仿生鱷魚游動推進機制動力學分析*

馮創新， 蔣建平， 白宏磊， 何俊軒， 曾欽， 卓志欽

中山大學航空航天學院，廣東 深圳 518107

鱷魚是研制仿生水陸兩棲機器人的重要仿生對象。鱷魚在水中游動時，主要使用身體/尾鰭推進模式（梁建宏等，2002；王安憶等，2016），通過軀干和尾巴的周期擺動實現向前的游動。對于身體/尾鰭推進模式的機理有很多相關研究。Taylor（1952）采用靜態流體理論，通過準靜態逼近的方法建立了微小生物體的抗力水動力學模型。該模型著重考慮粘性力，而忽略了流體運動慣性力，適合雷諾數較小的情況。在Taylor 的基礎上，Hancock 建立了大擺幅抗力理論，但也忽略了流體運動慣性力，只適用于雷諾數較小的水生生物（Taylor，2011）。Lighthill（1960）基于小振幅位勢理論建立了鲹科魚類推進模式的數學模型，并將空氣動力學中的細長體理論用于魚類小振幅擺動方式游動的水動力學分析，進一步提出了大擺幅細長體理論（Lighthill，1970）。Wu（1961）提出了二維波動板理論，將魚體看作一塊二維彈性板，分析了扁平月牙尾魚類的游動規律。Chopra（1974）提出了一種可用于大擺幅、月牙形尾鰭推進的二維抗力理論。文獻（Candelier et al.，2011）將細長體理論推廣到三維情況，獲得了作用于細長魚體上的壓力表達式和動量表達式。

鱷魚在水中游動表現出隱匿性高、機動靈活、高效快速等卓越的游動特點，具有優異的水動力學特性。因此，國內外學者對于鱷魚或仿鱷魚機器人游動的水動力學進行了研究。王田苗等（2010）對仿鱷魚機器人水中游動速度進行實驗研究，分析了擺動頻率、擺動幅值對游動速度的影響，但其運動模式和真實鱷魚的游動有較大差距；游鵬（2022）基于中樞模式發生器控制方法，對仿鱷魚機器人進行了水上運動控制仿真分析，該研究主要著眼于機器人的運動控制，但水動力學模型簡單。Jia et al.（2015）建立了短吻鱷機器人的水動力學模型，但沒有對其擺尾推進的動力學規律進行研究。文獻（Seebacher et al.，2003）通過生物觀察，研究不同體型鱷魚的游動速度，分析了真實鱷魚游動速度隨擺幅和頻率的變化規律。但目前對鱷魚擺尾推進的動力學規律、推進效率和影響因素等的研究，還未見諸相關報道。針對鱷魚水中擺尾游動問題，本文采用適合大Re問題的大振幅細長體理論，參考真實鱷魚游動的姿態，用魚體波幅包絡線和行波曲線來描述鱷魚游動的身體曲線，建立鱷魚游動的運動學方程和動力學模型，用以揭示鱷魚擺尾游動的規律，分析了鱷魚穩態巡游過程中游動速度、加速度、推力功率以及游動效率隨擺動頻率、幅值和波長的變化情況，并給出游動效率隨雷諾數（Re）和斯特勞哈爾數（St）的變化規律，為研制仿鱷魚水陸兩棲機器人提供理論參考。

1 動力學建模

1.1 鱷魚擺尾的運動學模型

本文采用的鱷魚模型為小型灣鱷，通過3D 掃描獲得其物理模型，如圖1（b）所示。該鱷魚體長2 m、體寬0.35 m、體高0.17 m，尾巴長度為1 m。鱷魚在水中穩態游動時，為了穩定和保持身體平衡，四條腿并攏在身體兩側（Manter，2005），如圖1（a）所示（Allen et al.，2009）。將鱷魚物理模型的外表面簡化為連續曲面，以鱷魚鼻子尖為坐標原點，建立固聯于鱷魚的隨體坐標系（X，Y，Z）。其中，X軸為從頭指向尾的方向，Y軸為體高方向，Z軸為鱷尾橫向擺動方向，其簡化模型和坐標系的示意如圖1（c）所示。

圖1 鱷魚簡化模型Fig.1 Simplified model of a crocodile

以鱷魚體厚方向的對稱中心線來描述鱷魚游動的運動學關系，建立如圖2所示的鱷魚游動坐標系，(x，y，z)為絕對坐標系，以鱷魚的體干中線弧長a作為拉格朗日廣義坐標，設鱷魚身體總長為l，在尾巴末梢點a=l，則體干中線上任一點的空間坐標可以用a表示為

