基于擴張狀態觀測器的快速反射鏡滑?？刂?/h1>
2024-02-29 14:38緱澤恩韓順杰李雙成
紅外技術 2024年2期
緱澤恩，韓順杰，李雙成，粟 華
（1.長春工業大學 電氣與電子工程學院，吉林 長春 130012；2.長春奧普光電技術股份有限公司，吉林 長春 130033）
0 引言
快速反射鏡（fast steering mirror，FSM）是一種用于精確定位和控制光束方向的光學元件。它由一個反射面和一個驅動系統組成，通過驅動系統的精確調節，實現對光束的快速偏轉和穩定定位?？焖俜瓷溏R具有體積小、功耗低、響應速度快和高精度控制等優勢[1]，廣泛應用在各類航空相機中，能夠補償振動和運動引起的像移和模糊，提高成像質量和系統性能。此外，在天文望遠鏡、激光通信、自適應光學系統、光學雷達和光電穩定跟蹤等領域，快速反射鏡也發揮著獨特而不可替代的作用[2]。與傳統的跟蹤儀器相比，快速反射鏡具有較高的諧振頻率和較小的慣性，可實現更高的角分辨率，并顯著提升系統的帶寬和響應速度[3]。為滿足快速反射鏡系統跟蹤目標時，跟蹤速度的快速性和抗干擾的能力，需要采用一種恰當的控制算法。比例-積分-微分（PID）控制作為一種經典的線性控制方法，結構簡單，參數整定容易，早期應用于快速反射鏡系統中[4]。但PID 控制所能達到的跟蹤精度、響應速度和抗干擾能力還有待提升。為提高快速反射鏡系統的適應性，研究人員將自適應算法[5-6]應用于FSM 系統之中。文獻[7]結合經典PID 控制和自適應前饋控制兩種算法的優點，同時結合解耦理論，提出了一種解耦的復合控制算法，有效抑制光束抖動并增強了系統的控制精度。文獻[8]通過引入模糊設計思想，在經典PID 控制器的基礎上，設計了模糊自適應PID 控制器，跟蹤能力進一步提高。自抗擾控制是韓京清教授[9]提出的一種非線性控制理論，而擴張狀態觀測器是自抗擾控制技術的核心組成部分，是一種主動抗擾動控制方法。它直接將系統內外的未知擾動視為總擾動，并通過系統的輸入輸出對其進行估計和補償，從而抵消擾動，達到抗擾動的目的。
本文基于快速控制反射鏡數學模型，考慮到外界擾動未知的條件下，提出了一種改進的滑?？刂疲╯liding mode control,SMC）方法并構造了一個擴張狀態觀測器（extended state observer，ESO）觀測系統受到的外界總擾動，簡稱SMC＋ESO 方法。SMC＋ESO方法不僅可以獲得更好的動態性能和穩態性能，而且可以解決傳統滑?？刂破鞔嬖诘亩墩駟栴}，減小了抖振，仿真結果驗證了該方法的有效性。
1 快速反射鏡系統的數學模型
目前主流的快速調節角度的驅動器分別是音圈電機和壓電陶瓷[10]，二者被廣泛應用于快速反射鏡系統。壓電陶瓷通過“逆壓電效應”實現機械能和電能互相轉換，它具有轉動慣量小、重量輕、噪聲小、發熱少且無雜散電磁場等優點，但存在遲滯和蠕變等非線性特性，對系統跟蹤精度造成影響。音圈電機（voice coil actuator,VCA）是一種特殊形式的直線驅動電機，相比于壓電陶瓷驅動器，它的結構簡單、響應頻率低、無滯后、體積小，具有更大的運動行程，而且對振動、沖擊等工作環境具有較強的適應性。因此，本文選用音圈電機作為快速反射鏡系統的驅動元件。
音圈電機的運行基于安培力原理，即通電線圈（導體），在磁場中會產生一力F，力的大小與施加在線圈上的電流成比例，具體公式表示為：
式中：N為受到磁場作用的線圈匝數；I為電流大??；L為線圈每匝長度；B是磁場的磁感應強度。將音圈電機等效為一個電路原理圖如圖1所示，根據基爾霍夫第二定律可得音圈電機電壓平衡方程：
圖1 音圈電機等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit diagram of VCA
其中電機產生漏感抗電壓E＝keVe。
式中：ke為反電動勢常數；Ve為線圈運動速度；線圈電感L的感應壓降UL＝L×di/dt；通過電阻R的電壓UR＝Ri。將這些等式重新代入上式得：
根據快速反射鏡在轉動過程中受到的音圈電機驅動力矩、阻尼力矩、柔性鉸鏈力矩以及慣性力矩作用，得到FSM 系統的機械平衡方程為：
式中：J、θ、km分別為快速反射鏡的轉動慣量、鏡面轉角、柔性鉸鏈扭轉剛度。
對式(3)和式(4)進行拉氏變換并聯立可得：
式中：c為粘滯阻尼系數，消去中間變量i(s)，得：
由于音圈電機的電感L和粘滯阻尼系數c很小，建模時可以忽略不計，所以反射鏡模型可近似為：
2 滑模自抗擾控制器設計
2.1 ESO 設計
