基于傾角反演的隧道斷面變形全方位監測方法

陳曉斌，王風棟，吳夢黎，王業順

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙，410082；2.重載鐵路工程結構教育部重點實驗室，湖南 長沙，410075)

隧道斷面變形是反映隧道健康狀況的關鍵因素[1-4]。傳統方法只在某一時刻記錄隧道斷面特定監測點變形，很難準確定位斷面危險點位置并判別潛在的變形趨勢，難以滿足隧道健康狀況評估的需求[5-6]。為了實現整個隧道斷面的實時連續監測，基于傾角傳感器和無線傳感網絡的隧道變形監測方法成為當前研究熱點[7-9]。20世紀90年代末便有學者利用傾角傳感器對隧道變形進行監測。BASSETT等[10]基于電解質式傾角傳感器開發了巴塞特收斂系統(Bassett convergence system)，并在倫敦地鐵有限公司運營隧道中進行了試驗驗證。該系統主要由若干個帶有傾角傳感器的觀測臂組成，使用時，需將觀測臂首尾相連安裝到隧道斷面上。除此之外，ARIZNAVARRETA-FERNáNDEZ等[11]采用與巴塞特系統相似的原理開發了CANG(convergence by means of angular sensors)系統，并在雙車道公路隧道中進行了試運行。隨著MEMS(micro-electro-mechanical system)技術和無線傳感網絡技術的發展，基于MEMS傾角傳感器和無線傳感網絡的新型監測方法開始用于隧道變形監測。BENNETT等[12]使用傾角傳感器和裂縫計對倫敦地鐵隧道變形進行了長期監測。WANG等[13-14]采用無線傾角傳感器對上海地鐵隧道的水平和縱向收斂變形進行了監測。LI等[15]在隧道斷面頂部布設傾角傳感器，監測了縱向沉降。同時，相關學者提出了多種基于傾角的變形計算方法。嵇中[16]假定隧道斷面變形為橢圓形，通過公式擬合的方法得到了盾構隧道收斂變形的計算公式。HUANG等[17-18]通過定義“最優測量點”，采用考慮管片變形的相對不轉動點法對隧道收斂變形進行計算。王明卓[19]通過建立數值模型，利用理論和數值擬合的方法建立了變形和傾角變化之間的關系。WANG等[5,14]則采用解析方法提出基于傾角傳感的盾構隧道收斂計算方法，并利用誤差反演算法得到最優安裝位置。

目前，提出的多種傾角-變形算法主要是用于計算特定監測點變形，在準確計算隧道斷面全方位變形(隧道斷面任意極角位置變形)方面還存在一些不足。巴塞特系統、CANG系統雖然可以實現全方位監測，但需要大量的輔助設備，占用工作空間大，無法體現傾角傳感器體積小、易于安裝的優勢。為了充分發揮傾角傳感器的優勢，實現對隧道斷面全方位變形的實時連續監測，本文提出一種新的基于傾角反演的隧道變形監測方法，主要研究內容包括：通過分析隧道變形與傾角之間的關系，推導隧道傾角-變形算法；開展傾角-變形算法誤差分析，增設假定約束條件，提出算法修正公式；建立三維有限差分數值模型和室內試驗模型，通過數值模擬和室內試驗的方式驗證算法的正確性，通過誤差分析討論其適應性，為實際工程應用提供依據和指導。

1 基于傾角的隧道變形算法

1.1 坐標系選取

推導隧道傾角-變形算法時，首先需要選取合適的坐標系來定義隧道各點的坐標信息。常見隧道結構一般由仰拱和上部拱形結構組成，兩者的輪廓曲線均呈弧形。隧道仰拱的主要作用是將上部荷載傳遞給下部土體，同時抵抗下部土體的隆起，在實際監測中，一般較少對仰拱進行監測。因此，本文在研究隧道變形過程中也僅針對上部拱形結構。同時，考慮到隧道拱腳的變形較小，將上部拱形結構兩底端近似看作固定約束[20]。

隧道上部拱形結構的輪廓曲線上存在切線斜率無窮大的點，即存在傾角為90°的點。當選用常用的直角坐標系定義位置時，對斜率無窮大的點難以處理，同時也會存在同一x坐標對應多個y坐標的問題即多值問題。為避免上述問題，采用極坐標系來定義位置坐標。如圖1所示，以2個拱腳連線的中點作為坐標原點，記為極點O，從極點向右側拱腳引出1條射線作為極軸，記為極軸OX，以逆時針旋轉為正，建立極坐標系。隧道輪廓曲線上各點的位置坐標可以用極角φ和與其對應的極徑r唯一表示，記為P(φ,r)。

