快速反射鏡自適應反演PID復合控制系統設計

艾志偉，張慕帆，朱 華，嵇建波，柏元忠

（桂林航天工業學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

快速反射鏡是一種通過控制在光源和接收器之間的反射光線的鏡面運動，達到控制光束目的的一種裝置，它與大慣量機架結構共同組成復合軸跟蹤系統，在光學系統中用來穩定跟蹤目標[1]?？焖俜瓷溏R由鏡體、支承結構和驅動器等部分組成，具有諧振頻率高、響應速度快、動態滯后誤差小等優點，但缺點是工作范圍小，它和機架共同作用，能夠有效彌補主軸機架系統的不足，而其缺點也可由主軸系統予以補償，實現大范圍的快速高精度跟蹤[2]。

快速反射鏡的控制一般采用PID 控制器，它的優點是設計簡單，對硬件要求沒那么高，而且對抑制帶寬范圍內的窄帶和寬帶擾動都能較好地抑制，缺點是對擾動的抑制帶寬有限[3-4]。因為在實際應用中，受能量限制，采樣頻率不能做得太高，并且控制器一旦設計完成參數就已經確定，控制系統對不同的擾動適應性較差，這使得單獨采用PID 控制具有一定局限性，如對于基座振動引起的擾動，單純的PID 控制系統就不能對其進行很好地抑制[4]。

系統中存在的擾動可以分為可測量擾動和不可測量擾動[5-6]?？蓽y擾動可以理解為能直接通過傳感器如位移傳感器、陀螺儀和加速度計等得到測量值，或可以通過狀態觀測器進行觀測的一類擾動。對應于可測擾動的定義，不可測擾動是不可以由傳感器直接測得，也無法通過狀態觀測器進行觀測的一類擾動。自適應前饋控制技術對基座振動這類擾動能起到很好的抑制效果[7]，但目前的自適應前饋控制技術均需對現有系統進行改造，要求擾動信號可以測量，這也使得硬件方面變得較為復雜。將擾動根據是否可測量進行分類是具有實際意義的：一是這是實際存在的差異；二是在一些情況下能減少成本。由于兩種擾動的處理方法不同，導致系統復雜度和控制性能一般也不同，不可測量擾動由于不用對擾動進行測量，減少了傳感器的使用，一定程度能降低系統硬件復雜度。而可測量擾動實際上也可以當成不可測量擾動進行處理，在某些情況下，如果用不可測量擾動的抑制方法抑制可測擾動也能取得滿意的控制效果，且降低了成本。

本文先用反演設計方法設計自適應控制律[8]，對系統進行鎮定。由極限思想，把系統承受的不可測擾動近似看成為隨時間緩慢變化的量，通過反演控制設計方法可完成整個自適應控制率的設計，此時系統能自動適應不同的擾動量，給出讓系統穩定的控制信號，而后結合PID 控制算法對施加自適應控制后的誤差信號進行進一步的處理得到一個補償控制信號，兩個控制信號疊加后共同作用在被控對象上，相比單獨的PID 控制算法和自適應反演控制算法，自適應反演PID 控制能更好地抑制不可測量擾動。

1 自適應反演前饋控制算法抑制可測擾動

快速反射鏡的傳遞函數是由一個一階慣性環節和二階振蕩環節串聯組成[9-10]，其傳遞函數模型可以表示為：

式中：p1、p2、p3、p4由快速反射鏡自身機電特性決定的常系數。應用主導極點法，該三階系統可以化簡為一個二階系統，將二階系統轉化為微分方程，可以寫成如下形式：

式中：θ(t)為反射鏡轉角位置；u(t)是控制器輸出控制律；ξ、ωn、kf是由快速反射鏡的機電特性決定的常數。選擇反射鏡的轉角位置θ(t)和轉角速度θ˙(t)為狀態變量x1和x2，則有：

擾動信號可測時，可考慮采用前饋補償控制抑制擾動。利用傳感器將擾動信號測出，經自適應控制器處理，得到補償信號，補償信號與主控制器產生的控制信號進行疊加，得到最終的控制量作用在被控對象上。但單純的前饋控制系統是開環系統，穩定性很差，難以滿足實際工藝要求，所以容易聯想在系統增加閉環反饋，構建自適應前饋閉環控制系統抑制擾動。與單純的反饋控制不同的是，在自適應前饋閉環控制系統中，快速反射鏡的實際輸出角度測量信號與參考輸出角度進行比較得到誤差信號不再直接經過控制器產生控制信號，而是與測得的擾動信號一同作為自適應控制器的輸入參數，計算輸出參數作為快速反射鏡的控制信號，若利用反演控制讓誤差信號能夠依據某種原則收斂到零，就構成了自適應反演前饋控制系統，自適應反演前饋系統框圖如圖1所示。圖中，θin是系統輸入信號，θout是系統輸出信號，θd是擾動信號，e1是跟蹤誤差信號，由圖可得，誤差信號e1＝θin－θd－x1。

