一類k-體分劃下基于量子熵的量子關聯測度

李俊青,黃 麗,王銀珠,馬瑞芬

(太原科技大學 應用科學學院 太原 030024)

量子關聯作為量子力學的奇特資源已被廣泛應用在很多方面,通過對量子關聯的研究,能更清楚的刻畫蘊含在量子態之間的非經典關聯特性以及刻畫復合量子系統各子系統之間的關聯程度,糾纏作為最早被發現的一種關聯,已被廣泛的應用到量子信息與量子計算的各個方面,目前,關于量子糾纏測度的研究,已經有了很多重要的結果,例如Concurrence糾纏測度[1],形成糾纏測度[2],Schmidt數糾纏測度[3],相對熵糾纏測度[4]等。但量子關聯遠不止糾纏,研究表明可分態中也存在某種量子關聯性,目前已有許多有價值的量子關聯測度[5-11],比如累積關聯測度[12]、量子失協關聯測度[13]、測量導出的非局域性[14]等。

本文給出了一類k-體分劃下基于量子一致(q,s)熵的量子關聯測度,證明了其滿足量子關聯測度的一些性質。Tsallis熵作為量子一致(q,s)熵的一個特例,最后給出了k-體分劃下基于Tsallis熵的量子關聯測度。

1 基本定義及主要結果

設H=H1?H2?…?Hm,dimH<+∞,其中Hi是第i個子系統對應的Hilbert空間,S(H)表示H中所有量子態組成的集合。

ΠA(ρ)=

如果ΠA(ρ)=ρ,則稱ρ為k經典態,進而ρ可以被表示為:

其中{pi1,i2,…,ik}是概率分布。

在文獻[19]中,作者基于量子一致(q,s)熵,提出了局部秩一投影測量誘導的量子關聯測度,其中量子一致(q,s)熵定義如下:

S(q,s)(ρ)=

考慮兩體復合量子系統H=HA?HB,dimH<+∞,ΠK表示兩體復合量子系統H=HA?HB上的秩一正交投影組成的完備的投影測量,ρ基于一致(q,s)熵測量誘導的量子關聯測度定義為:

K={A,B,AB}.

基于兩體的情況,作者給出了多體情況下ρ基于一致(q,s)熵測量誘導的量子關聯測度定義,Ω為{1,2,3,…,m}所有非空子集。ΠΩ表示對應Ω系統上的秩一正交投影組成的完備的投影測量,多體情況下ρ基于一致(q,s)熵測量誘導的量子關聯測度定義為:

在了解了兩體和多體的基于一致(q,s)-熵測量誘導的量子關聯測度,接下來給出k-體分劃下基于量子一致(q,s)熵的量子關聯測度。

定義3設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,設ρ∈S(H),則ρ在k-體分劃下基于量子一致(q,s)熵的量子關聯測度定義為:

接下來證明上述定義的量子關聯測度滿足非負性,酉不變性,系統添加局部非相干輔助子系統時測度保持不變。

證明定理1之前首先引用以下引理。

當且僅當ρ=ρ′時取等號。

定理1證明:已知測度為:

所以ρ是k-經典態。

定理2(酉不變性) 設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,i=1,2,…,m,ρ∈S(H),U=U1?U2?…?Um,Ui為Hi上的酉算子,則:

證明：

定理3(系統添加局部非相干輔助子系統時測度保持不變) 設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,i=1,2,…,m,ρ∈S(H),設H′為局部非相干輔助子系統,S(H′)表示H′中所有量子態組成的集合,ρE∈S(H′),有:

在文獻[19]中作者提出,當量子一致(q,s)熵中的s=1時,即變為Tsallis熵,記為:

另外,文獻[20-21]中給出了Tsallis熵的性質:

(1)Tsallis熵是非負的,Sq(ρ)≥0;

(3)Tsallis熵對任意的酉算子U,有Sq(UρU?)=Sq(ρ).

多體量子態基于Tsallis熵的量子關聯測度的定義如下。

定義4對任意多體量子復合系統H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,i=1,2…m,ρ∈S(H),記

Ω為{1,2,3,…,m}所有非空子集,稱Qq(ρ)為量子態ρ的基于Tsallis熵的量子關聯測度。

多體量子復合系統中基于Tsallis熵的量子關聯測度滿足非負性,酉不變性,系統添加局部非相干輔助子系統時測度保持不變。接下來給出k-體分劃相對于Tsallis熵的的量子關聯度。

定義5設H=H1?H2?…?Hm,dimHi<+∞,ρ∈S(H),則ρ在k-體分劃下相對于Tsallis熵的量子關聯度定義為:

2 結論