飽和土體滲透系數與孔徑關系初探

徐用之,劉金陽,許成波,羅 金,任興偉*

(1.中國地質大學(武漢)工程學院,湖北 武漢 430074;2.武漢城建集團,湖北 武漢 430022;3.云南省地質工程勘察有限公司,云南 昆明 650051;4.湖北省地質局冶金地質勘探大隊,湖北 黃石 435004)

眾多工程實例和室內試驗表明,飽和土體滲透系數的大小直接決定了土體變形和孔隙水壓力發展變化的快慢,同時土體滲透系數對動孔隙水壓力的瞬時響應也有著顯著的影響。飽和土體的滲透系數一般通過試驗獲得,但無論是采用哪種試驗方法,試驗數據的離散性都非常大,試驗誤差甚至可能達到100倍?？紤]到試驗的復雜性和試驗數據的離散性,如果有一種方法能夠利用簡單的物理力學參數來合理預測土體的滲透系數,那將是一項非常有意義的工作。但實際上,如何準確預測土體的滲透系數是一個長期存在的挑戰。無論是理論上還是實踐中都表明土體滲透系數與土顆粒的粒徑,黏粒含量,孔隙結構如孔徑分布、孔隙通道的彎曲程度、孔喉、孔隙配位數,飽和度和流體類型,孔隙比以及滲流介質與土顆粒骨架間的物理化學作用等有關[1-6]。

土體滲透系數影響因素的繁雜性,給準確預測土體滲透系數帶來了巨大的挑戰。盡管如此,還是有學者[1,7-15]在理想模型和試驗的基礎上提出了很多預測模型。Chapuis[16]概述了從1880年到2010年130 a內眾多學者提出的45個土體滲透系數預測模型,根據土體的類型不同可將這些模型分為粗顆粒土(無塑性土,non-plastic soils)預測模型和細顆粒土(塑性土,plastic soils)預測模型。不論是針對粗顆粒土還是細顆粒土,其中大部分的預測模型(33個)都圍繞著孔隙比(孔隙率)展開,如應用廣泛的Konzeny-Carman方程;也有小部分的預測模型(12個)僅針對粗顆粒土,沒有考慮孔隙比(孔隙率)的影響,而是僅考慮了有效粒徑(effective grain size)d5、d10、d17、d20、d50,其中最有代表性的便是Hazen方程[17]。

目前土體滲透系數預測模型中,應用最廣泛的是Kozeny-Carman方程,其表達形式如下[1,7]:

(1)

式中:k為土體滲透系數(cm/s);CF為孔隙通道系數,CF=0.2;Ss表示土顆粒的比表面積(m2/g);g為重力加速度(m/s2);μ為流體黏度(N·s/m2);ρfd和ρm分別表示流體和骨架材料的密度(kg/m3);e為孔隙比。

Kozeny-Carman方程能夠很好地計算粗顆粒土如砂土的滲透系數[1,7,17],但是卻不適合用于細顆粒土滲透系數的預測[1,8-9,18-21]。為此,眾多學者對此方程進行了改進,主要是圍繞著孔隙比e的指數進行,將方程(1)中孔隙比e的指數從3放寬到n,即:

(2)

式中:孔隙比e的指數n=3～14,其取值主要取決于土體類型。

方程(2)確實提高了土體滲透系數的預測精度,但是直接將孔隙比的指數用n取代方程(1)中的“3”缺乏足夠的理論依據,并且指數n缺乏明確的物理意義,對于不同類型的土體,n的值變化較大且不易確定。

采用有效粒徑而不考慮孔隙比(孔隙率)的預測模型僅適用于粗顆粒土體(無塑性土體),最具代表性的是1892年Hazen提出的方程,即Hazen方程,其可表示為[17]

(3)

式中:d10表示土體有效粒徑(mm),為累計分布曲線上過篩重量占10%時所對應的顆粒粒徑;T表示水溫(℃)。

對于室溫條件下(T=20 ℃),方程(3)等同于如下方程

(4)

此后,有眾多學者采用不同的有效粒徑d5、d17、d20、d50代替d10,或者改變前面的系數,因此更為普遍的Hazen方程可表述為

k=Cd2

(5)