圖1 坐標系選取示意圖Fig.1 Diagram of coordinate system selection

1.2 傾角-變形算法推導

采用極坐標表示隧道各點的位置，此時，隧道變形情況可以用各點的極徑變化量Δr表示，Δr越大，該點的變形量越大。利用傾角計算隧道變形時，需要建立傾角與變形之間的關系，通過已知傾角推算與之唯一對應的變形值，用數學表達式表示為

式中：θ為隧道監測點的傾角；Δr為隧道監測點的變形量。下面推導Δr與θ的具體關系式。

為了便于分析，將隧道輪廓曲線的極角區間分為n個小區間，取其中1個小區間進行分析。隧道分段變形幾何關系如圖2所示。設曲線AB為第i個小區間[φi-1,φi]所對應的曲線分段，曲線A′B′為對應變形后的曲線分段。

圖2 隧道分段變形幾何關系Fig.2 Deformation geometry relationship of tunnel segments

Pi(φi,ri)和Pi-1(φi-1,ri-1)是曲線分段的端點，對于變形前后的曲線分段，存在有函數關系Ri(φ)使得r=Ri(φ)，φ?[φi-1,φi]始終成立。但Ri(φ)的具體表達式并不明確，可以基于曲線插值的思想，構造插值函數ri(φ)近似代替Ri(φ)，并使ri(φ)經過端點Pi和Pi-1。任意曲線都可以構造插值函數去近似代替實際曲線，各函數組成插值函數r(φ)?[0°,180°]。則隧道變形可以近似表示為

式中：Δr為隧道監測點的變形量；r(φ)為變形后曲線的極徑；rc(φ)為曲線的初始極徑。

假設函數ri(φ)在區間[φi-1,φi]內滿足二階連續，即函數圖像為光滑連續的曲線。以多項式為基函數構造ri(φ)：

式中：aik為多項式的系數。式(3)的一階和二階導數r′i(φ)和r″i(φ)可以表示為：

如圖2所示第i個分段曲線，其極角區間為[φi-1,φi]，為方便計算，不妨將原函數進行平移，設變量s=φ-φi-1，同時令si=φi-φi-1，則平移后的函數區間變為[0,si]。分段端點Pi和Pi-1的極徑為ri和ri-1，ri(φ)在端點的一階導數值用r′i和r′i-1表示，可以得到以下關系：

將式(3)、(4)、(6)聯立可以得到：

同理，對于相鄰的第i+1段曲線，可以構造函數ri+1(φ)，其中φ?[0,si+1]。2個函數在其區間內均滿足二階連續，則在端點處有

將式(8)與式(5)聯立并將式(7)代入得

式(9)是關于r、r′的方程，由于采用傾角θ進行隧道變形監測，隧道各點的r和r′為未知量，要求解式(9)需要建立傾角θ與r、r′的關系。

極坐標系與直角坐標系的轉換關系為

此時，對于傾角θ，有

再由三角函數公式可得

將式(11)代入式(12)并化簡得

式(13)表征了傾角θ與r、r′的關系。將式(13)代入式(9)并化簡得

其中：

式(14)是關于r的方程組，求解前還需要2個邊界條件。設隧道2個拱腳滿足

式中：R0為隧道右側拱腳的極徑；Rn為隧道左側拱腳的極徑。R0與Rn為已知量，可以通過1次測量或者設計圖獲得。在將上部拱形結構看作兩端固定約束的情況下，可以認為R0與Rn為不變量。將式(15)與式(14)聯立為矩陣形式：

為表示方便，上式可以簡寫成

式中：A為系數矩陣，由隧道輪廓曲線各點的傾角θ求得；R為變量矩陣，是隧道各點極徑r組成的一維數組；B為結果矩陣。

式(17)是關于極徑r的方程組，根據矩陣的基本運算法則可以求得變形后隧道各點的極徑：

同理，可以求得隧道初始極徑：

由此可以計算出隧道各點的變形量：

式中：ΔR為隧道各點變形量組成的一維數組。

式(20)即為傾角θ與隧道變形的關系，將實時獲得的隧道各監測點的傾角代入式(20)便可以計算出隧道變形量。

將式(18)和式(19)求得的極徑代入式(7)可以得到系數ai1、ai2、ai3、ai4，將各系數代入式(3)可以得到隧道變形前后的隧道曲線rc(φ)和r(φ)，再利用式(2)即可求得隧道斷面曲線任意極角位置的變形量Δr，從而實現對隧道上部拱形結構的全方位變形監測。