圖1 可測擾動自適應前饋反演控制系統框圖Fig.1 Block diagram of adaptive feedforward inversion control system for measurable disturbance system

利用反演控制方法求解系統控制量。首先對誤差信號e1求微分，有：

李氏函數選擇為：

引入虛擬控制量x2d，其值為：

則誤差變量為：

將式(7)代入式(5)，有：

容易求得：

聯立(1)(2)(3)(6)(7)(11)式可得：

整理得到自適應反演前饋控制器輸出的控制律為：

2 自適應反演PID 算法抑制不可測量擾動

受可測量擾動抑制方法的啟發，對于不可測量擾動抑制，是否也可以基于反演控制方法設反饋控制算法呢？設計的問題難點在于擾動不可測量導致擾動量的一階微分、二階微分都無法得到，造成控制量無法得出。為了解決這一問題，不妨假設擾動為緩變量，事實上當系統采樣率比較高的時候，這種假設是十分合理的，尤其是對于寬帶擾動。根據高等數學中的極限思想，當擾動量為時間的連續函數時，如果時間分割得足夠小那么擾動量的變化可以近似看成零?；谶@一假設，擾動量的一階、二階微分都為零，從而不用進行測量，只需要測量包含擾動信號的輸出信號即可，從而也能實現跟蹤效果，實現對不可測量擾動的抑制。圖2 是不可測擾動自適應反演控制系統框圖，圖中以期望輸出θin作為自適應控制器的參考信號，誤差信號e1作為自適應算法輸入信號，經過自適應算法改變自適應控制器的參數，自適應控制器輸出控制量作用于被控對象。

圖2 不可測擾動自適應反演控制框圖Fig.2 Block diagram of adaptive inversion control for unmeasurable disturbance system

按照可測擾動自適應控制器的設計流程，整理得到不可測量擾動自適應反應控制系統輸出控制量為：

由于這里假設擾動量為緩變量，跟實際情況肯定存在差異，擾動頻率越高誤差會越大，跟蹤性能也越差。PID 控制是設計控制系統時最常用的方法，控制器輸出為：

式中：kp、ki、kd是PID 控制器的控制參數。PID 控制算法對工作帶寬內的擾動具有較好的抑制效果，對帶寬外的擾動抑制效果不足，會造成誤差信號中可能會存在未被抑制的擾動信號，因此考慮將誤差信號經自適應反演算法處理，由自適應控制器輸出一個補償控制信號，用于補償PID 控制器輸出的控制信號，兩個控制信號疊加后作用在被控對象上，組成自適應反演PID 控制系統?？焖俜瓷溏R系統不可測量擾動的自適應反演PID 控制方法如圖3所示，系統以期望輸出θin作為自適應控制器的參考信號，誤差信號e1作為自適應算法輸入信號，經過自適應算法改變自適應控制器的參數，自適應控制器輸出補償控制量u1，疊加在PID 控制器的輸出控制信號u2中，控制系統不需要對擾動信號進行測量，系統輸出控制量為自適應反演控制和PID 控制的輸出量之和，表示為：

圖3 不可測擾動自適應反演PID 控制系統框圖Fig.3 Block diagram of adaptive inversion PID control for unmeasurable disturbance system

3 仿真分析

一般認為系統在階躍輸入情況下的工作條件是比較苛刻的，如果階躍輸入下控制系統仍然具有較好的控制性能，說明控制系統能應對最嚴峻的情況，那么輸入信號為其他形式時系統控制性能也能滿足要求[11-12]。根據李雅普諾夫穩定原理設計的自適應反演前饋控制系統，搭建了快速反射鏡可測擾動控制系統仿真模型。系統輸入信號采用階躍信號，擾動采用正弦信號，得到正弦擾動下的輸出響應如圖4所示，從圖中可以看到，擾動可測時，自適應前饋反演控制系統對可測擾動信號具有較好的抑制能力。

圖4 可測擾動自適應反演控制系統輸出響應曲線Fig.4 Output response curve of adaptive inversion control for measurable disturbance system

