均值方差保費原理下帶有時滯的魯棒最優再保險和投資策略

胡景銘, 劉 偉, 閻 方, 胡亦鈞

(1.新疆大學數學與系統科學學院，烏魯木齊 830046; 2.武漢大學數學與統計學院，武漢 430072)

0 引言

保險公司的最優再保險和投資策略一直是保險精算學術界及業界十分關注的問題。作為保險中的保險，再保險可以使保險公司突破資金和規模的限制，盡可能的拓展業務。保險人通過購買再保險將部分索賠風險轉移給再保險公司，控制損失，實現公司的穩定經營。此外，保險人通過將公司的資產投資于金融市場，以提高收益，實現資金的增值保值，降低通貨膨脹所帶來的風險。近幾十年來，很多學者運用隨機控制理論對保險公司的最優再保險和投資問題進行了廣泛研究。例如，Browne[1]、David Promislow 和Young[2]、Hipp 和Taksar[3]、Liang 等[4]、Zhao 等[5]、Zhang 等[6]，其中Liang 等[4]研究了風險資產價格模型中收益率服從均值回復O-U 過程下的最優再保險和投資問題，以終端時刻期望效用最大化為優化準則，得到了最優策略和相應值函數的顯式表達式。Zhang 等[6]采用廣義均值方差保費原理，以終端時刻期望效用最大化和最小破產概率為優化準則對最優再保險和投資策略進行了研究。

保險公司的歷史業績往往會對當前的財富產生影響。如果一個保險公司的歷史業績優秀，獲得了更多的收益，該保險公司可能將部分收益通過股息等形式派發給股東。反之，如果一個保險公司的歷史業績不佳，為了實現最終的業績目標，往往需要進一步的內外部融資。鑒于這種時滯現象的客觀存在，在研究保險公司最優再保險和投資問題時，有必要將時滯效應融入進最優再保險和投資策略中。Shen 和Zeng[7]首次將時滯效應引入保險公司的最優再保險和投資問題，通過與過去財富相關的瞬時資金流入或流出函數對時滯效應的影響建模，給出了最優再保險和投資策略的顯式表達式。A 和Li[8]在時滯效應下最優再保險和投資問題的研究中進一步考慮了風險資產模型為Heston 模型，再保險形式為超額損失再保險。Deng 等[9]在可違約的市場下，研究了帶有時滯效應的保險公司最優再保險和投資問題。Zhang 和Chen[10]、Li 和He[11]和Bai 等[12]分別對服從跳躍擴散模型的風險資產，保險公司博弈和CEV 模型的最優再保險和投資問題，在時滯效應下進行了研究。

另一方面，上述的大多數研究均基于一個假設：即假設概率空間上的概率測度是已知的。然而，概率空間上單一的概率測度往往不能精確地反應市場的真實情形，概率測度的偏差會對最優策略產生影響。這種概率測度不精確所導致的不確定性就是所謂的模型不確定性。關于模型不確定性下最優控制問題的研究，Maenhout[13]研究了最優投資和消費問題，給出了在模型不確定性下隨機控制問題的求解方法。Yi 等[14]研究了模型不確定下的最優再保險和投資問題。Guan 和Liang[15]假設風險資產由無風險資產、債券、通脹保值債券和股票組成，研究了保險公司最優再保險和投資策略。Deng 等[16]研究了廣義均值方差保費原則下保險公司的魯棒最優再保險和投資問題。

本文提出一種新的最優再保險和投資模型，在該優化模型中同時考慮了模型的不確定性和保險公司的時滯效應。此外，風險資產的收益率是隨機收益率模型。在終端時刻期望效用最大為優化準則下，本文利用隨機控制理論，通過求解相應的HJB 方程，得到了最優再保險和投資策略和相應值函數的顯式表達式。同時，本文給出了驗證定理。最后，通過數值分析，討論了模型主要參數對最優策略的影響，數值分析也驗證了本文所提模型和所獲結果是有效的。