1.3 監測點極角修正

在實際應用中，為考慮成本，一般使用便攜式小型傾角傳感器對隧道若干個監測點傾角進行監測，這可能造成計算誤差。計算誤差一方面來源于傾角傳感器本身結構，其輸出的傾角是傳感器所在直線的傾角，與實際監測點的傾角之間存在一定誤差。但傾角傳感器的長度一般為10～20 cm，相對于隧道周長，傳感器長度小，因而這類誤差影響較小。另一方面，在隧道變形過程中，傳感器伴隨隧道一起發生位置變動，但由于隧道各點的位移方向并非均指向極點，會促使變形前后的監測點極角發生變化，如圖3所示。

圖3 監測點位置變動示意圖Fig.3 Diagram of location change of the monitoring point

而在計算過程中，若仍然使用初始極角進行計算，則很有可能產生較大的計算誤差，同時，由于每個監測點的極角均會發生變化，還會造成累計誤差。

為了減小傾角-變形算法在有限監測點下的計算誤差，可以通過補充假設和約束條件的方式對隧道變形后的極角進行修正，并將修正后的極角重新代入傾角-變形算法，從而改進算法的計算結果。

根據隧道變形前后的形狀特點，補充假設條件：隧道變形前后相鄰2個傳感器間的弧長相對于總弧長的比例不變。令變形前隧道上部拱形結構總弧長和相鄰2個傳感器間的分段弧長分別為s、li，變形后為s′、li′，則補充的假設條件可以用數學表達式表示為

根據極坐標下的弧長積分公式可以得到

式中：Φi為修正后的傾角。通過補充假設條件，利用式(21)和式(22)即可實現對傾角-變形算法計算結果的修正。

2 有限差分算例

2.1 有限差分模型建立

以某隧道斷面設計為參考，建立Flac 3D數值模型，如圖4所示(其中，R為半徑)。斷面形狀為三心圓，半徑分別為R1=5.7 m，R2=R3=8.2 m，|下側角度α=12°，厚度為0.35 m，底部固定約束。采用彈性本構模型，C25混凝土力學參數選取如表1所示。

表1 C25混凝土物理力學參數Table 1 Mechanical parameters of numerical model of C25 concrete

圖4 隧道數值模型Fig.4 Tunnel numerical model

傾角傳感器通過梁結構單元模擬。梁結構單元兩端采用固定鏈接，當模型發生變形時，結構單元位置隨之產生相應變動。輸出結構單元端點的x、y坐標，則隧道變形前后結構單元的傾角可以按下式計算：

式中：θ和θ′分別為變形前后結構單元的傾角；(x1，y1)和(x2，y2)分別為變形前結構單元端點坐標；(x1′，y1′)和(x2′，y2′)分別為變形后結構單元端點坐標；Δθ為傾角變化量。

2.2 計算結果分析

在隧道模型內側對稱設置10個結構單元，以傳感器所在位置為邊界劃分出9個極角區間，在隧道模型上施加1×104kN·m-2的法向均布荷載，隧道發生變形，待變形穩定后輸出隧道的位移云圖，如圖5(a)所示。輸出結構單元的端點坐標并計算傾角，在不進行極角修正的情況下，使用推導的傾角-變形算法計算得到隧道各點的極徑變化量Δr，并將其與數值模擬值進行對比，如圖5(b)所示。

圖5 均布荷載下隧道變形計算結果Fig.5 Deformation results of tunnel under uniform load

從圖5(b)可以看出：算法計算得到的隧道變形量在極角90°位置最大，向兩端逐漸減小，這與數值模擬結果基本相同。但未經極角修正情況下的計算結果與模擬值相比存在明顯誤差，不符合監測需求。

使用1.3節所述極角修正方法對算例的計算結果進行修正，得到結果如圖6所示。從圖6可以看出：修正后的計算誤差相比于修正前明顯減小，且僅需2次迭代修正，計算結果便與數值模擬結果基本吻合。

圖6 經過迭代修正后的極徑變化量計算結果Fig.6 Deformation results after iterative correction

為了進一步量化評價算法的計算誤差，采用最大絕對誤差和平均相對誤差這2個評價指標對計算結果進行評價。用Δr(φ)表示算法計算得到的隧道變形量，ΔR(φ)表示數值模擬得到的理論變形量，則最大絕對誤差和平均相對誤差可以表示為：

