基于橋梁響應的高速鐵路簡支梁離心力折減方法

李奇 揭崇清 石龍 李克冰

1.同濟大學 土木工程學院， 上海 200092； 2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 高速鐵路軌道系統全國重點實驗室， 北京 100081

為保證高速鐵路行車安全性和乘坐舒適性，我國高速鐵路大量采用以橋代路形式。簡支梁因其構造簡單、施工便利等優點，被廣泛應用于高速鐵路建設中。布置于鐵路曲線段的簡支梁受列車離心力作用，離心力是橋梁下部結構橫向剛度設計的控制荷載。隨著高速鐵路速度標準的提高，鐵路橋梁結構設計對梁體、墩臺變形參數提出更高的要求，以滿足線路平順性的需求［1］。因此，研究高速鐵路簡支梁離心力對下部結構的設計具有重要意義。

TB 10002—2017《鐵路橋涵設計規范》［2］規定在曲線上的橋梁，應考慮列車豎向靜活載產生的離心力，其值為離心力率乘以豎向靜活載?？紤]到列車荷載圖式遠大于高速運行列車的實際軸重，針對列車速度大于120 km/h 的情況，引入列車豎向活載折減系數對離心力進行折減。劉普等［3］探討了列車豎向活載折減系數取值來源，英國BS5400規范、德國DS804規范、歐洲國際鐵路聯盟UIC規范均給出了計算離心力的折減系數公式。其中，UIC71活載與中國規范的中-活載相近。因此，中國規范主要采用UIC 規范中的折減系數公式。然而，這一公式的理論來源鮮有嚴謹的論證報道，是否適配中國高速鐵路ZK 荷載也缺乏足夠的研究成果。

為了得到折減系數，需要獲得運營列車對橋梁產生的離心力或由離心力引發的響應。一些國內外學者建立了列車-曲線橋梁耦合系統，并進行了橋梁振動響應分析。Xia 等［4］建立了列車-梁-墩耦合系統的動力學模型，考慮曲線段離心力作用，計算了橋墩墩頂橫向振幅。Shi 等［5］建立了高速列車曲線通過簡支梁的三維動力學模型，考慮輪軌間非線性蠕滑，分析了梁體的橫向和扭轉響應。宋郁民等［6-8］對列車通過曲線橋梁的車橋耦合振動進行了一系列研究，探討了曲線橋梁響應振動規律。周海洋等［9］分析了鐵路曲線上單跨雙線簡支梁的車橋耦合振動特性，對比了曲線與直線簡支梁的響應差異。已有研究對曲線段車橋耦合振動仿真分析較多且相對成熟，但關于離心力和離心力折減系數的研究非常少見。

本文提出基于橋梁響應的高速鐵路簡支梁離心力折減系數的分析方法，采用車橋耦合振動仿真方法和反向傳播神經網絡，研究折減系數的影響因素，并評價TB 10002—2017中豎向荷載折減系數公式的適應性，為高速鐵路橋梁離心力折減系數設計提供參考。

1 離心力及離心力折減分析方法

TB 10002—2017 中曲線上橋梁所受列車離心力（F）計算式為

式中：V為設計車速；f為豎向活載折減系數；W為列車荷載圖式中的集中荷載或分布荷載；R為曲線半徑；L為橋上曲線部分荷載長度。

采用ZK 荷載計算時，當V≤120 km/h或L≤2.88 m時，f= 1；當V> 250 km/h時，按V= 250 km/h計算f值；當L> 150 m時，按L= 150 m計算f值。

雖然折減系數計算公式理論來源不詳，但含義較為明確。由式（1）可知，除了折減系數之外，離心力僅與速度、曲線半徑和列車荷載圖式相關。速度和曲線半徑無法被折減，因此折減的實質是對列車荷載圖式中豎向活載的折減。德國規范D804 中明確指出高速列車軸重比UIC 荷載圖式小得多，為了計算與UIC荷載圖式匹配的離心力，必須乘以一個折減系數。TB 10002—2017 吸納了外國規范的相關規定，用于高速鐵路的ZK 荷載為UIC 荷載的80%，但沿用了UIC 規范中的離心力折減系數公式。

列車的離心力是通過輪對和軌道作用于橋梁上，可視為橫向作用于橋梁的移動荷載列。離心力會對橋梁產生周期性的動力作用，當加載頻率與橋梁自振頻率接近時會引起橋梁共振。雖然高速列車的軸重比貨物列車小，但是其車速更高，因而產生的橋梁動力響應不容忽視。上述各國規范中均沒有提及高速列車對離心力效應的不利影響，在離心力計算公式中沒有明確體現這一動力特征。