式中:d表示土體有效粒徑(mm),即d5、d10、d17、d20、d50等;C為經驗常數,各類土體取不同有效粒徑的情況下C值不同。

然而,無論是Kozeny-Carman方程還是Hazen方程,都能較好地描述單一土體的滲透系數與孔隙比或者有效粒徑之間的相互關系,但是對于不同類型的土體,由于模型參數不同,很難具有廣泛的適用性。為此,本文收集分析了大量的試驗數據,重新分析了控制土體滲透系數的因素,嘗試從孔徑這一角度分析多孔介質的滲透特性。本文主要研究目標是明晰土體滲透系數的關鍵控制因素,提出一個簡單且更具有普適性的預測模型,以提高對多孔介質滲透特性的認識。

1 試驗數據整理與分析

為了重新審視土體滲透系數與孔隙比之間的關系,并探討土體滲透系數的控制因素,本文搜集了1948年以來大量飽和土體滲透系數k和相對應的孔隙比e的試驗數據,涉及從粗糙砂礫石到蒙脫土等各種土體。所有的試驗數據繪制在對數坐標系內,見圖1。

圖1 不同類型土體的滲透系數與孔隙比之間的關系(圖片修改自Ren等[28],數據來源于相關文獻[1-2,8-9,18-27]Fig.1 Relationship between permeability coefficient and pore ratio of different types of soils (modified from Ren et al.[28],data from literatures[1-2,8-9,18-27])

由圖1可以看出:對于每一種單獨的土質,其土體滲透系數都隨著孔隙比的增大而增大,但是對于不同的土質而言,這一結論并不能夠成立,比如即使在細顆粒土的孔隙比比粗顆粒土大的情況下,細顆粒土的土體滲透系數依然比粗顆粒土的小很多。這就是為什么眾多學者提出的以孔隙比計算土體滲透系數的模型都不具有廣泛適用性的根本原因?？梢?控制土體滲透系數的最主要因素不是孔隙比,而是孔徑。實際上,由于Kozeny-Carman方程是在Hagen-Poiseuille方程對單一管道模型的基礎上推導出來的,其本質上強調的其實是孔徑而非孔隙比對于滲流的重要性。

在實際中土體的孔徑往往難以測量,但土體的平均孔徑dp可以寫成孔隙比e和比表面積Ss的函數,如表1所示。本文以黏土中扁平狀顆粒最為常見的平行板狀結構(面-面接觸關系)為例,推導平均孔徑dp的表達式。表1平行板狀結構示意圖中,dm表示土體板狀顆粒的厚度(m),B、L分別是土體板狀顆粒的寬度(m)和長度(m),據表1中幾何排列方式示意圖可以寫出土體的孔隙比和比表面積的表達式分別如下:

表1 幾種典型幾何結構和排列方式的土體顆粒的幾何特性

(6)

(7)

上式中:Vp表示孔隙的體積;Vm表示土體顆粒的體積;S表示土體顆粒表面積;m表示土體顆粒體積。

聯合式(6)和(7),消去dm,則可以得到平均孔徑dp的表達式如下:

(8)

由表1中公式也可以看出,對于扁平狀的土體顆粒,無論其為何種幾何排列方式,孔徑都可以表達為孔隙比和比表面積的函數。但是,對于給定幾何排列方式的單一粒徑的球狀顆粒而言,其孔隙比為定值,這導致了其平均孔徑僅是比表面積的函數,但是這并不表示孔隙比對平均孔徑沒有影響。實際上,對于給定的單一粒徑的球狀顆粒土體,孔隙比僅受顆粒的幾何排列方式控制[28-29]:當顆粒呈立方體排列時其結構最為松散,孔隙比emax=0.908;當顆粒呈正四面體排列時其結構最為緊密,孔隙比emin=0.351。同時,顆粒的幾何排列方式也影響著孔徑的大小。因此,對于球狀顆粒土體,可以認為孔隙比是通過土體顆粒幾何排列方式來間接影響孔徑的,也就是說對于不同粒徑和幾何排列方式的球狀顆粒土體而言,孔徑也可以表達為孔隙比與比表面積的函數。因此,任何的土體,其平均孔徑dp可以表示如下:

(9)

式中:e為孔隙比;Ss為比表面積(m2/g);ρm為土體顆粒密度(kg/m3);Csa為由土體顆粒形狀和排列方式決定的參數,根據表1,可以取不同幾何排列方式下的平均值,對于細顆粒黏土,在不明確微觀土體顆粒排列方式的情況下,Csa可取4.0,對于粗顆粒土體,Csa可取2.69。

