基于分數階理論的軟泥巖一維次固結蠕變模型

任思遠 倪萬魁 陳軍廷 拓文鑫 楊珍珍

摘要：工程中因巖石蠕變而誘發的災害屢見不鮮，其中的軟巖蠕變在實際工程中也較為常見。為探討軟巖蠕變特性，并準確預測軟巖蠕變變形，本研究首先對寧夏固原市隆德縣的軟泥巖進行了一維次固結蠕變試驗，分析了一維次固結蠕變試驗下軟泥巖的蠕變特性；然后引入了分數階理論的概念，推演能夠描述非線性蠕變特征的分數階Burgers模型本構方程；最后利用Matlab中lsqcurvefit算法對軟泥巖一維次固結蠕變試驗數據進行數值求解，分析了分數階階數對軟泥巖一維次固結蠕變曲線的影響。蠕變試驗表明：軟泥巖蠕變機制符合固結蠕變中瞬時變形、固結變形、穩定變形三階段，并呈明顯的非線性特征，且原狀、重塑試樣在固結過程中均產生了較大程度的次固結蠕變，最大變形量可占總變形量的59%。數值模擬結果表明：分數階Burgers模型能夠更好地描述次固結蠕變的非線性特征；模型分數階階數γ有較強的敏感性，能夠反映擬合曲線的彈性階段及之后的非線性黏彈性階段，而分數階階數β敏感性較差，僅能對黏彈性階段的蠕變趨勢做出細微反應。

關鍵詞：軟泥巖；分數階理論；巖石蠕變；Burgers模型;寧夏固原市

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20220119

中圖分類號：TU458

文獻標志碼：A

收稿日期：2022-04-19

作者簡介：任思遠（1998-），男，碩士研究生，主要從事巖土蠕變特性方面的研究，E-mail：1073429405@qq.com

通信作者：倪萬魁（1965-），男，教授，博士生導師，主要從事巖土力學與工程方面的研究，E-mail： niwankui@chd.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金項目（41931285）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （41931285）

One-Dimensional Secondary Consolidation Creep Constitutive Model

of Soft Mudstone Based on Fractional Order TheoryRen Siyuan，Ni Wankui，Chen Junting，Tuo Wenxin，Yang Zhenzhen

Geology Engineering and Geomatics College，Changan University，Xian 710054，China

Abstract：? Disasters induced by rock creep in engineering are common， and soft rock creep is also more common in actual engineering. In order to explore the soft rock creep characteristics and accurately predict the soft rock creep deformation. In this study， firstly， a one-dimensional secondary consolidation creep test was carried out on the soft mudstone in Lund area of Guyuan City， Ningxia， and the creep characteristics of soft mudstone under the one-dimensional secondary consolidation creep test were analyzed. Secondly， the concept of fractional order theory was introduced to derive the fractional order Burgers model constitutive equation which can describe the nonlinear creep characteristics. Finally， the lsqcurvefit algorithm in Matlab was used to numerically solve the one-dimensional secondary consolidation creep test data of soft mudstone， and the effect of fractional order number on the one-dimensional secondary consolidation creep curve of soft mudstone was analyzed. One-dimensional secondary consolidation creep test shows that the creep mechanism of soft mudstone conforms to the three stages of transient deformation， consolidation deformation， and stable deformation in consolidation creep， and shows obvious nonlinear characteristics. And the undisturbed sample， remodeled sample in the consolidation process produced a large degree of secondary consolidation creep， the maximum deformation can account for 59% of the total deformation. Numerical simulation results show that the fractional order Burgers model can better describe the nonlinear characteristics of the sub-consolidation creep; Model fractional order γ has a strong sensitivity to reflect the elasticity of the fitted curve and the nonlinear viscoelasticity after the stage， and fractional order? β? sensitivity is poorer than the viscoelasticity stage of the creep tendency to make a subtle response.

Key words： soft mudstone；fractional order theory；rock creep；Burgers model；Guyuan City，Ningxia

0 引言

巖石蠕變是指在恒定應力下巖石變形隨著時間增長的現象。在工程中，因巖石蠕變累計而誘發的地質災害屢見不鮮^[1-3]。其中，軟巖的蠕變特性相比與普通巖石更加明顯，在實際工程中也更為常見^[4]。因此，選擇一個可以準確描述軟巖蠕變特性的模型十分重要。

