基于響應靈敏度方法的螺栓連接結構參數識別及實驗*

廖華松， 陳海， 汪利， 楊達豪， 呂中榮

中山大學航空航天學院，廣東 深圳 518107

在航空航天等領域中，常用的結構連接裝配方式有3 種：焊接、鉚接及螺栓連接（Shen et al.，1999）。螺栓連接因具有良好的靈活性和互換性，在精密構件和工程制造中應用較廣。然而，螺栓連接導致接觸表面存在機械摩擦，帶來顯著的阻尼效應、剛度折減以及能量耗散，呈現出復雜的非線性動力響應（Argatov et al.，2011）。該非線性特性可以由微觀滑移-宏觀滑移描述。發生滑移時，螺栓孔周圍的區域位移仍然被限制，而該區域的邊緣開始滑動，這種現象稱為微滑移。只要滑移仍在微滑移階段，螺栓連接部位的剛度都會呈現輕微下降的趨勢，而阻尼會呈現出顯著增加的趨勢（Shetty et al.，2023）。一旦外激勵達到足以發生相對滑移的程度，結構之間發生宏觀滑移，結構剛度便會顯著降低。

為描述螺栓連接部位的粘滯-滑移特性，相關學者提出了Ⅰwan 模型。Ⅰwan 模型由大量的Jenkins單元（往往含有10-100個狀態變量）并聯組合而成。每個Jenkins單元由單個彈簧和庫侖滑塊并列而成，具有典型的粘滯-滑移特性，是顯著的非光滑單元（Segalman， 2001）。為求解Ⅰwan模型所表征的滯回響應曲線，需要求解幾十個Jenkins 單元滑塊的狀態變量，存在計算量大、非線性程度高等不足。Bouc-Wen 模型的非線性主要來源于絕對值算子并且由唯一的微分方程所控制。相較于Ⅰwan 模型，Bouc-Wen模型計算效率較高。Lacey團隊研究了不同表面光滑度的鋼材料進行螺栓連接時的初滑移系數及初始剛度（Laceya et al.， 2023）。該結構伴隨著滯回現象的同時還存在著一些其他的殘余剛度特性（Mayergoyz， 1986）。本文將討論用Bouc-Wen模型描述和預估螺栓連接結構準靜態滯回響應曲線的潛力，以及殘余剛度的來源因素。

在螺栓模型校正相關研究中，常常使用準靜態位移荷載，得到相關的滯回響應力?；谠摐仨憫獢祿?，開展參數辨識。常用的參數識別方法有：高斯-牛頓法（Yar et al.，1987）、最小二乘法（Sues， 1988）、簡化梯度法（Zhang et al.， 2002）、遺傳算法（Kwok et al.， 2007）等。常用的群算法具有較高的計算需求，神經網絡擬合需要建立復雜的網絡且實現程度較為繁瑣。而本文將采用響應靈敏度方法（Lu et al.， 2017）對Bouc-Wen 模型螺栓連接結構的準靜態實驗數據進行參數識別。

結合ABAQUS 螺栓搭接結構三維有限元仿真（Ⅴaina et al.， 2023），本文評估了Bouc-Wen 模型的螺栓連接表征能力；開展準靜態實驗研究，驗證所提方法的有效性。并通過仿真與物理實驗，對實驗存在的剛度殘余現象進行了力學機理分析。

1 Bouc-Wen模型

Bouc-Wen模型（Chang et al.， 2016）是目前應用廣泛的滯回模型，它通過a參數表現各類軟化、硬化以及接近雙線性的現象（Guo et al.， 2008）。根據等效歸一化Bouc-Wen 模型（Pellecchia et al.，2021），有

其中z?表示滯回力變化的快慢；x?為滑移的相對速度；a= [A，γ，β，n] 為無量綱滯回環參數，影響滯回環的形狀和大小。相比Ⅰwan 模型，Bouc-Wen模型本身是一個半物理半數學的模型，其參數對滯回響應曲線的影響有：1）參數A表征滯回曲線原點處剛度，二者呈現正相關；2）參數γ的增加會使得滯回曲線整體以原點為中心順時針旋轉，如圖1 所示；3）參數β表征模型彈性非線性的本構關系，能量耗散大小隨β的增加而增加，如圖2所示；4）參數n表征彈性-塑性程度，n值越小，滯回曲線越平滑（Yang et al.，2022），如圖3所示。

