況，K將會對ψsgn(s)/Γ 作進一步補償。因此，t*≥0 會一直存在，滑模變量s符合|s|＞ε要求，(t)仍會持續增加，保持一般性，存在κ＞0 和δt＞0，對 于t≥t*+δt，則有：
補償階段結束后，系統軌跡進入趨近階段。Lyapunov函數的構建公式為：
基于所有t≥t*+δt，有：
式中：在t*+δt和t≥t*+δt間采用積分，以便使|s|于限定時間內向領域|s|≤ε收斂。
4 仿真試驗結果分析
為保證系統轉動慣量能準確有效地完成在線識別，需嚴格校驗IEG-ASMC 算法的準確性率和有效性。在設計和開發串類水果分揀并聯機器人時需要為工作空間設計出門字形運動軌跡，根據動力學模型分別計算出在線和非在線識別到的電機慣量參數J與J'，根據平均值和進行自適應滑?？刂破髟O計。具體過程如下：分別對本文提出的IEG-ASMC 方法與文獻［6］中的自適應滑?？刂疲↖GASMC）方法、切換增益恒定的滑?？刂疲⊿MC）方法在如圖4 給定的期望軌跡下，以J作為電機慣量參數、Jˉ為自適應滑?？刂圃O計參數進行仿真。根據電機模型參數和伺服驅動器設置公式（25）中參數為Rph=18Ω，Kpi=15，Kii=1，LD=0.052 5H，KT=1.25N·m/A，aT=0.1，Kpv=0.08，KE=1.215；自適應滑?？刂破鲄禐閏1=2 500，c2=50，α=0.01，ε=2g(x)KTe，Te=0.001，β=1.5，μ=0.01，γ=1。仿真結果如圖5 所示?？梢钥闯?，本文方法在保證良 好跟蹤性能的前提下可有效削弱滑?？刂频亩墩駟栴}。
Fig.4 The desired trajectory of the end effector圖4 末端執行器位姿各分量期望軌跡
Fig.5 Simulation results圖5 仿真結果
比較辨識與不辨識兩種狀態下電機的跟蹤誤差，結果 見圖6?？梢钥闯?，本文方法有效提高了系統跟蹤精度。
Fig.6 Verification of online identification of load moment圖6 在線辨識負載轉動慣量驗證
5 驗證實驗
本文采用分布式結構建成串類水果分揀并聯機器人控制平臺。上位機（Personal Computer，PC）主要負責系統初始化、代碼編譯和人機交互以及狀態的監控等功能；下位機（Universal Motion and Automation Controller，UMAC）主要負責數據的整理、數模之間的轉換和運動控制等指令。PC 與UMAC 通過以太網（Ethernet）進行通訊。所搭建的串類水果分揀并聯機器人的整個程序流程是：在上位機當中編寫相關程序，整理所需參數的設定，將指令發送給下位機；下位機接收指令，并對數據進行計算和處理，利用板卡把指令發送給驅動系統，串類水果分揀并聯機器人的伺服電機在接收指令后完成相關運動；上位機接收力傳感器檢測的壓力結果，整理編碼器采集到的電機信息；下位機控制完成后把結果送回上位機。
在以往的滑?？刂飘斨?，為了滿足機器人系統的高性能控制，經常設計定值增益或無指數項的自適應律。在選用切換增益的同時必須滿足其高于不確定性的上邊緣，進而可以對負載擾動實時補償，但在生產應用中此信息不容易得到，導致機器人系統的性能不佳。本文設計的自適應律可以降低系統的不確定性，同時也能很好抑制抖振。實驗結果表明，本文方法的電機最大誤差為1.19 × 10-2rad，其他方法的電機最大誤差為 3.26 × 10-2rad、1.38 × 10-2rad、1.56 × 10-2rad，誤差均較大。說明本文方法能夠克服負載變化和系統不確定性作用，提高串類水果分揀并聯機器人的控制性能。
6 結語
串類水果分揀并聯機器人分揀不同種類的串類水果時質量會發生變化，從而導致負載變化具有不確定性，直接影響單通道系統的轉動慣量，進而影響機器人系統的控制精度。針對該問題，本文在分析電機機械運動方程的基礎上采用梯度校正參數辨識算法，沿著準則函數的負梯度方向不斷進行搜索，并修正參數的估計值，保障準則函數最小化，以此在線辨識系統轉動慣量的大小，增強系統對于負載擾動的魯棒性。為解決其不確定性上界難以獲取的問題，基于在線辨識系統轉動慣量的支鏈電機模型，引入滑?？刂品椒ú⒃O計積分指數自適應律，使其在近滑模面迅速有效調整滑模切換增益，提升了系統魯棒性，并抑制了滑?？刂贫墩?，提升了串類水果分揀并聯機器人的水果分揀效率。由于串類水果分揀并聯機器人存在耦合問題，會在一定程度影響其運行效率，后續可對該方面進行重點研究。
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