借鑒動力放大系數計算理論，本文從橋梁響應的角度提出了豎向活載折減系數的計算方法，即

式中：SD為采用車橋耦合方法得到的橋梁動力響應；SW為按列車荷載圖式計算的不折減的離心力產生的橋梁靜力響應。

式（3）不僅直觀反映了運營列車離心力對橋梁的作用效應與列車荷載圖式離心力的作用效應之間的差異，還考慮了運營列車離心力的動力效應，延拓了離心力折減系數的內涵，對橋梁設計更具指導意義。此外，式（3）符合國際鐵路聯盟提出的列車荷載圖式對橋梁的動力效應不應小于運營列車荷載對橋梁動力效應的理念。即運營列車荷載 × 運營動力系數 ≤ 列車荷載圖式靜力響應 × 設計動力系數。SD對應于運營列車荷載 × 運營動力系數，它考慮了移動荷載列作用和軌道不平順對橋梁的影響；SW對應列車荷載圖式靜力響應；f對應于設計動力系數。

不同車型和橋型計算出的橋梁動力響應存在差異，根據相應的列車荷載圖式效應可求得不同參數下的折減系數。因此，式（3）不僅可以計算合理的折減系數，還可以進一步分析其影響因素，對規范公式的適應性進行評估，進而為規范修訂提供依據。

2 車橋耦合振動分析模型

2.1 車輛模型

為獲得式（3）的折減系數仿真計算結果，選擇8節編組高速列車為研究對象，主要參數見表1，計算速度為120 ～ 440 km/h。采用有限元軟件ANSYS 建立車輛模型，導出其前31階模態并基于模態疊加法進行車橋耦合振動計算［10］。為計算列車離心力對橋梁的橫向響應，車輛建模時考慮車體和構架的橫擺、側滾、搖頭、沉浮、點頭自由度，以及輪對的橫擺、側滾、搖頭、沉浮自由度。

表1 車輛模型參數

表 2 高速鐵路曲線設計參數

2.2 橋梁模型

采用以直代曲的方式建立多跨簡支梁橋的模型，并按平分中矢法布置墩位。橋梁參數參考高速鐵路預應力混凝土雙線簡支箱梁橋的設計參數取值。

采用空間梁單元Beam188 模擬梁體和橋墩。梁體和橋墩的材料分別為C50 和C35 混凝土，橋梁建模長度約400 m，橋梁跨度取24、32、40 m，對應跨數分別為16、12、10。橋梁墩高為10 ～ 40 m。

將橋面上二期荷載作為主梁質量的一部分進行簡化考慮，忽略橋上無砟軌道和橋梁之間的高頻相對位移，假定軌橋變形主要由扣件彈性變形引起，將扣件彈簧與輪軌接觸彈簧進行串聯建模。簡支梁的計算頻率為1～7 Hz。

2.3 列車曲線通過處理

在整體坐標系下建立橋梁模型，所得振型向量及所得物理坐標下的振動響應也在整體坐標系之下，但輪對軸線方向不斷變化，每個輪對都處于不同的移動坐標系下，需不斷通過坐標變換建立輪對與橋梁的耦合關系。輪對-軌道-橋梁空間耦合關系見圖1。

圖1 輪對-軌道-橋梁空間耦合關系

坐標轉換矩陣為

式中：α為曲線上任意點切線與水平軸的夾角，與曲線里程和半徑相關；γ為超高角。

坐標轉換后得到的振型向量是相對橋梁形心而言的，還需通過剛臂約束方程換算為相對軌道中心線處的振型向量。

為實現對列車通過完整曲線路段的模擬，采用由直線段、緩和曲線段、圓曲線段構成的曲線線路尺寸。曲線線路中超高、曲線半徑和高速鐵路設計速度等參數應相互匹配，根據TB 10621－2014《高速鐵路設計規范》［11］和工程經驗可得到曲線線路參數的常用匹配關系，見表2。

2.4 車橋耦合振動求解方法

假定車橋振動系統中不含Maxwell 阻尼，則車橋系統運動微分方程［10］可表達為

式中：qv、q?v、q?v分別為車輛模型的模態坐標向量速度、加速度；ξv為車輛模型的模態阻尼比矩陣；ωv為車輛模態圓頻率矩陣；fv為車輛承受的外力及虛擬內力向量；下標b代表橋梁。

