熱連軋系統的周期更換決策

王欣潔,張曉紅,曾建潮,2

(1.太原科技大學,太原 030024;2.中北大學 大數據與視覺計算研究所,太原 030051)

熱連軋是生產鋼材的重要方式。目前有大量關于熱連軋系統[1-3]的研究。高精度的數學模型[3-11]對于提升熱連軋系統的性能具有重要作用。在熱連軋生產系統中,軋輥是生產線上的主要加工部件和消耗部件,軋輥的磨損對帶鋼的表面質量、生產成本具有很大的影響,同時對生產的連續性和穩定性起決定性的作用;由于軋輥是軋制生產線更換頻繁的部件,其生產成本及維修成本較高,軋輥的磨損直接造成生產成本的增加[1]。對軋輥磨損機理和軋輥磨損的主要影響因素及其影響規律進行了深入系統的分析和研究。如果在系統運行過程中某個軋輥發生了故障,比如斷輥、粘輥、劃坑等,如果僅更換發生故障的軋輥,則系統需要經常停產更換,增加了更換成本和停產損失,因此,此時對所有軋輥進行成批更換。若系統意外停機,會嚴重影響產品質量,進而造成重大損失。為了避免損失,在系統運行一定周期后安排預防維修而成批更換軋輥。

如何有效優化更換周期,對于提升熱連軋系統的性能并有效降低生產成本具有重要的作用。因此,本文對熱連軋系統的更換周期進行研究。將包含多個軋輥部件且組成串聯結構的熱連軋系統抽象為多部件串聯系統,按照確定周期執行成批預防更換,給出相關模型,完善相關理論,結合仿真實例給出求解算法,對于多種相關費用情形,給出系統部件數和更換周期的關系,對于實際生產有一定的理論指導意義。

1 系統的分布以及可靠性分析

由于熱連軋系統中各個軋輥受系統統一影響,難免會有一定的關聯。但各個軋輥各自獨立運行,且采用統一批量更換,為了研究方便,本文假設各個軋輥的最初的狀態相同,且運行過程中相互獨立且服從相同的分布。因此,可以將系統抽象為一個多部件串聯系統。

1.1 系統的分布

不妨設系統由n(n>1)個相同部件組成,假設各個部件的使用相互獨立。用X表示部件的使用壽命,其分布函數為F(x),密度函數為f(x).用Xi(i=1,2,…,n)表示第i個部件的使用壽命,不妨設X1,X2,…,Xn相互獨立,且服從與總體X相同的分布。用Z表示系統的使用壽命,根據串聯系統的可靠性,多個部件X1,X2,…,Xn中只要有一個發生故障,系統就失效,因此系統的使用壽命為最小順序統計量min(X1,X2,…,Xn),即Z=min(設X1,X2,…,Xn).從而系統的使用壽命Z的分布函數:

FZ(z)=P(Z≤z)=

P(min(X1,X2,…,Xn)≤z)=

1-P(min(X1,X2,…,Xn)>z)=

1-P(X1>z,X2>z,…,Xn>z)=

1-P(X1>z)P(X2>z)…P(Xn>z)=

(1)

相應的系統的使用壽命Z的密度函數為:

fZ(z)=n(1-F(z))n-1f(z).

(2)

1.2 系統的可靠性分析

注意到分布函數F(x)表示系統發生故障的概率,因此,1-F(x)表示系統的可靠性。下面根據式(1)從理論上說明多個相互獨立部件構成的串聯系統的可靠性與單部件系統的可靠性之間的關系。

引理1設n為大于1的整數。若x∈(0,1),則有1-(1-x)n>x

證明令g(x)=1-(1-x)n-x,x∈(0,1),

注意到隨機變量X的分布函數F(x)的值域為[0,1],即0≤F(x)≤1,且當F(x)=0時,FZ(x)=0;當F(x)=1時,FZ(x)=1.結合引理1以及FZ(x)=(1-F(x))n(見式(1)),可得如下的定理:

定理1設n為大于1的整數,則對任意實數x,都有FZ(x)≥F(x),且當0F(x).

定理1說明,獨立同分布的多部件構成的串聯系統比單個部件更容易失效。下面通過分析FZ與F的差來說明相對于單個部件,獨立同分布的多部件構成的系統更容易失效的程度。

圖1分別給出了n=2,5,10,50時,FZ與F的關系,FZ-F與F的關系,橫軸為F的取值。從圖1可以看到獨立同分布的多部件構成的系統更容易失效的程度。通過上面的分析說明:在串聯系統中,n越大,系統越容易失效。所以工業生產中為了提高系統的可靠性,要從系統設計方面考慮優化降低系統中部件的個數n.

圖1 n=2,5,10,50時,FZ,FZ-F與F的關系

2 更換周期模型與求解

2.1 更換周期模型

為了提高生產效率和產品質量、有效降低停機損失,系統運行一定的周期后,對其關鍵部件(利用冷貯備的同類型部件)進行預防性成批更換,并在系統運行的同時對更換下來的缺陷件進行離線維修后再使用。假設維修后部件的性能修復如新,不考慮部件的可維修次數的限制。

用tp表示更換周期。如果系統正常運行到預定的更換周期tp,對所有關鍵部件進行成批更換。用Cp表示單個部件一次預防性更換的費用,g1(n,Cp)為n個部件一次預防性更換的費用函數。如果系統沒有正常運行到預定的更換周期tp時某個關鍵部件發生故障,則也對所有關鍵部件進行成批更換。Cc為單個部件一次故障后更換的費用,g2(n,Cc)為一次故障后n個部件更換的費用函數。