圖1 參數γ對遲滯環的影響Fig.1 The influence of γ on hysteresis loop

圖2 參數β對遲滯環的影響Fig.2 The influence of β on hysteresis loop

圖3 參數n對遲滯環的影響Fig.3 The influence of n on hysteresis loop

因此，Bouc-Wen模型與Ⅰwan模型的滯回響應曲線具有相似性，且具備表征螺栓連接結構的能力。

2 螺栓滯回參數識別

利用三維有限元仿真，本文討論了Bouc-Wen模型的擬合能力。為此，建立關于螺栓連接結構參數辨識的目標函數。

2.1 目標函數

參數識別問題可歸結為一個非線性最小二乘優化問題，即尋找參數a∈Rm，使得

其中B為待識別參數的可行域；i= 1，2，3，…，n即螺栓連接結構滯回響應實驗數據；R(a) =[z(xi) ∈Rq]，i= 1，2，3，…，n為求解微分方程（1）后得到的理論解；為權重矩陣W的加權范數。

2.2 增強響應靈敏度方法

非線性目標函數可以使用迭代法進行求解，其關鍵在于通過已知參數aˉ來確定一個合適的迭代更新量δa，使得g(+δa)盡可能的小。將?在aˉ的領域進行一階Taylor展開并忽略高階項，得

其中

其中

線性化后的目標函數往往是非適定的，此時需要引入Tikhonov正則化處理，即

其中λ≥0 為正則化參數。增量具有以下求解表達式

其中I為單位矩陣。λ≥0 為正則化參數，其值直接關系到不同的更新量δaλ，本文采用L 曲線法確認正則化參數λ，記為.

為了獲取合理的迭代更新量，引入置信域限制，使得更新步長‖ ‖δa應該盡可能地小。為了衡量該更新步長是否合適或足夠小，需引入一致性指標，使式（9）中的迭代增量滿足

由此保證線性化后的目標函數與原目標函數足夠接近。由上式可知，合理增大正則化參數會使更新步長足夠地小，滿足置信域限制，因此該正則化也被稱為增強的正則化。

3 算例研究

3.1 有限元準靜態實驗仿真

螺栓連接結構在承受準靜態荷載時，可以模擬成單個Bouc-Wen 模型承受位移激勵。螺栓連接結構尺寸如圖4 所示（Abad et al.，2014），在ABAQUS 平臺上對螺栓連接結構開展有限元仿真，其模型如圖5所示。

圖4 實驗鋼板元件尺寸Fig.4 Experimental steel plate element dimensions

圖5 有限元仿真模型Fig.5 Finite element simulation model

螺栓連接結構的材料密度為7 830 kg/m3，楊氏模量為2.07 × 1011Pa，法向表面接觸摩擦系數為0.3。使用預緊力3 000 N的M12六角頭螺栓連接兩塊板，如圖5（b）所示施加螺栓預緊力。如圖5（c）所示，其接觸-摩擦界面的切向特性為庫倫摩擦且最大彈性滑移量設置為特征面尺寸的0.01 %；法向剛度采用允許一個物體的表面穿透到另一個物體的罰函數設置方法。該ABAQUS 設置可以準確求解接觸-摩擦界面所產生的滯回曲線，且提供收斂速度。當循環載荷下位移幅值為0.1 mm 時，螺栓連接部位的滯回響應如圖6（a）所示。

圖6 Bouc-Wen、Ⅰwan模型的參數識別與收斂過程Fig.6 The parameter identification and convergence procedure of Bouc-Wen and Ⅰwan model

考慮Bouc-Wen 與四參數Ⅰwan 模型，使用所提響應靈敏度方法對仿真模型開展參數辨識。由于模型參數之間的量級相差較大，引入歸一化方法對參數進行預處理。Bouc-Wen 與Ⅰwan 模型的歸一化矩陣為IB=diag(2×109，2×103，2×103，4) ，II= diag(1 × 109，1，1 × 109，1 × 10-6).參數識別結果如表1-2所示。

表1 Bouc-Wen參數識別結果Table 1 Bouc-Wen parameter identification results

表2 Ⅰwan參數識別結果Table 2 Ⅰwan parameter identification results

基于識別結果，繪制滯回曲線，如圖6 所示。結果表明，Bouc-Wen 和Ⅰwan 模型都能夠準確的表征螺栓連接所帶來的接觸摩擦滯回能量耗散特性。然而，當連接界面從粘滯向滑移狀態轉變時，如圖6（a）左上角和右下角所示，Bouc-Wen 模型的辨識結果可以充分表征該特性。因此，本文所提方法可以準確地從率無關角度對螺栓連接模型開展參數校準。圖6（c）和6（d）進一步闡述了參數收斂過程。Bouc-Wen、Ⅰwan 模型的迭代收斂步數分別為7、11 次，然而所需時間分別是2.378 3、271.153 s。這是因為Ⅰwan 模型由一系列的強非線性Jenkins單元并聯組合而成，容易產生剛性方程，需要較大計算資源。而Bouc-Wen 模型僅由單自由度微分方程控制，具有較高的計算效率。綜上所述，本文所提的基于Bouc-Wen 模型和響應靈敏度的螺栓連接模型參數辨識方法具有準確、高效的特性，能夠很好地表征連接界面的接觸摩擦滯回能量耗散特性。