對于土體顆粒粒徑dm或者比表面積Ss已知而孔隙比e未知的粗顆粒土體,可直接采用表1中給出的平均孔徑公式進行計算;當幾何排列方式未知時,可取表1中粗顆粒土體在立方體和正四面體結構下的平均孔徑的平均值來作為土體顆粒平均孔徑,即采用下式進行計算:

(10)

為了直接探討土體滲透系數與孔徑間的關系,需要按式(9)和(10)求出平均孔徑。平均孔徑是比表面積的函數,然而圖1中所列出的土體滲透系數所對應土體的比表面積大多在文獻并沒有給出,故需要根據參考文獻中所給出的土體的其他參數來估算比表面積Ss。對于球狀粗顆粒土體(砂土)的比表面積Ss,可以根據顆粒粒徑的累計分布曲線來進行估算[30-31]:

(11)

式中:Cu為土體顆粒不均勻系數,Cu=D60/D10,D10、D50、D60分別是土體粒徑累計分布曲線上過篩重量占10%、50%和60%時所對應的粒徑(mm);ρw為水的密度(g/m3);Gs為土體顆粒相對密度。

對于細顆粒土體的比表面積Ss,可以用液限來進行估測[30-31]:

Ss=1.8LL-34

(12)

式中:LL為土體液限(%)。

根據式(6)～(12),結合圖1中所列出的孔隙比和土體滲透系數,便可以估算出各組土體滲透系數所對應的平均孔徑,如圖2所示。其中,空心圓所示土體對應的平均孔徑按式(9)計算;實心方形為未知孔隙比(大部分為0.4

圖2 實測土體滲透系數與估算平均孔徑的關系Fig.2 Relationship between measured permeability coefficient and estimated average pore size

圖2中非常清楚地展現了土體滲透系數與平均孔徑的關系。對于每一組單獨的土體而言,其土體滲透系數隨著平均孔徑的增大而增大;對于不同土體而言,無論是粗顆粒的砂土,還是細顆粒的黏土或是粉土,其滲透系數也都隨著平均孔徑的增大而增大,而不會出現圖1中大孔隙比土體(細顆粒土)的滲透系數反而比小孔隙土體(粗顆粒土)的滲透系數小的現象。這也證實了本文前述的觀點:孔徑才是影響土體滲透系數最主要的因素,而非孔隙比。采用土體的平均孔徑作為參數預估其滲透系數是建立合理的土體滲透系數預測模型的前提。

此外,在k-dp曲線中,存在兩個特征孔徑:門檻孔徑(threshold pore size)dtp和臨界孔徑(critical pore size)dcp。當平均孔徑低于門檻孔徑時,土體滲透系數趨近于0,土體中的水近乎靜止;當平均孔徑高于門檻孔徑時,土體滲透系數隨孔徑的增大而明顯增大。當土體的平均孔徑達到某一值后,土體滲透系數與平均孔徑之間接近直線關系,臨界孔徑即指在對數坐標系內k-dp直線段起始點所對應的孔徑。由圖2中的大量試驗數據可以看出,土體的門檻孔徑dtp約為納米級別(1×10-9m),臨界孔徑dcp約為9×10-7m,這兩個特征孔徑的存在也可根據Darcy定律解釋:當土體的孔徑大于臨界孔徑dcp時(dp>dcp),土體中水的滲流特征符合Darcy定律;當土體的孔徑位于門檻孔徑與臨界孔徑之間(dtp

2 基于孔徑的土體滲透系數預測模型建立

任意飽和多孔介質都包含眾多不同形狀和尺寸的滲流通道[32],其斷面如圖3(a)所示。為了探究飽和多孔介質滲透系數k與其控制變量孔徑間的函數關系,本文將所有不同形狀和尺寸的滲流通道簡化為孔徑為R的單一圓形通道,如圖3(b)所示。

圖3 飽和多孔介質橫截面示意圖Fig.3 Schematic cross-section of saturated porous media

當壓力水頭為h(m)的液體在半徑為R(m)、長度為L(m)的單一圓形通道中流動時,根據力的平衡原理,總的水頭壓力應該等于水體流動時所需要克服的剪力與摩擦力,但考慮到因克服摩擦力的能量損失計算過于復雜,此處只考慮理想狀態下不考慮水體流動時克服摩擦力做的功,即:

(13)

式中:γw為水的重度(N/m3);μ為流體黏度(N·s/m2);v為流速(cm/s)。

因此,通過求解式(13)可以得到流速的表達式為

(14)