根據經典的單部件基于役齡的換件模型[11]和系統采用的維修策略,系統的單位時間總期望費用為:

(3)

選取tp使式(3)中的目標函數取得最小值。式(3)中FZ(tp)(見式(1))為在預防性維修規定的更換周期tp內系統發生失效的概率,RZ(tp)為在預防性維修規定的更換周期tp內系統不發生失效的概率,顯然RZ(tp)=1-FZ(tp),MZ(tp)為在預防性維修規定的更換周期tp內系統失效的平均時間,可以用系統失效分布在tp處截尾的期望值來估計[11],即

(4)

g1(n,Cp),g2(n,Cc)可根據具體的問題給出,比如:

g1(n,Cp)=

Cp+(n-1)Ca,g2(n,Cc)=Cc+(n-1)Ca,

(5)

其中Ca為在一個部件的基礎上多更換一個部件的費用。作為特例,當n=1時,FZ(x)=F(x),fZ(x)=f(x),g1=Cp,g2=Cc,上述模型退化為文獻[11]中的經典模型。

2.2 預防性更換周期的解析表達式

下面將給出最優的預防性更換周期tp的表達,分析tp的取值和部件數n以及相關費用的關系。由于g1(n,Cp),g2(n,Cc)均與tp無關,所以簡化符號,記g1=g1(n,CP),g2=g2(n,Cc).根據定積分的分部積分有,

上式結合式(3)、式(4),可得:

對TECZ(tp)關于tp求導,可得:

(g1+(g2-g1)FZ(tp))(1-FZ(tp))=0

3 數值實驗

采用壽命常用的分布——Weibull分布進行仿真實驗,即X的密度函數為:

其中k>0是形狀參數,λ>0是比例參數。實驗中取k=2,λ=50.

對于n>1的情形,

實驗中,式(5)參數(單位:萬元)的取值分別為:一個部件預防性更換的單位費用Cp=40,系統故障后更換的單位費用Cc=500,在更換一個部件的基礎上多更換一個部件的單位費用Ca=10.

對于該問題,由于FZ(z)和fZ(z)的函數表達式中均含有指數函數,無法得到tp的最優解的解析表達式。同時,對于實際的工程問題并不關心tp的具體精確值,選擇更換周期為最小時間單位的整數倍即可。因此,tp的取值只考慮自然數,直接從目標函數入手,通過式(3)可直接比較得到問題的最優解。由于分布函數的取值上限是正無窮,在考慮離散的正整數后,進一步對其取值進行截斷,通過實驗比較,最終設定tp上限為50.圖2分別給出了部件數量n=1,2,10,50時,不同的tp取值對應的系統的單位時間總期望費用TECZ(tp).圖2中橫坐標表示tp的取值,縱坐標表示系統的單位時間總期望費用TECZ(tp).比較可得最優的預防性更換周期tp(單位:h)分別為15,12,9,8.

圖2 n=1,2,10,50時,不同的tp取值對應的系統的單位時間總期望費用

由于部件數量影響系統的可靠性,成批更換費用也影響系統單位時間總期望費,所以需要考慮Ca的取值對最優預防性更換周期tp的影響,圖3分別給出了Ca=0,10,20,40情形下,不同的n對應的最優tp,其中橫坐標表示n的取值,縱坐標表示最優的tp.

圖3 Ca=0,10,20,40情形下,不同的部件數n對應的最優tp

通過實驗可以發現,當n較大時,很多不同的tp取值對應的系統的單位時間總期望費用和最優值相同,或者相差很少?？紤]到計算誤差和具體的應用,為了能有效反應最優的tp隨著n增大時的變化規律,同時,為了能相對有效的降低成批更換費用,將目標函數值與得到的最優目標函數值的相對誤差不超過10-5的較大的維修周期作為最優的tp.

Ca=0的情形指的是多更換一個部件的費用相對于一次的更換費用可以忽略不計的情形。通過圖3可以看出,隨著n的增大,預防性更換周期tp的最優值逐漸減少,最終變為2,說明了隨著n的增大,系統的可靠性變差,系統需要頻繁的成批替換。

Ca=10,20的情形,通過圖3可以看出,隨著n的增大,預防性更換周期tp的最優值先減少后增加,最終變成最大設定值50.通過系統的故障概率可以看到:當n較大時,系統接近概率1出現故障,所以選擇該值作為預防性更換周期,實際上就是等系統發生了故障才進行更換,此時屬于故障后更換。最初tp的最優值減少的原因是隨著n的增大系統的不穩定性增大;后來tp的最優值增大的原因是隨著n的增大,按式(5)計算得到預防性更換費用g1=g1(n,Cp)和故障后更換費用g2=g2(n,CC)的值逐漸接近相同,所以tp的最優值隨著n的增大而增大。當n較大時,g1=g1(n,Cp)和g2=g2(n,CC)的值接近相同時,維修策略即為等系統發生故障之后直接進行故障后更換,無需預防性更換。

Ca=40的情形,通過圖3可以看出,隨著n的增大,預防性維修周期tp的最優值逐漸增加,最終變成最大設定值50.原因也是隨著n的增大,g1=g1(n,Cp)和g2=g2(n,CC)二者的值逐漸接近相同。這里tp=50,則表示不需考慮預防性更換,直接等系統故障后更換即可。

4 結論

對熱連軋系統的成批更換周期進行研究,給出相關數學模型與理論。從理論上分析了系統的可靠性與部件數量之間的關系,建立了更換周期模型,通過數值實驗展示了模型的離散求解過程,展示了在不同的相關費用的情形下,系統中部件數量對系統的預防性維修更換周期的影響,分析了各種情況產生的原因。