基于時變參數的灰色模型在變形監測中的應用

樊海青，馬彥鳳

（1.廣東省國土資源測繪院，廣東 廣州 510500；2.廣東省測繪工程有限公司，廣東 廣州 510700）

灰色系統通過建模、預測和分析等過程，能從已有少量信息中提取有價值的信息，為多個領域的組織決策和控制提供依據?；疑Ｐ褪窃谪毿畔⒌那闆r下進行建模，對少量的原始觀測數據進行處理，生成新的數據序列，并通過建立與求解白化微分方程得到預測模型，因此被廣泛應用于變形監測工程中[1-5]。利用灰色GM(1,1)模型建立變形監測預測模型的方法較普遍，但也會出現模型的擬合與預測結果與實際值偏離較大的情況，因此相關學者采用灰色Verhulst模型、灰色二階GM(2,1)模型、灰色GM(1,N)模型[6-8]等改進灰色模型進行數據分析，其中灰色二階GM(2,1)模型能反映序列的趨勢性變化，對數據的變化趨勢提取更加有效。傳統灰色模型在建立白化微分方程時，發展系數和灰色作用量為固定值，但在相關文獻中提出，在同一時間序列中發展系數是固定量，而灰色作用量會隨時間發生變化，即具有時變性質。本文以礦區地表沉降實測數據為例建立灰色模型，根據灰色作用量時變性質和灰色二階GM(2,1)模型的優勢，建立了傳統灰色模型和基于時變參數的灰色模型；并對比了不同灰色模型沉降觀測的預測結果和精度，以驗證基于時變參數的灰色模型在沉降觀測和模型預測過程中的可靠性與優越性。

1 基于時變參數的灰色模型

1.1 灰色模型

基于時變參數的灰色模型是由傳統灰色模型改進而來，本文主要介紹灰色GM(1,1)模型和GM(2,1)模型。

1.1.1 灰色GM(1,1)模型

假設存在一組原始觀測數據序列，即[3-4]

將原始數據進行累加，生成一次累加序列，即

由于一次累加序列存在指數型增長的趨勢，滿足式（3）灰微分模型：

根據最小二乘法求解灰微分方程的待求參數估值，即

將a1、b1以及初始條件x(1)( )1 =x(0)( )1 代入式（3），即可求解傳統GM(1,1)模型的表達式：

還原數列得到原始觀測序列的預測值，即

1.1.2 灰色GM(2,1)模型

不同于灰色GM(1,1)模型，灰色GM(2,1)模型除了對原始觀測值進行了一次累加生成序列，還進行了一次累減生成序列。將式（1）中的原始數據進行累減，生成一次累減序列[9]，即

式中，a(1)x(1)(t)=x(0)(t)-x(0)(t-1)，t=2，3，…，n。

此時灰色GM(2,1)模型滿足的灰微分模型為：

以最小二乘法求解式（8）的待求參數估值為：

1.2 基于時變參數的灰色模型建立

張振超[10]等為優化灰色GM(1,1)模型擬合與預測精度，通過時變參數優化灰作用量，建立了一種基于時變參數的GM(1,1)模型，采用線性時間函數代替固定不變的灰作用量。因此，本文在傳統GM(1,1)模型和GM(2,1)模型的基礎上分別建立了基于時變參數的灰色模型[10-12]。

若以時間的線性函數b3+b4t代替灰色作用量固定值，傳統GM(1,1)模型的灰微分方程表達式為：

以最小二乘法求解式（10）的待求參數估值為：

將a1、b3、b4以及初始條件x(1)( )1 =x(0)( )1 代入式（10），即可求解基于時變參數的GM(1,1)模型表達式，即

同理，GM(2,1)模型的灰微分方程表達式為：

以最小二乘法求解式（13）的待求參數估值為：

采用式（6）還原數列，得到原始觀測序列的預測值。

1.3 基于時變參數的灰色模型檢驗

基于時變參數的灰色模型以灰色模型為基礎，因此應進行灰色模型檢驗，驗證建立模型是否符合實際情況。檢驗指標以相對誤差、后驗方差比和小誤差概率為主，判斷灰色模型預測精度等級（表1）。

表1 灰色模型精度檢驗

2 實例分析

2.1 數據來源

本文以礦區采空區某走向觀測線中93號、101號

沉降監測點為例，分別觀測14期，采用電子水準儀按照國家三、四等水準測量規范要求對沉降監測點的垂直位移進行觀測（表2、3）。為比較不同灰色模型的預測結果，本文設計了4 種灰色模型的算方案：①傳統灰色GM(1,1)模型；②傳統灰色GM(2,1)模型；③基于時變參數的GM(1,1)模型；④基于時變參數的GM(2,1)模型；將前10期作為擬合觀測序列，后4期作為觀測序列。

表2 93號監測點累計沉降值

表3 101號監測點累計沉降值

2.2 預測結果分析

2.2.1 傳統灰色模型預測結果

根據傳統灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型建立的過程，編制灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型的計算機語言程序，輸入沉降監測點原始數據并建立灰色模型，得到預測結果以及預測值與實測值的殘差值，見表4、5。

表4 93號監測點傳統灰色模型預測結果/mm

表5 101號監測點傳統灰色模型預測結果/mm

2.2.2 基于時變參數的灰色模型預測結果

由于灰色作用量具有時變性質，本文建立基于時變參數的灰色GM(1,1)和GM(2,1)模型。根據時變參數灰色模型的建立過程，以沉降監測點為原始數據建立模型并計算，得到預測結果以及預測值與實測值的殘差值（表6、7）。

表6 93號監測點時變參數灰色模型預測結果/mm

表7 101號監測點時變參數灰色模型預測結果/mm

2.2.3 不同模型預測結果對比分析

1）對于93 號監測點，方案①、②的殘差絕對值最大值分別為100 mm、40 mm，均方根誤差分別為11.53 mm、5.92 mm；對于101號監測點，方案①、②的殘差絕對值最大值分別為73 mm、68 mm，均方根誤差分別為12.12 mm、10.09 mm。在傳統灰色模型中，方案②建立的灰色GM(2,1)模型求取的預測值均方根誤差最小，預測精度最高。

2）對于93 號監測點，方案③、④的殘差絕對值最大值分別為32 mm、21 mm，均方根誤差分別為3.89 mm、3.18 mm；對于101 號監測點，方案③、④的殘差絕對值最大值分別為72 mm、43 mm，均方根誤差分別為10.86 mm、9.64 mm。在基于時變參數的灰色模型中，方案④建立的時變參數GM(2,1)模型求取的預測值均方根誤差最小，模型預測精度最高。

3）根據表1 對基于時變參數的GM(2,1)模型進行精度評價，兩個沉降監測點的精度檢驗等級均為Ⅱ級。

3 結 語

為提高灰色模型擬合與預測精度，本文將灰色作用量表示為隨時間的變化的線性函數，建立了以時變參數優化灰色作用量的改進灰色模型；并通過建立不同灰色模型，對比分析了預測效果。結果表明，基于時變參數的GM(2,1)模型具有更好的預測效果，彌補了灰色作用量固定不變導致的預測精度差的問題。不足之處在于，在微分方程相關矩陣計算中，背景值基于前后緊鄰值等權的原則，未對背景值進行優化，有待于進一步研究。