圖2 鱷魚游動坐標系Fig.2 The coordinate system for a swimming crocodile

假設鱷魚體干中線上某點沿曲線的切向向量為，法向向量為，則體干中線上各點的切向速度為u(a，t)，法向速度為w(a，t)，體干中線某點的合速度矢量為。分界面H將鱷魚游動的流場分為游動前區Ⅰ和游動尾跡區Ⅱ，且分界面H 始終垂直于切向速度u(a，t)，如圖2所示。

根據笛卡爾坐標系和拉格朗日廣義坐標系的空間幾何關系，得

采用魚體波幅包絡線和行波曲線來描述鱷魚游動的身體曲線（陳宏，2006）。在隨體坐標系(X，Y，Z)中，鱷魚在Y方向上沒有運動，則鱷魚游動時身體曲線表示為

其中Z(X，t)為身體橫向位移，c為波幅包絡線系數（等于鱷魚的最大擺幅），f為擺動頻率，λ為擺動波長。根據實驗觀測可知（Lindsey，1978），波幅包絡線系數c= 0.2～0.5，擺動頻率f= 0.5～1.5 Hz。當取c= 0.3、f= 0.5 Hz、λ= 1 m 時，鱷魚的體干波動曲線族如圖3所示，圖中橫軸表示體長。

圖3 體干波動曲線族Fig.3 Body curves of a swimming crocodile

1.2 鱷魚擺尾的動力學模型

鱷魚體長一般是體厚的6 倍以上、體高的10倍以上。因此，鱷魚可視為一個細長體，采用大振幅細長體理論（Lighthill，1971）建立其動力學模型。鱷魚身體橫向運動的虛質量很大，而縱向運動虛質量較小。因此，相對于法向速度w(a，t)的虛質量的動量，體干運動的切向速度u(a，t)對于體干某點的虛質量的動量，可以忽略不計。則單位弧長的動量矢量為

其中m(a)是魚體某一截面的單位長度虛質量，可采用具有同樣截面形狀的水柱計算，即

其中ρ為鱷魚周圍流體介質的密度；S(a)為體干橫截面的面積；β為無量綱的虛質量修正系數（陳宏，2006），取β= 0.95.將上述參數代入式（4）中，可得鱷魚的虛質量分布如圖4 所示。圖4 中，在前腿體厚最寬處m(a)達到最大值，在頭部頂端和尾巴末端m(a)為零。

圖4 體干截面的虛質量分布Fig.4 The distribution of virtual mass from a crocodile nose to tail tipction

則

將式（6）-（7）代入式（5）中，得到鱷魚所受周圍流體的反作用力矢量

鱷魚在水中游動的力學機理與慣性力、粘性力的相對大小有關，用Re=來表示兩者的相對比例。其中，U表示游動速度，υ表示流體的運動粘度，l表示鱷魚尾巴的最大擺幅。

鱷魚在穩態巡游時，處于高Re范圍，粘滯阻力相對很小，形體阻力占主導作用（Salazar et al.，2018）。此時，鱷魚的四肢并攏于身體兩側，由魚體主干產生形體阻力。因鱷魚的物理模型是連續的且體干截面積變化率較小，為了簡化計算，阻力D可以等價于具有相同Re的剛性體在相同流速所受到的流體阻力（夏丹等，2013），即

其中CD為流體阻力系數，ρ為周圍流體介質密度，S為魚體與周圍流體的接觸面積。且

設M為鱷魚總質量，根據牛頓第二定律建立鱷魚的動力學方程

將式（12）代入式（10）-（11），得

利用鱷魚的有效功率和損耗功率來綜合評價其游動效率?；贔roude 流體效率理論（王睿等，2016），瞬時有效功率為推進力P與游速U的乘積，瞬時損耗功率為尾跡區Ⅱ單位時間的動能ΔE，總瞬時輸出功率等于有效功率與損耗功率之和，則鱷魚的瞬時推進效率η為