式中：Emax為最大絕對誤差；δ為平均相對誤差。

但實際計算中Δr(φ)與ΔR(φ)往往較復雜，難以進行積分運算。為了計算方便，可以選取曲線上的若干點，采用離散的方法來近似求得平均相對誤差，即

將計算結果與數值模擬結果代入式(26)，得到不同迭代修正次數下隧道變形計算的平均相對誤差，如圖7所示。從圖7可以看出：隨著迭代修正次數增加，誤差逐漸減小并最終趨于穩定，穩定后隧道變形計算平均相對誤差為3.64%(低于5%)，同時，計算出穩定后隧道變形計算的最大絕對誤差為0.178 mm，證明了傾角-變形算法的準確性。在實際使用中，為了保證計算結果準確性，應按照修正方法進行至少3次迭代修正。此外，在修正過程中只對傳感器極角進行修正，沒有改變傳感器的傾角輸出值，也驗證了1.3節中極角修正假設的正確性。

圖7 不同修正次數下的隧道變形計算平均相對誤差Fig.7 Average relative errors of tunnel depormation caculation in different correction times

3 傾角-變形算法適應性分析

算例模型的荷載形式為對稱均布荷載，但在實際隧道工程中，隧道斷面所受荷載形式可能更加復雜，因此，需要驗證傾角-變形算法在不同工況下的適應性。隧道所受荷載類型可以大致分為均布荷載、對稱非均布荷載和非對稱荷載[21]3種形式。這里采用第2節有限差分隧道模型模擬對稱非均布荷載和非對稱荷載這2種工況。

3.1 對稱非均布荷載工況模擬

對于對稱非均布荷載工況，在原有1×104kN·m-2均布荷載的基礎上增加0.1×104kN·m-2中間荷載，以此模擬非均布荷載類型。隧道模型參數和傳感器位置與均布荷載工況保持一致，最終得到該工況下的隧道位移云圖如圖8(a)所示，可以看出，由于施加了額外荷載，隧道的變形與均布荷載下有明顯不同，整體呈豎向壓扁形式。

圖8 對稱非均布荷載下隧道變形計算結果Fig.8 Deformation results of tunnel under symmetrical non-uniform load

輸出傳感器的傾角，代入傾角-變形算法，同樣進行3次迭代修正，得到隧道各點的變形量Δr，并繪制出極徑變化量Δr與極角的關系曲線，如圖8(b)所示。從圖8(b)可以看出：對稱非均布荷載工況下算法極徑變化量計算值與數值模擬值基本一致，代入式(22)與式(24)計算得到當前工況下隧道變形的最大絕對誤差為0.424 mm，平均相對誤差為6.07%，計算誤差較小。

3.2 非對稱荷載工況模擬

在1×104kN·m-2均布荷載的基礎上，通過在模型右側增加0.05×104kN·m-2荷載的方式模擬非對稱荷載，變形穩定后輸出隧道位移云圖如圖9(a)所示。將傳感器傾角代入傾角-變形算法，繪制非對稱荷載工況下Δr與極角的關系曲線，如圖9(b)所示。從圖9可見：在該工況下，算法計算的隧道變形最大絕對誤差為0.706 mm，平均相對誤差為4.95%，說明傾角-變形算法在非對稱荷載工況下同樣具有較好的適應性。

圖9 非對稱荷載下隧道變形計算結果Fig.9 Deformation results of tunnel under asymmetric load

通過分析上述3種工況可知：算法在不同工況下的測量精度有所不同，其中，均布荷載工況的計算誤差最小，最大絕對誤差僅為0.178 mm，平均相對誤差僅為3.66%；非均布荷載算法的計算誤差較大；從整體平均誤差看，對稱非均布荷載工況下的平均相對誤差最大，為6.07%；從局部監測點的最大誤差角度看，非對稱荷載工況下的誤差最大，為0.706 mm。雖然算法在不同工況下的誤差不盡相同，但都保持在較低值，最大絕對誤差均不超過1 mm，平均相對誤差小于7%。