在長期的研究中，學者們常采用經驗模型、元件模型、半經驗半理論模型等方法來研究巖石蠕變曲線特征^[5-10]。如：楊春和等^[5]考慮了不同力學特性巖層間的細觀位移協調，建立了細觀彎曲效應的Cosserat截至擴展本構模型；王軍保等^[6]對穩態蠕變拐點法進行改進，得到了描述巖石長期強度的經驗公式，并采用反S函數求解法，提出了一種描述鹽巖單軸壓縮條件下的蠕變經驗公式；年廷凱等^[7]基于固結理論分析了粉砂土的一維次固結蠕變行為，利用Kelvin模型與Burgers模型描述了粉砂土的固結蠕變特性；李銀平等^[8]從細觀力學的角度分析，綜合考慮多介質彈性、蠕變特性和介質體積分數，建立了宏觀Cosserat蠕變本構模型；范翔宇等^[9]為探討煤巖鉆井壁的蠕變失穩規律，將Bingham模型與Bonaitin Thomson模型結合，獲得了符合儲氣層煤巖蠕變規律的模型；朱杰兵等^[10]從材料損傷角度出發，探究巖石流變力學參數與黏性應變的負指數關系，建立了變參非線性整數階Burgers模型。由此可見，為了較好地描述軟巖的蠕變特征，研究者通常會采用多模型組合以及引入材料非線性參數的方式，不過這種蠕變模型建立方式會增加模型的復雜程度或者受材料參數的制約。產生上述問題的主要原因是整數階模型無法準確地描述巖石蠕變中非線性階段的特征^[11]。

為此，諸多學者逐漸對分數階理論下的非線性元件組合模型開展了研究。如：殷德順等^[12]通過分數階理論推導引入了一種能夠很好反映非線性應力松弛和蠕變現象的軟體元件，并探究了軟體元件與其他傳統元件組合所產生的蠕變效果；羅慶姿等^[13-15]將兩種分數階理論下的黏壺元件引入Nishihara模型并對模型進行推演驗證，建立了新的分數階黏彈塑性蠕變本構模型；康永剛等^[16]將Burgers模型中串聯黏壺元件改進為定常數元件，將并聯黏壺元件改進為分數階元件來描述蠕變加速階段；李祖勇等^[17]采用核磁共振技術檢測砂巖解凍過程中空隙含水量的變化，并結合基于分數階理論的蠕變本構方程，討論了解凍過程中的砂巖蠕變特性。然而，已開展的多數研究僅證明了分數階理論對巖土試驗具有很高的適用性，并未討論分數階模型中參數的敏感性。

有鑒于此，本文先通過對寧夏固原市隆德縣軟泥巖進行一維次固結蠕變試驗，分析該軟泥巖的蠕變特性；然后將傳統Burgers模型中的黏性元件替換成分數階元件，推演了分數階理論下的Burgers模型；最后利用Matlab中lsqcurvefit算法對軟泥巖一維次固結蠕變實驗數據進行數值求解。本文旨在探查寧夏軟泥巖蠕變特性，建立適用于軟泥巖的分數階蠕變模型，以及探究模型中參數敏感特性。

1 軟泥巖蠕變實驗

1.1 試驗材料及實驗方法

試驗所用樣品為取自寧夏固原市隆德縣的紅色軟泥巖，基本物理參數見表1。由于軟泥巖物理力學性質接近于土體，因此一維次固結試驗參照《土工試驗方法標準》（GB/T 50123—2019）^[18]進行。試樣分為原狀樣和重塑樣兩類：原狀樣是由軟泥巖巖心削制而成，試樣含水率ω為20%；重塑樣是由軟泥巖經過風干、碾碎、過篩后壓制而成。重塑樣干密度與原狀樣保持一致，試樣含水率ω分別設定為18%、20%、22%。制樣完成后，試樣需在保濕缸中靜置48 h。一維次固結蠕變試驗采用南京土壤儀器廠WG型高壓固結儀進行，試驗溫度控制在室溫25 ℃左右。一維次固結蠕變試驗采用分級加載的方式，以加荷比為1的加載序列^[19-20]進行加載，具體加載壓力分別為100，200，400，800，1 600 kPa。試驗過程中土樣24 h的變形量不超過0.02 mm時，認為蠕變穩定。

1.2 軟泥巖蠕變特性

試驗數據采用分別加載的形式表示，得到不同含水率下軟泥巖的應變-時間曲線簇如圖1所示，可見軟泥巖樣在第一級荷載100 kPa時產生的變形量普遍大于之后的4級荷載（200、400、800、1 600 kPa）所產生的變形量。這是因為試驗采用陳氏加載法，隨著荷載的逐漸增加，軟泥巖逐漸壓密，彈性模量逐漸增大，使得每一級荷載所對應的試樣狀態不同。此外，由圖1還可發現，第一級荷載壓縮過程中試樣經過固結階段但曲線仍有一段短暫的加速變化，這是試樣在小荷載、短時間作用下顆粒未定向排列，隨著時間變化軟泥巖緩慢蠕變，顆粒達到定向排列所產生的短暫加速變化^[21]。