一般認為水無粘性，則鱷魚尾巴末端的鄰近區域單位長度動能為尾巴末端的切向速度為u(a，t)|a=l，尾跡區Ⅱ的單位時間動能

2 鱷魚游動效率的影響因素分析

鱷魚自主游動過程中，身體主動變形對周圍流體產生激勵，使周圍的流場發生變化，對身體產生反作用力（崔祚等，2020），游動速度和作用力逐漸達到穩態巡游的狀態（白發鋼等，2022）。本節將討論鱷魚游動過程中速度、加速度、作用力和游動效率的變化規律，分析擺動幅值、擺動頻率等參數對游動性能的影響，揭示鱷魚自主游動的力學機理，同時探討Re和St對鱷魚游動效率的影響。

2.1 擺尾頻率、波長和幅值對運動特性的影響

初始時刻鱷魚和流體均處于靜止，鱷魚身體逐漸擺動并加速到穩態巡游，分析該過程中擺動頻率、波長和幅值對游動性能的影響。波長λ= 1 m，擺動幅值c= 0.3 時，不同擺動頻率下鱷魚游動過程中位移、速度和加速度如圖5所示。

圖5 c = 0.3，λ = 1 m時的位移、速度和加速度Fig.5 Displacement, velocity and acceleration of c = 0.3, λ = 1 m

在0.5、0.7、0.9 Hz 三種擺動頻率下，鱷魚游動速度從初始時刻經過大概12個周期達到穩態值，三種頻率下的平均穩態游動速度分別為0.45、0.69、0.95 m/s；不同擺動頻率下，鱷魚加速度隨頻率的增加而增加。在0.9 Hz 時，加速度最大為0.41 m/s2；在0.7 Hz 時，加速度最大為0.24 m/s2；f= 0.5 Hz 時，加速度最大為0.11 m/s2；且加速度峰值隨著時間增加而不斷減小，最終達到穩定狀態。

圖6給出了鱷魚穩態平均速度隨擺動頻率、最大擺幅和擺動波長的變化趨勢。圖7給出了穩態平均速度隨擺動頻率、最大擺幅和擺動波長的變化?？梢缘贸鼋Y論，擺動頻率對穩態平均速度的影響最大。在波長λ= 1 m，擺動系數c= 0.3 時，擺動頻率從0.3 Hz 逐漸增加到1.2 Hz，穩態平均速度從0.24 m/s 逐漸增加到1.36 m/s，穩態平均速度和擺動頻率幾乎呈線性變化。在波長λ= 1 m，擺動頻率f= 0.5 Hz 時，當最大擺幅從0.2 m 逐漸增加到0.6 m 時，穩態游動速度從0.30 m/s 逐漸增加到0.83 m/s，穩態平均速度和最大擺幅同樣是幾乎呈線性變化，但對穩態游動速度的影響不如擺動頻率大。在擺動系數c= 0.3，擺動頻率f= 0.5 Hz時，擺動波長λ從0.3 m 逐漸增大到2 m，穩態平均速度從0.26 m/s 逐漸變化到0.50 m/s，波長的變化對穩態平均速度的影響較小。λ從0.3 m 增大到1 m，穩態平均速度略微增大，λ從1 m 增大到2 m，穩態平均速度幾乎沒有變化。

圖6 速度隨擺動頻率、幅值和波長的變化Fig.6 Ⅴelocity change with swinging frequency, amplitude and wavelength

圖7 速度變化云圖Fig.7 Ⅴelocity variation cloud map

2.2 擺動頻率、波長、幅值對推進力的影響

圖8 是f= 0.5 Hz，c= 0.3，λ= 1 m 時，鱷魚瞬時作用力、瞬時作用力功率和瞬時游動效率隨無量綱時間的變化趨勢。隨著鱷魚尾巴開始擺動，瞬時阻力和推力都不斷增大，同時呈現完整的周期性變化。剛開始時，瞬時阻力和推力的變化都較大，隨著游動趨于穩定狀態，瞬時阻力和推力的增大變緩，最終達到動態平衡。在此工況下，穩態游動的平均推力和平均阻力約為6.3 N，兩者具有相同的頻率，但阻力的波峰比推力滯后0.1 個周期。瞬時推力功率和阻力功率呈現周期性波動，瞬時推力功率在整個時間進程中始終大于瞬時阻力功率，達到穩態游動時的平均功率約為3 W。鱷魚的瞬時游動效率在10%～99%之間周期性波動，鱷魚的平均游動效率為60.33%。