眾所周知,對于層流而言,流體在與管道內表面接觸的地方(r=R處)流速為0(v=0),因此根據這個邊界條件可求得常數C的計算公式為

(15)

將式(15)代入(14)中,便可以得到流速的完整表達式如下:

(16)

式中:μ為動力黏滯系數(Pa·s);i為水力梯度,i=h/L。

r處流量為流速v乘以該處的環形截面積2πrdr,因此整個圓形管道截面的流量Q可表示為

(17)

式中:n為飽和多孔介質的孔隙率,n=e/(1+e);A為斷面橫截面積(m2),nA=πR2。

根據Darcy定律,層流的流量可以表示為

Q=kiA

(18)

綜合式(17)和(18),可以得到飽和多孔介質中將滲流通道簡化為單一圓形管道后的土體滲透系數的表達式為

(19)

將孔隙比e與孔徑dp的關系式(9),以及dp=2R代入到式(19)中,則可得到飽和多孔介質滲透系數k與孔徑dp的關系式為

(20)

同圓管狀滲流通道的推導類似,對于由兩無限平行板形成的滲流通道,其土體滲透系數k與孔徑dp的關系式為

(21)

在室溫T=20 ℃下,水的重度γw=9.8×103N/m3,動力黏滯系數μ=1.0×10-3Pa·s。

由圖4可以看出,試驗數據的最佳擬合曲線的斜率為0.95,非常接近1,可見理論預測模型在形式上是正確的。

圖5(a)和5(b)分別對采用傳統土體滲透系數預測模型Kozeny-Carman方程[公式(1)]和本文提出的土體滲透系數預測模型[公式(20)]預測得到的土體滲透系數預測值與實測值進行了對比,數據來源于文獻[1-2,8-9,11,15-19]。

圖5 本文土體滲透系數預測模型與傳統Kozeny-Carman模型的土體滲透系數預測結果的對比Fig.5 Comparison of predicted soil permeability coefficients between the proposed prediction model and the classical Kozeny-Carman model

由圖5可以看出:采用傳統Kozeny-Carman方程預測得到的砂土和粉土的土體滲透系數預測值具有較好的精確度,但細顆粒黏土的土體滲透系數預測值則不太理想,預測值總體比實測值偏大,有的偏差甚至達到3個數量級;而本文提出的預測模型[式(20)]在全范圍土體,即從砂土、粉土到黏土的土體滲透系數預測結果均有較好的精確度,所有的預測值與實測值的差異都在1個數量級之內,即1/10k實測

3 結 論

本文在研究分析大量文獻與試驗數據的基礎上,從孔徑的角度在Hagen-Poiseuille方程的基礎上推導出一個新的土體滲透系數預測公式,并與大量試驗數據進行對比,得出以下結論:

1) 相比土體顆粒粒徑和孔隙比,孔徑是控制土體滲透系數更為關鍵的因素,采用孔徑特征值(如平均孔徑)建立的土體滲透系數預測模型更為合理。這也是以粒徑和孔隙比為控制參數的傳統土體滲透系數預測模型(如Hazen方程和Kozeny-Carman方程)不具備普適性的根本原因,而孔隙比和粒徑是通過影響孔徑大小來間接影響土體滲透系數的。

2) 不論是細顆粒土還是粗顆粒土,其孔徑都可以表示為孔隙比和比表面積的函數,土體孔徑的大小與孔隙比成正比,但與比表面積成反比。

3) 就孔徑對土體滲透特性的影響而言,土體中可能存在兩個重要的特征孔徑,即門檻孔徑和臨界孔徑。大量的試驗數據顯示土體的門檻孔徑約為10-9m,臨界孔徑dcp約為9×10-7m。

4) 在Kozeny-Carman方程的假定基礎上,推導了土體滲透系數與孔徑的關系,建立了土體滲透系數的理論預測模型。該模型各個參數的物理意義明確,且取值相對容易確定,模型對土體滲透系數預測精度在1個數量級內,即1/10k實測

值得注意的是,本文提出了以孔徑為控制參數的土體滲透系數預測模型,該模型雖然抓住了影響土體滲透特性的關鍵因素,克服了傳統預測模型不具備普適性的缺陷,但是該預測模型的形式相對于傳統模型更為復雜;同時,雖然該模型參數(孔徑和比表面積)的物理意義較為明確,但并不像傳統模型中的粒徑和孔隙比一樣容易確定。因此,該模型的形式和參數的簡化將是未來研究的重點。