車輛和橋梁子系統運動微分方程的左端由模態頻率、振型和阻尼比決定。由于非線性內力移項至方程右端，故方程右端力與車輛和橋梁響應有關。

橋梁結構的動力響應峰值主要取決于阻尼比。偏于安全設計，參考歐洲規范對預應力混凝土簡支箱梁采用阻尼比的最低限值（1%）進行動力仿真分析，即各階模態阻尼比均取0.01。軌道不平順采用德國高速低干擾譜，數值計算方法采用4階龍格庫塔法求解，積分間隔為0.001 s。

3 橋梁動力響應

為探究在折減系數中考慮動力效應的必要性，采用車橋耦合仿真方法分析列車車速、曲線半徑、橋梁墩高和跨度對橋梁動力響應的影響規律。

3.1 列車車速

由于列車軸重的規則性排列，列車對橋梁產生周期性的動力作用，當加載頻率與橋梁自振頻率接近時易引發車橋共振。列車通過簡支梁的臨界共振車速（Vres)［12-13］為

式中：fbn為橋梁第n階自振頻率；dv為整車長度；i為正整數，i= 1，2，3，…。

本文以32 m 跨度、20 m 墩高的12 跨簡支梁為例進行分析，其第一階豎向自振頻率為4.69 Hz，由此得到豎向臨界共振車速為417 km/h。

不同車速下梁體跨中豎向振幅見圖2?？芍?，在車速420 km/h 時出現了明顯的波峰，即在共振車速附近，跨中豎向振幅明顯增大。另外，直線和曲線段橋梁跨中豎向振幅基本一致，表明橋梁豎向響應受離心力影響甚微。

圖2 不同車速下跨中豎向振幅

由于梁墩耦合作用，橋梁橫向的振動特性較為復雜。列車運行在曲線外側時，不同車速下墩頂橫向振幅見圖3?？芍?，曲線段橋墩墩頂橫向振幅隨著車速的增加而波動增長，在車速為300 ～ 350 km/h 時橫向振幅顯著增大，說明在離心力作用下，墩頂橫向振幅具有明顯的動力特征。另外，對比直線段和曲線段墩頂橫向振幅可知，橫向響應受離心力影響顯著。

圖3 不同車速下墩頂橫向振幅

3.2 曲線半徑

軌道超高分別考慮一致超高和平衡超高兩種情況。一致超高是根據表2 中的取值來確定的，平衡超高是指滿足車輛通過曲線所需的向心力平衡的超高。車速為250 km/h 時不同半徑下墩頂橫向振幅見圖4?？芍孩倭熊囆旭傆谇€外側軌道時，離心力與列車偏載產生的橋墩橫向位移同向，墩頂橫向振幅隨著半徑的增大而減??；行駛于曲線內側時墩頂橫向振幅隨著半徑的增大而增大。②一致超高和平衡超高的計算結果基本一致。主要原因是超高的變化不會引起車輛作用于橋梁上的橫向合力改變。

圖4 不同半徑下墩頂橫向振幅

3.3 橋梁墩高和跨度

車速為250 km/h 時不同墩高和跨度下墩頂橫向振幅見圖5?？芍?，墩頂橫向振幅隨著橋梁跨度和墩高的增加而增大，且墩頂橫向振幅對墩高的敏感性比橋跨更顯著。

圖5 不同墩高和跨度下墩頂橫向振幅

綜上，采用車橋耦合振動仿真方法可以得到不同跨度、墩高、曲線半徑和車速下墩頂橫向振幅，再現運營列車作用下橋梁結構在列車曲線通過離心力作用下的動力響應。計算結果表明，墩頂橫向振幅受列車離心力影響顯著，在特定車速下具有較明顯的共振效應，體現了采用式（3）考慮橋梁動力效應計算豎向活載折減系數的必要性。

4 豎向活載折減系數

4.1 神經網絡模型

為進一步分析列車豎向活載折減系數變化規律和影響因素，建立不同列車車速、橋梁墩高、跨度和曲線半徑參數下折減系數的數據庫，采用反向傳播神經網絡［14］建立多輸入的相關模型。反向傳播神經網絡模型（圖6）包括輸入層、隱含層與輸出層，這些層基本模塊為神經元。神經元作為神經網絡的基本單元，其作用是接收輸入信號或前一層神經元的信號，經過處理后將信號中繼到下一層神經元或輸出結果。

圖6 反向傳播神經網絡模型

反向傳播神經網絡的訓練過程分為正向傳播和反向傳播兩個階段。在正向傳播階段，輸入數據通過神經網絡各層的傳遞得到模型預測值。在反向傳播階段，采用損失函數計算預測值與真實值的誤差，通過梯度下降等優化算法最小化損失函數，不斷迭代調整神經網絡的參數直至收斂。