圖8 f = 0.5 Hz，c = 0.3，λ = 1 m時的瞬時作用力、功率和效率Fig.8 Ⅰnstantaneous force, power and efficiency of f = 0.5 Hz, c = 0.3, λ = 1 m

鱷魚游動過程中的推力功率和游動效率是很重要的水動力學參數。圖9給出了穩態平均推力功率和平均游動效率隨頻率、波長和最大擺幅的等高線圖?？梢缘贸鋈缦陆Y論：1）頻率是影響穩態平均推力功率的主要因素。對于給定的波長和最大擺幅，穩態平均推力功率隨著頻率的增加而增加，并且增加的梯度很大。在擺幅為0.6 m，波長為1 m 時，穩態平均推力功率從3 W 增加到最大200 W 左右；最大擺幅同樣影響著穩態平均推力功率，對于給定的波長和頻率，穩態平均推力功率隨著最大擺幅的增加而增加，增加的梯度不如頻率大。波長對穩態平均推力功率的影響最小。2）鱷魚的平均游動效率隨著頻率、波長、幅值的變化而改變，總體在40%～64%的范圍內變化；在頻率為0.7 Hz，幅值為0.2 m，波長為1.2 m 附近取得最大的平均游動效率。這對于生物學的現象有一個良好的解釋，當鱷魚需要長時間游動時采用游動效率最高的方式，盡可能的節省體力；當鱷魚對游速要求較高時，例如捕食時，通過增大擺動頻率和擺動幅值，犧牲游動效率來獲得較高的推進力和游速（Taylor et al.，2018）。

圖9 平均推力功率和平均游動效率云圖Fig.9 Average thrust power and average swimming efficiency cloud map

2.3 Re和St對平均游動效率的影響

Re和St對鱷魚水中游動效率的影響如圖10 所示，其中St=在圖10中，鱷魚的Re為3×104～1.4×106，St為0.52～0.85，鱷魚的游動屬于大雷諾數范圍，慣性力遠大于粘性力。鱷魚游動過程中的非定常慣性力和慣性力處于同一量級，其非定常的作用力是不可忽略的。鱷魚的平均游動效率隨Re的增大先增大后減小，約在Re為3×105時取得最大值，這是由于隨著鱷魚的頻率和幅值增加，其游動速度得到提升，Re也隨之增大；當頻率和幅值較小時，鱷魚側向擺動的功率較小，由游動前區作用于尾跡區的能量占比較大，此時在尾跡區中損耗的能量較多，平均游動效率較??；當鱷魚處于最優擺動時，Re約為3×105，由游動前區作用于尾跡區的能量占比最小，此時在尾跡區中損耗的能量較少，平均游動效率最大；當鱷魚的尾巴擺動愈加劇烈，Re繼續增大，由游動前區作用于尾跡區的能量占比增大，此時在尾跡區中損耗的能量增多，平均游動效率不斷減小。鱷魚的平均游動效率隨St的增大逐漸趨近于55%。這表明隨著非定常慣性力占比的增大，鱷魚平均游動效率最終趨于一個穩定值?；诖笳穹氶L體理論建立的水動力學模型下，這個穩定值和鱷魚的外形結構以及運動學參數有關。

圖10 平均游動效率隨Re和St的變化Fig.10 The average swimming efficiency varies with Re and St

3 結 論

基于鱷魚游動的運動學模型和Lightthill 細長體理論，本文提出了鱷魚游動動力學模型，并系統研究了不同擺尾參數下鱷魚游動的動力學特性及規律。主要結論如下：

（1）鱷魚擺動頻率、幅值和波長對鱷魚游動加速度、穩態游動速度等都有影響，但擺動頻率對加速度和穩態速度的影響最大。隨頻率、幅值和波長的增大，穩態游動速度逐漸增大、推力功率逐漸增加、功率損耗也逐漸增加。

（2） 存在一個最優的擺動參數。頻率為0.7 Hz、幅值為0.2 m、波長為1.2 m 時，鱷魚的平均游動效率達到最大值64%。

（3）Re和St對鱷魚平均游動效率有較大影響，平均游動效率隨著Re數的增大先增大后減小，約在Re=3×105時取得最大值，此時鱷魚在尾跡區中損耗的能量占比最小。平均游動效率隨St的增大逐漸趨近于55%。這表明隨著非定常慣性力占比的增大，鱷魚的平均游動效率最終趨于一個穩定值。