為了測試不可測擾動作用時系統的動態性能，搭建了快速反射鏡不可測擾動控制系統仿真模型。因為在采樣頻率遠高于擾動頻率時，假設這個擾動信號為緩變量近似，所以在仿真過程中，在系統中涉及擾動信號的量的一階導和二階導均設置成了零。為了分析PID 控制、自適應反演控制和自適應反演PID 控制（復合控制）3 種控制算法下的系統性能表現，得到了不可測量擾動抑制系統中無擾動時3 種控制算法的階躍響應曲線，輸入階躍信號的幅值為0.001 m，采樣頻率為10000 Hz，響應曲線如圖5所示。從圖5 中可以直觀地看出，與PID 控制系統相比，自適應反演控制系統的輸出沒有產生過大的超調，也沒有過激的振蕩，但是動態變化過程也緩慢許多，復合控制系統的動態變化過程介于二者之間。計算得到PID 控制系統的超調量為17.47%，上升時間為1.6 ms；自適應反演控制系統無超調，上升時間為4.5 ms；復合控制系統的超調量為3.41%，上升時間為2.3 ms?？梢钥吹?，相較于PID 控制系統，復合系統的超調量下降了80.5%，復合控制系統的平穩性更好；相較于自適應反演控制系統，復合控制系統的上升時間降低了48.9%，自適應反演PID復合控制系統的動態性能綜合了兩種算法的優勢，顯示出了更優異的動態性能。

圖5 三種控制算法的階躍響應曲線Fig.5 Output comparison of three control methods

下面對不可測擾動作用時快速反射鏡控制系統的性能指標進行測試。輸入信號保持不變，擾動信號采用幅值為0.04 mm、頻率為4 Hz 的正弦信號，快速反射鏡的PID 控制系統、自適應反演控制系統和復合控制系統的輸出曲線如圖6所示。由圖6 輸出的響應曲線可以得到擾動作用時PID 控制系統的超調量為17.57%，上升時間為1.6 ms；自適應反演控制系統的無超調量，上升時間為4.8 ms；復合控制系統的超調量3.41%，上升時間為2.3 ms?？梢钥吹?，對于低頻擾動，3 種控制算法均能較好地抑制，但單純的PID 控制系統和復合控制系統比單純的自適應控制系統抑制效果更好。

圖6 不可測擾動作用下3 種系統的階躍響應曲線Fig.6 Step response of three control methods of unmeasurable disturbance system

為了研究擾動作用時3 種控制系統的誤差變化情況，得到了3 種控制系統的誤差平方曲線，如圖7所示。從圖7 中可以直觀地看到，3 種控制算法均能很快到達穩定狀態，穩態誤差為零。但相較于其他兩種控制系統，復合控制系統到達穩定狀態需要的時間更短，且更加平穩。根據誤差均方根的計算公式，求得快速反射鏡PID 控制系統的誤差信號均方根誤差為9.1555e－05，自適應反演控制的誤差信號的均方根誤差為6.8891e－05，復合系統的誤差信號均方根誤差為5.9728e－05。與PID 控制算法相比，復合控制系統的均方根誤差值下降了34.76%，相比自適應控制算法均方根誤差值下降了13.3%，復合控制系統的誤差抑制效果相比經典PID 控制和自適應控制均有提升。

圖7 三種控制算法的誤差平方曲線Fig.7 Square error curves of three control methods

為了進一步驗證控制系統性能，在3 種控制系統分別施加了幅值不變、頻率分別為25 Hz，90 Hz，150 Hz 和220 Hz 的正弦擾動信號，各系統的誤差曲線如圖8所示。從圖中可以看到，隨著擾動頻率的增大，復合控制系統的擾動抑制能力逐漸減弱，且越來越趨近自適應反演控制系統的擾動抑制能力，這種情形的出現主要受到兩個因素的影響：一是隨著頻率的增大，PID 控制的擾動抑制能力越來越弱，在抑制帶寬外，對擾動還有放大效果；二是自適應反演控制假設擾動為緩變量，擾動頻率越大，越接近采樣頻率，自適應反演控制對擾動的抑制也越弱。從圖8 中還可以看到，復合控制系統對研究頻率范圍內的擾動信號均具有抑制作用，在中低頻段的擾動抑制能力主要受控于PID 控制，抑制效果較好；在中高頻段，盡管PID 控制對擾動具有放大作用，但受到自適應反演控制的作用，復合控制系統對擾動還是起到了抑制作用，但擾動抑制能力較弱。

圖8 不同頻率擾動作用下誤差曲線對比Fig.8 Comparison of error signals of control systems under different frequency disturbances

4 結論

本文重點對復合軸精跟蹤快速反射鏡不可測量擾動的抑制方法做了研究，提出了一種自適應反演PID復合控制算法，當快速反射鏡系統受到可測擾動時，用反演控制方法設計了一種自適應前饋反饋控制算法，實現了對可測量擾動的抑制。當快速反射鏡系統受到不可測擾動時，受可測量擾動抑制方法的啟發，設計了一種自適應控制算法，對不可測量擾動有一定抑制效果，同時與經典PID 控制算法進行了比較，最終設計出了一種結合自適應控制算法和PID 控制算法的復合算法。仿真表明該算法相比經典PID 控制算法和自適應控制算法對不可測量擾動有更好的抑制效果，復合算法比前兩種算法對不可測擾動的抑制能力有了較大提高。