擴張觀測器將對系統輸出有影響的內擾和外擾看成一個總擾動擴張成系統的一個新狀態變量，并對系統中各個狀態變量進行觀測，構造出新的系統狀態方程。
以快速反射鏡作為被控對象，將其復頻域函數模型式(7)改寫為二階微分方程：
將系統各種外部擾動和模型誤差等效為一個擾動d，則式(8)可以寫為：
式中：x1代表位置信號，x2代表此時運動速度，根據(9)式把f作為一個新的被擴張狀態變量加入到系統中，即令x3＝f，符號上面加點代表此量對時間的導數。
根據被控對象的控制量u和輸出量y，擴張觀測器可以對系統的位置、速度以及總擾動進行估計。其表達形式如下：
式中：Z1是對位置x1的估計；e1是估計誤差；Z2是對此刻運動速度x2的估計；Z3是對總擾動的估計；β1、β2和β3是擴張觀測器的增益。
由式(11)可以得到誤差傳遞矩陣，進一步寫出其特征方程為：
根據高志強教授基于帶寬參數確定ESO 增益的算法[12]，有期望特征方程：
比較系數可得到觀測器增益向量為：
2.2 滑?？刂破髟O計
滑?？刂仆ㄟ^控制量切換使系統運動軌跡將保持在滑模面上滑動，具有結構簡單、魯棒性好、可靠性高、抗干擾能力強的優點。本文設計了擴張狀態觀測器來觀測系統所受總和擾動，通過觀測擾動來補償控制器，減少了對滑?？刂圃鲆娴囊?，從而減少了抖振。本文定義快速反射鏡位置跟蹤誤差為：
式中：θd為期望跟蹤的軌跡；y為實際軌跡。對式(14)求導可得速度跟蹤誤差：
根據上節擴張觀測器的定義，結合式(14)和式(15)得到：
定義滑模面為：
式中：c＞0。對式(17)求導并代入式(16)可得：
因此控制的控制器輸出為：
2.3 穩定性分析
對于滑?？刂破?，選取Lyapunov 函數：
則：
綜上所述，快速反射鏡系統的控制器的原理框圖如圖2所示。
圖2 基于擴張狀態觀測器的滑?？刂平Y構框圖Fig.2 Fragments of sliding mold control structure based on the extended state observer
3 仿真實驗
為了驗證本文提出的SMC-ESO 算法在快速反射鏡系統中的性能，采用Matlab/Simulink 對其有效性進行仿真驗證。SMC-ESO 算法的控制參數分別為：ω0＝100，ε＝100，k＝800，c＝180。傳統滑?？刂扑惴ǎ⊿MC）的相關參數與之選取相同。首先對系統進行階躍響應實驗，給定幅值為1 的單位階躍輸入，對兩種算法對比分析，如圖3所示。SMC 算法上升時間為0.0379 s，系統到達穩態的時間是0.0581 s；SMC-ESO算法上升時間為0.0188 s，系統到達穩態的時間是0.0354 s?；跀U張狀態觀測器的滑?？刂破鬏^前者的上升時間縮短了50.4%，調節時間縮短了39.1%。根據仿真實驗可知，SMC-ESO 算法具有較快的響應時間和調節時間。
圖3 快速反射鏡系統階躍響應Fig.3 Step response of fast steering mirror
兩種控制算法的跟蹤誤差曲線如圖5，從圖中可以看出，基于擴張狀態觀測器的滑?？刂坪蛡鹘y滑?？刂频淖畲蟾櫿`差分別為0.0241、0.0347，前者跟蹤精度較后者提高了30.5%，具有更好的位置跟蹤能力和更強的抗干擾能力。
圖5 正弦跟蹤誤差曲線Fig.5 Sine tracking error curves
4 結論
本文對快速反射鏡系統進行分析與建模，針對系統跟蹤時的快速響應和抗干擾問題，通過引入自抗擾控制中的ESO，提出了一種基于擴張狀態觀測器的改進滑?？刂品椒?。該方法把系統所受總擾動擴張為新的狀態變量進行觀測估計，并補償到控制輸入中，使跟蹤誤差收斂的同時減小抖振。仿真實驗結果表明：采用基于擴張狀態觀測器的改進滑?？刂破?，較傳統滑?？刂破?，上升時間縮短了50.4%，調節時間縮短了39.1%，跟蹤精度提高了30.5%。在不同輸入信號下，本文的方法較傳統滑?？刂凭哂懈叩目刂凭?，更強的抑制干擾能力，具有更好的動態性能。
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本文基于快速控制反射鏡數學模型，考慮到外界擾動未知的條件下，提出了一種改進的滑?？刂疲╯liding mode control,SMC）方法并構造了一個擴張狀態觀測器（extended state observer，ESO）觀測系統受到的外界總擾動，簡稱SMC＋ESO 方法。SMC＋ESO方法不僅可以獲得更好的動態性能和穩態性能，而且可以解決傳統滑?？刂破鞔嬖诘亩墩駟栴}，減小了抖振，仿真結果驗證了該方法的有效性。