3.2 螺栓搭接結構物理實驗

3.2.1 實驗設計采用304 不銹鋼制作與仿真模型一致的螺栓搭接構件。使用扭力扳手對M12 螺栓施加65 N·m 扭矩，將構件連接在一起。使用Ⅰnstron8801 伺服液壓機施加簡諧位移激勵，并測量連接界面所產生的接觸摩擦滯回力。在小幅度位移加載下，螺栓與圓孔內壁不會產生接觸?？紤]正弦位移響應幅值分別為0.1、0.15 mm 時的滯回響應。本文將對0.15 mm 時的位移響應數據開展參數辨識，然后基于該辨識結果校準0.1 mm 的位移響應數據。

3.2.2 參數辨識圖7（a）所示實驗滯回響應曲線中的微觀滑移段落存有一定的斜率，即殘余剛度K1.通過求解滯回響應曲線粘滯-滑移與滑移-粘滯轉換點之間的斜率，得K1= 2.826 × 107N/m?？紤]螺栓連接結構所產生的殘余剛度，Bouc-Wen 模型的表達式改寫為

圖7 基于Bouc-Wen模型的計算擬合與數據預測Fig.7 Computational fitting and data prediction based on Bouc-Wen model

基于本文響應靈敏度方法，對位移幅值為0.15 mm 的實驗數據開展參數辨識，參數結果如表3 所示，響應曲線如圖7（a）所示。使用識別到的4個參數，對另一組數據（幅值為0.1 mm）的滯回曲線進行預測，其結果如圖7（b）所示。在微觀滑移段落，由于實驗產生的結構磨損及螺栓松動等原因，預測曲線與實驗曲線存在一定的偏移，誤差處于可以接受的范圍；在宏觀滑移段落的擬合效果良好，誤差較小。結果表明，所識別參數可以很好地擬合實驗曲線。

表3 響應幅值為0.15 mm時實驗數據的參數識別Table 3 Experimental data parameter identification when response amplitude is 0.15 mm

由于滯回曲線所圍成的面積表征了該加載-卸載過程中能量的損耗，計算預測曲線面積與實驗數據面積的殘差和比值。對響應幅值為0.15 mm 的實驗數據識別結果，開展耗散性能分析。有

式中S1是基于實驗數據的滯回耗散能力，S2是基于參數辨識曲線的滯回耗散能力。分析可知，β小于10%，表明預測曲線的能量損耗與原數據的能量損耗的誤差較小。所提參數識別方法所識別的Bouc-Wen 模型參數，可以真實地反應螺栓搭接結構的滯回曲線響應。

3.3 仿真與實驗數據對比

有限元仿真的滯回曲線數據來源于兩個鋼板連接界面的接觸摩擦力，而實驗中輸出的滯回力的監測點位于鋼板的兩端，其中包含了螺栓、螺帽處的接觸面所產生的接觸摩擦。實驗前后螺栓和鋼板單元均發生了一定程度的沿預緊力方向的變形、磨損。殘余剛度很可能來源于螺帽對鋼板施加的摩擦力。

對有限元模型開展變形分析，如圖8所示，預緊力的施加使得鋼板與螺帽接觸的部分發生了較為明顯的擠壓形變。實驗和有限元仿真表明，由于鋼板單元與螺栓、螺母受預緊力發生了變形，由此導致兩者的接觸關系不僅存在摩擦力，同時還伴有變形后的殘余力。因此，螺栓連接部位在正常服役狀態下，其殘余剛度來源之一為螺栓、螺母接觸面處。

圖8 形變的有限元仿真Fig.8 Finite element simulation of deformation

除了殘余剛度外，仿真與實驗的滯回響應曲線也存在一定差異。這是因為在進行仿真時，所設定的接觸面摩擦因數恒為0.3，而實際實驗中的摩擦系數未知。對于兩種不同的響應幅值情況，本文所提方法對有限元仿真、物理實驗都實現了準確的螺栓連接參數辨識。這也說明本文所提方法具有較強的魯棒性。

4 總 結

本文通過有限元仿真和準靜態實驗研究，對螺栓搭接結構的接觸摩擦、滯回能量耗散進行了研究。結果表明：

（1）本文基于Bouc-Wen 模型，提出了一種響應靈敏度方法，對螺栓連接結構仿真模型、準靜態實驗數據進行了參數識別，成功預測了不同荷載下的響應。所提方法具有較高效率和準確性。

（2）通過有限元仿真和準靜態實驗研究，在螺栓預緊力作用下，平板與螺母、螺帽等接觸部位發生凹陷變形。在切向振動作用下，螺母、螺帽會發生磨損。在宏觀層面上，該特性表現為殘余剛度。

（3）與Ⅰwan 模型相比，Bouc-Wen 模型不僅可以有效地表征切向振動下的螺栓搭接結構模型，而且具有計算效率高、非線性強度弱等特點。