4 試驗驗證

通過有限差分算例分析算法自身誤差后，這里采用室內試驗方式驗證算法在實際使用過程中隧道變形監測的準確性。

4.1 試驗設計

室內試驗設計如圖10(a)所示。模型尺寸參考第2.1節中數值模型尺寸進行縮尺設計，縮尺比為1:5?？s尺后隧道高為1.48 m，最大寬度為2.28 m。由于所用傾角-變形算法與隧道自身的材料性質無關，同時，為簡化試驗過程，試驗模型采用10 mm普通螺紋鋼筋及5 mm鋼板拼接而成，如圖10(b)所示。在模型內側預留有10個監測點位，用于安裝傾角傳感器(C1、C2、…、C10為傳感器編號)。

圖10 室內模型試驗Fig.10 Indoor model test

試驗以鎖緊螺栓作為加載裝置，通過對模型施加豎直或水平方向上的拉力使其發生變形，模擬隧道拱頂沉降和水平收斂。加載通過變形控制，共設置10個加載等級，控制模型變形從0 mm逐級增大到50 mm，試驗時，緩慢加載以保證傳感器測量準確。受試驗條件限制，模型試驗無法像數值模擬一樣輸出隧道所有極角位置的實際變形，因此，僅對2個具有代表性的隧道變形指標進行實際監測。選取隧道拱頂沉降和水平收斂[22-23]作為監測指標，將3個位移計分別設置于模型的拱頂和拱腰位置，3個位移測點記為W1、W2和W3，記錄試驗過程中模型豎直和水平方向上的位移，其中，拱頂沉降通過位移計直接讀取，水平收斂則通過讀取水平方向上的2個位移相加獲得。

傳感器的布置如圖10(a)所示。以右側拱腳為起始點在模型內側設置10個傳感器，依次編號為C1～C10。起始監測點對應的極角為0°，末尾對應極角180°，兩側監測點基本呈對稱布置，記錄試驗過程中各監測點產生的傾角。

4.2 試驗結果與分析

圖11所示為試驗加載過程中各傾角傳感器的傾角變化量。由于模型結構和加載基本對稱，故所得傾角變化也基本對稱，其中傳感器C4、C5、C6和C7處的傾角變化呈減小趨勢，傳感器C1、C2、C9和C10處的傾角變化呈增大趨勢，傳感器C3與C8處的傾角變化不明顯，且拱頂附近傾角變化比拱腳處的傾角變化大。根據加載方式，可以初步判斷傾角傳感器的測量趨勢正確。

圖11 不同加載等級下傳感器傾角變化量Fig.11 Variation of inclination under different loading levels

將傳感器所測結果代入傾角-變形算法計算位移測點W1、W2和W3在極坐標下的變形量，分別記為Δr1、Δr2和Δr3。為了能與位移計所測位移相比較，利用極坐標與直角坐標的轉換關系對所得Δr1、Δr2和Δr3進行直角坐標轉換，轉換關系為

式中：Δxi和Δyi分別為測點i在直角坐標系x和y方向上的位移，mm；Δri為測點i在極坐標下的變形量，mm；φi為測點i所在極角。

利用式(27)計算得到3個位移測點在直角坐標系下的位移，其中，Δy2為隧道模型的拱頂沉降，Δx1與Δx2的和為隧道的水平收斂。將得到的拱頂沉降和水平收斂與位移計所測的實際值進行比較，如圖12所示。

圖12 隧道模型變形監測結果Fig.12 Monitoring results of tunnel deformation

從圖12可以看出：利用本文方法得到的拱頂沉降和水平收斂與實際結果接近，可以正確反映試驗過程中測點的位移變化趨勢。拱頂沉降的平均測量誤差為7.34%(小于8%)，水平收斂的平均測量誤差為4.10%(小于5%)。由于傳感器測量誤差的存在，試驗誤差比數值模擬誤差大，但仍較小。

5 結論

1) 通過設立合適的坐標系和假設條件，隧道變形與傾角之間可以建立數學關系，并據此可得到隧道傾角-變形計算方法。

2) 監測點的極角隨隧道變形而改變，直接影響傾角-變形算法計算精度。假定隧道變形前后相鄰2個傳感器間弧長與總弧長的比例不變，修正極角，則只需2次迭代修正，即可將計算誤差降低到5%以下。

3) 隧道傾角-變形算法在均布荷載、對稱非均布荷載和非對稱荷載等工況中均具有良好的適應性和較高的準確性，其最大絕對誤差小于1 mm，平均相對誤差小于7%。

4) 即使存在傳感器測量誤差，隧道傾角-變形算法仍具有較高的監測精度，豎向拱頂沉降監測誤差小于8%，水平收斂監測誤差小于5%。