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音圈電機的運行基于安培力原理，即通電線圈（導體），在磁場中會產生一力F，力的大小與施加在線圈上的電流成比例，具體公式表示為：
式中：N為受到磁場作用的線圈匝數；I為電流大??；L為線圈每匝長度；B是磁場的磁感應強度。將音圈電機等效為一個電路原理圖如圖1所示，根據基爾霍夫第二定律可得音圈電機電壓平衡方程：
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根據快速反射鏡在轉動過程中受到的音圈電機驅動力矩、阻尼力矩、柔性鉸鏈力矩以及慣性力矩作用，得到FSM 系統的機械平衡方程為：
式中：J、θ、km分別為快速反射鏡的轉動慣量、鏡面轉角、柔性鉸鏈扭轉剛度。
對式(3)和式(4)進行拉氏變換并聯立可得：
式中：c為粘滯阻尼系數，消去中間變量i(s)，得：
由于音圈電機的電感L和粘滯阻尼系數c很小，建模時可以忽略不計，所以反射鏡模型可近似為：
2 滑模自抗擾控制器設計
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將系統各種外部擾動和模型誤差等效為一個擾動d，則式(8)可以寫為：
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根據被控對象的控制量u和輸出量y，擴張觀測器可以對系統的位置、速度以及總擾動進行估計。其表達形式如下：
式中：Z1是對位置x1的估計；e1是估計誤差；Z2是對此刻運動速度x2的估計；Z3是對總擾動的估計；β1、β2和β3是擴張觀測器的增益。
由式(11)可以得到誤差傳遞矩陣，進一步寫出其特征方程為：
根據高志強教授基于帶寬參數確定ESO 增益的算法[12]，有期望特征方程：
比較系數可得到觀測器增益向量為：
2.2 滑?？刂破髟O計
滑?？刂仆ㄟ^控制量切換使系統運動軌跡將保持在滑模面上滑動，具有結構簡單、魯棒性好、可靠性高、抗干擾能力強的優點。本文設計了擴張狀態觀測器來觀測系統所受總和擾動，通過觀測擾動來補償控制器，減少了對滑?？刂圃鲆娴囊?，從而減少了抖振。本文定義快速反射鏡位置跟蹤誤差為：
式中：θd為期望跟蹤的軌跡；y為實際軌跡。對式(14)求導可得速度跟蹤誤差：
根據上節擴張觀測器的定義，結合式(14)和式(15)得到：
定義滑模面為：
式中：c＞0。對式(17)求導并代入式(16)可得：
因此控制的控制器輸出為：
2.3 穩定性分析
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則：
綜上所述，快速反射鏡系統的控制器的原理框圖如圖2所示。
圖2 基于擴張狀態觀測器的滑?？刂平Y構框圖Fig.2 Fragments of sliding mold control structure based on the extended state observer
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圖3 快速反射鏡系統階躍響應Fig.3 Step response of fast steering mirror
兩種控制算法的跟蹤誤差曲線如圖5，從圖中可以看出，基于擴張狀態觀測器的滑?？刂坪蛡鹘y滑?？刂频淖畲蟾櫿`差分別為0.0241、0.0347，前者跟蹤精度較后者提高了30.5%，具有更好的位置跟蹤能力和更強的抗干擾能力。
圖5 正弦跟蹤誤差曲線Fig.5 Sine tracking error curves
4 結論
本文對快速反射鏡系統進行分析與建模，針對系統跟蹤時的快速響應和抗干擾問題，通過引入自抗擾控制中的ESO，提出了一種基于擴張狀態觀測器的改進滑?？刂品椒?。該方法把系統所受總擾動擴張為新的狀態變量進行觀測估計，并補償到控制輸入中，使跟蹤誤差收斂的同時減小抖振。仿真實驗結果表明：采用基于擴張狀態觀測器的改進滑?？刂破?，較傳統滑?？刂破?，上升時間縮短了50.4%，調節時間縮短了39.1%，跟蹤精度提高了30.5%。在不同輸入信號下，本文的方法較傳統滑?？刂凭哂懈叩目刂凭?，更強的抑制干擾能力，具有更好的動態性能。
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