反向傳播神經網絡具有良好的非線性映射能力，能夠建立多變量映射關系，進而對豎向活載折減系數預測。在對神經網絡訓練前需要進行數據的歸一化處理，目的是消除輸入向量、輸出向量之間的量綱影響。將建立的數據庫按照3∶1的比例隨機分為訓練集和測試集，訓練集用于訓練神經網絡，測試集用于測試神經網絡訓練的可靠性。為了避免過擬合問題的發生，在不斷迭代和大量測試基礎上，確定神經網絡隱含層的神經元個數為6個，傳輸函數采用Sigmoid 邏輯函數。為了對該預測模型進行評估，需計算決定系數（R2）和均方根誤差（XRMSE），其計算式分別為

式中：yi為原始數據；y?i為預測數據；yˉi為原始數據的均值；m為數據庫所有數據樣本數。

R2越接近于1，說明該神經網絡模型的擬合效果越好，但不能絕對確保預測值的準確性，所以還需結合XRMSE評估神經網絡模型的預測精度。XRMSE表示預測值與真實值之間的平均偏差程度，其值越接近0，表示模型預測越準確。

對折減系數真實值與神經網絡模型預測值的統計結果見圖7?？芍?，R2和XRMSE分別為0.872和0.0429，說明該模型對折減系數具有一定的預測能力。

圖7 真實值與預測值統計結果

4.2 影響因素的權重分析

網絡的權重可以反映神經元輸入信號對輸出信號貢獻的大小。為了探究4個輸入變量對豎向活載折減系數的影響程度，計算輸入層中各神經元對輸出層中神經元的權重貢獻度（Wik），表達式［14］為

式中：wij為輸入層與隱含層之間的網絡權重；wjk為輸出層與隱含層之間的網絡權重；r、s和p分別為輸入層、隱含層和輸出層的神經元個數。

根據式（9）計算的各變量對折減系數的權重貢獻度見圖8?？芍?，權重貢獻度從大到小依次為車速、跨度、半徑和墩高，車速權重達60%。其中，車速和跨度為影響較大的兩個因素，這與TB 10002—2017 中豎向活載折減系數公式采用的兩個自變量一致，驗證了該計算公式在變量選取上的合理性。

圖8 各變量對折減系數的權重貢獻度

4.3 折減系數公式對比分析

規范豎向活載折減系數式（2）兼顧了客貨共線鐵路和高速鐵路不同列車車型和車速狀況，但是沒有體現250 km/h 以上車速條件的影響。本文雖然只考慮了特定高速動車組的影響，但是如果認為車橋耦合振動仿真分析能在較大程度上反映實際運營情況，則根據式（3）計算速度350 km/h 以下高速鐵路相應折減系數應小于式（2）計算結果才能保證依據現行規范設計橋梁的安全性。同時，式（2）能否適用更高速條件還有待商榷。為此，對式（2）折減系數計算結果與TB 10002—2017規范取值進行對比，見圖9。

圖9 折減系數計算結果與規范取值比較

由圖9 可知：①規范取值能完全包絡24、32、40 m跨度簡支梁的折減系數計算結果，當車速小于250 km/h時，規范折減系數遠大于本文計算結果，這是規范考慮的貨物列車比高速列車軸重及相應離心力更大的緣故。②當車速為250 ～ 400 km/h 時，按本文方法得到24、32、40 m 跨度簡支梁的折減系數最大值分別為0.530、0.533、0.426，而按規范計算的折減系數規范值分別為0.574、0.544、0.523，后者比前者分別大8%、2%、20%。這說明式（2）能夠匹配高速鐵路ZK 荷載及中國標準動車組，對速度400 km/h 內高速鐵路常用跨度雙線簡支箱梁具有良好的適用性，具有合理的安全儲備。此外，雖然UIC規范和TB 10002—2017規范中豎向活載折減系數來源不明，但能包絡常用跨度和墩高簡支梁及高速行車條件下的橋梁運營動力效應。

5 結論

1）列車車速對離心力計算時豎向活載折減系數的影響最大，其次為橋梁跨度，曲線半徑和橋梁墩高的影響較小。

2）TB 10002—2017《鐵路橋涵設計規范》中豎向活載折減系數公式反映了列車荷載圖式與運營列車軸重的差異，折減系數應與列車荷載圖式及實際運營列車荷載和車速相匹配。

3）TB 10002—2017 中豎向活載折減系數公式對中國高速鐵路ZK 荷載及常用的高速動車組列車具有良好的適配性，能滿足速度400 km/h 內高速鐵路簡支梁離心力設計要求。