圖2為原狀試樣在100 kPa下試驗數據的應變速率-應變曲線。從圖2明顯看出，應變速率隨著應變增加呈減小趨勢，可以將曲線大致分成3個階段：1）荷載的觸變作用產生的大應變速率階段，即瞬時變形階段Ⅰ；2）由孔隙水壓消散速率主要控制的應變速率減速階段，即固結變形階段Ⅱ；3）孔隙水壓消散一段時間后由土骨架蠕變主要控制的應變速率穩定階段，即穩定變形階段Ⅲ。且應變速率-應變拐點法是一種常用的主次固結劃分方法^[22]，將圖2中灰色部分局部放大進行如下分析：首先繪制階段Ⅱ末端斜線部分切線AB，再繪制階段Ⅲ近水平曲線切線CD，二者交于O點，O點對應應變的時間便是主次固結分界點。圖2中O點對應的應變為0.73%，對應應變速率為0.1×10^-4min^-1，即主次固結分界點為730 min。

軟泥巖各級荷載下的應變速率-應變曲線見圖3。由圖3可明顯發現曲線符合以上提到的瞬時變形、固結變形、穩定變形三階段，但各級荷載對應曲線有交叉重疊現象。這可能是試驗過程中試樣結構性發生破壞而導致^[23-24]。對于同一個試樣，應變速率主要由密實度和壓力決定。試驗初期，低壓力不足以破壞試樣的結構強度，因此密實度為影響試樣應變速率的主要因素；此時宏觀表現為試樣隨著應力的增加逐漸密實，應變速率也逐漸減小。當壓力超過試樣的結構強度后，試樣內部結構破壞，產生較大變形，此階段壓力作為主要因素影響試樣的應變速率；此時宏觀表現為試樣的應變速率隨著壓力的增加而增加。而隨著壓力的持續增加，試樣內部孔隙持續被壓縮，應變潛力也在減??；此時宏觀表現為應變速率逐漸減小，最終趨于0。因此，不同試樣應變速率-應變曲線并未表現出單調性的規律，而是出現交叉重疊現象。

根據應變速率-應變拐點主次固結劃分法及其分析法對圖3a原狀樣進行分析。觀察圖3a中局部放大圖，可知主次固結分界點對應應變為0.4%～1.0%，應變速率為0.02×10^-4～0.10×10^-4min^-1，即軟泥巖原狀樣主次固結分界點范圍為750～1 700 min，再對照圖1應變-時間曲線可知，原狀樣主固結所產生的應變占總應變的41%～64%，次固結所產生的應變占總應變的36%～59%。同理依次分析不同含水率軟泥巖重塑樣應變速率-應變曲線圖3b—d可得，含水率18%重塑泥巖樣獲得次固結所產生應變為30%～49%，含水率20%重塑泥巖樣獲得次固結所產生應變為18%～50%，含水率22%重塑泥巖樣獲得次固結所產生應變為32%～49%?？梢姶喂探Y蠕變所產生的應變在壓縮總應變中占比很大。

2 分數階本構模型

對于一維次固結所呈現出的衰減和穩態階段，通常學者通過研究Burgers蠕變模型^[25-28]來對其描述。但是有研究^[13]表明，這種傳統模型屬于整數階的元件模型，擬合曲線不能很好地與實驗數據吻合。對此引入非線性的分數階元件進行改進，以更好地描述實驗數據的規律。

2.1 分數階下的黏壺元件

與經典模型相比，分數階理論下的模型是將其中的Newton黏壺替換為能用分數階理論計算的Abel黏壺模型^[12]。圖4為Abel黏壺的元件構成，對于這種介于純彈性體和牛頓流體之間的本構關系，可以假設服從改寫后的胡克定律σ（t）-d^β₀ε（t）/dt^β₀^[14]。式中：σ為應力；t為時間；ε為應變；β₀為分數階求導階數，0≤β₀≤1。

根據Riemann-Liouville （R-L）分數階導數^[29]定義可得：

式中：D^β_0t為R-L分數階算子；f（t）為被積函數；m為積分變量；*為Stieltjes卷積；I_β0（t）為Abel核，I_β0（t）=（Γ（1-β₀）t^β₀）^-1；Γ為Gamma函數。

采用Koeller^[30]提出的應力應變關系，Abel黏壺可以利用式（1）成比例表示：

式中，τ=η/E，η為黏滯性系數。當β₀=1時，符合牛頓黏性流體的本構關系；當β₀=0時，符合彈性固體的本構關系。

2.2 分數階模型推導

本文建立的模型由Maxwell體和Kelvin兩部分串聯而成，如圖5所示。其中，含Abel黏壺的分數階Maxwell體表征瞬態應變及固結蠕變特征，含Abel黏壺的分數階Kelvin體用以表征穩態蠕變特征，因此總體蠕變趨勢可以采用分數階Burgers模型的形式。

2.3 模型擬合分析

對模型進行擬合分析時，應對模型中各參數進行數值求解。本文選用的擬合算法為Matlab自帶的lsqcurvefit算法。該算法集成了最小二乘法中經典的高斯牛頓算法（Guass-Newton）和列文伯格-馬夸爾特算法（Levenberg-Marquardt），算法兼具牛頓法及梯度法的特點，對數據擬合更精確快速^[33]。

利用Matlab調用2.2小節推演的分數階Burgers模型（式（18））擬合上述試驗數據，驗證本文模型在一維次固結蠕變試驗中的適用性，并和傳統Burgers模型（式（19））的擬合結果進行對比。圖6為軟泥巖原狀樣及不同含水率重塑樣對兩種模型的擬合曲線，可發現分數階導數的Burgers模型及傳統Burgers模型均可以對一維次固結蠕變數據進行擬合，但分數階導數的Burgers模型以非線性的方式更為精確地描繪出了數據在拐點及之后的變化趨勢，而傳統的Burgers模型以線性的形式描述蠕變全階段是不夠精確的。且觀察100 kPa下的擬合數據，可以明顯發現傳統模型在穩定蠕變階段的線性表達使得預測值與實際值相差越來越大。

采用 Matlab軟件對蠕變本構模型與數據進行擬合優度分析。利用決定性系數R²表達各模型與數據的擬合程度，如表2所示?？梢园l現傳統Burgers模型對一維次固結試驗數據的擬合程度分布在0.910 1～0.983 5，而分數階Burgers模型對該數據的擬合程度普遍在0.995 0左右。擬合參數見表3、表4。

2.4 模型參數敏感性分析

根據表3擬合結果，選取含水率20%、荷載100 kPa下的擬合參數帶入式（18），改變分數階階數γ，可得到不同階數γ對應的蠕變曲線（圖7）。

分析圖7可以發現，隨著分數階模型中階數γ越大，擬合曲線對應時間為0的應變越小，即彈性變形越小，拐點部位弧度逐漸變緩，且穩態蠕變趨勢會產生明顯的改變。具體表現為：分數階階數γ為0.8時，拐點對應應變約0.2%，經過6 000 min后，曲線最終應變約為0.4%；γ為0.2時，拐點對應應變約1.5%，經過6 000 min后，曲線最終應變約為2.4%。

同時，考慮分數階Burgers模型中階數β對蠕變曲線特征的影響，繪制不同分數階階數β對應的蠕變應變與時間關系曲線如圖8。由圖8可知，隨著分數階階數β逐漸增大，擬合曲線弧度雖然有些許增大，但總體的蠕變趨勢保持一致。

從圖7、圖8可進一步分析分數階階數γ、β在擬合過程中對蠕變曲線的影響：分數階階數γ為0.8時蠕變應變最小，分數階階數至0.2時應變有明顯增大，增加幅度近5倍；而分數階階數β由0.2增大至0.8過程中應變變化微小，增加幅度僅3%，與γ相比，階數β敏感性明顯較弱。這表明分數階Burgers模型中分數階階數γ能夠表達泥巖蠕變曲線全過程；而分數階階數β產生的表達能力則略顯不足。究其原因，這可能是分數階Burgers模型中Kelvin體的Abel元件與彈性元件并聯，應變受到元件控制，無法如模型中Maxwell體般能在較短時間內發揮作用。即便如此，能產生小應變范圍的分數階階數β仍在模型擬合過程中發揮著對穩態蠕變階段校準的作用。

3 結論與建議

1）寧夏固原市隆德縣軟泥巖蠕變為典型的固結蠕變三階段，并呈明顯非線性特征。通過次固結蠕變試驗分析得出，軟泥巖原狀樣蠕變應變占在壓縮總應變36%～59%，重塑樣蠕變應變占在壓縮總應變18%～50%，蠕變應變在壓縮總應變中占比較大。

2）經驗證，引入分數階理論構造的分數階Burgers本構模型相較傳統Burgers模型更能體現出軟泥巖一維次固結過程中的非線性階段，擬合精度更高，決定性系數達到0.995 0。

3）對改進后的分數階Burgers本構模型進行參數影響及敏感性分析，發現分數階階數γ有較強的敏感性且能夠反映擬合曲線的彈性、非線性黏彈性特征，而分數階階數β敏感性較差，僅能對曲線拐點之后的蠕變趨勢做出細微反應。

4）雖然分數階Burgers模型擬合精度高于傳統Burgers模型，但由于其模型參數多、公式復雜，影響了實際工程應用價值。后續應對模型簡化、參數定量化進行更深入的研究。

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