本文其余安排如下：第1 部分敘述模型和假設條件；第2 部分為本文的主要結論；第3 部分討論模型中主要參數對最優策略的影響；第4 部分是本文的總結。

1 模型和假定

假設(?,F,P)是一個完備的概率空間，{W(1)(t),W(2)(t),W(3)(t)}是定義在其上的三個標準布朗運動，F={Ft}t∈[0,T]是由{W(1)(t),W(2)(t),W(3)(t)}產生的σ-代數流，T ＞0 為終端時刻。假定金融市場中的交易可持續進行，所有資產可以無限分割，且保險人在t時刻做出的任何決策都基于Ft。

假設保險公司盈余過程為M(t)，滿足

其中m ＞0 為保費率，h0＞0 為索賠率，σ0＞0 為索賠過程的波動率。假設保險公司通過購買比例再保險來轉移部分索賠風險，記q(t)∈[0,1]為自留比例。根據廣義均值–方差保費原理[6]，支付給再保險公司的保費為

其中Λ ＞0,Λ0＞0 為再保險公司的安全載荷系數。令η= (m ?h0)/σ20為保險公司的安全載荷系數，滿足基本條件0≤η ≤Λ。由q(t)∈[0,1]及q(t)滿足的凈利潤條件

得到

記

此時，保險公司盈余過程可表示為

保險公司可以將盈余投資于由一個無風險資產和一個風險資產組成的金融市場。設無風險資產的價格S0(t)表示為

其中r ＞0 為無風險利率。風險資產的價格S(t)服從

其中k1＞0 為風險資產的波動率。風險資產預期收益率a(t)為均值回復O-U 過程，

其中k ＞0,βa ＞0, ˉa ＞0 為常數。設W(1)(t)和W(2)(t)之間相互獨立，W(2)(t)和W(3)(t)之間的相關系數為ρ。

記X(t)為保險公司在t時刻的財富，Y(t)和Z(t)分別代表過去時間[t ?h,t]的歷史綜合業績和歷史逐點業績，即

其中δ ≥0,h ＞0 為常數。假設g(t,X(t)?Y(t),X(t)?Z(t))為資金流入或流出，其中X(t)?Z(t)表示過去時間[t ?h,t]上的絕對收益或損失，X(t)?Y(t)表示過去時間[t ?h,t]上的平均收益或損失的均值。這種與歷史財富相關的瞬時資金流入或流出可能出現在以下情況。當X(t)＞Z(t),X(t)＞Y(t)時，保險公司歷史業績良好，可能將部分收益作為股息發給股東。這是資金流出的情況，即g ＞0。相反，當X(t)＜Z(t),X(t)＜Y(t)時，保險公司歷史業績不佳，可能需要通過注資，來彌補過去的損失，以實現最終的業績目標。這相當于資金的流入，即g ＜0。設保險公司初始財富為x0，A(t)為投資于風險資產的金額，令Xπ(t)為再保險–投資策略π(t) :={(A(t),q(t)) :t ∈[0,T]}下的財富過程，則帶有時滯的保險公司財富過程Xπ(t)可以描述為

對于任意的t ∈[?h,0],Xπ(t) =x0＞0，即保險公司在[?h,0]期間未進行投資和保險業務。歷史綜合業績的初始值為Y π(0)=x0(1?eδh)/δ。

假設瞬時財富流入或流出函數為線性的，即

其中B ＞0,C ＞0 為常數。

有關最優再保險和投資問題的研究，大多數基于一個假設：即假設概率空間上的概率測度是已知的。然而，該概率空間上單一的概率測度往往不能精確地反應市場中的真實情形。本文考慮模型的不確定性，將傳統問題中的概率測度稱為參考測度，并通過測度變換的方法引入一系列與參考測度等價的測度，進而求解穩健的最優策略。定義等價測度Q的集合

定義1 對于任意的t ∈[0,T]，策略π(t) :={(A(t),q(t)) :t ∈[0,T]}稱為可接受的，如果它是Ft-循序可測的，且滿足：

(i)q(t)∈[ˉq,1]；

其中U(·)表示效用函數，Et,x,y,a[·]是給定Xπ(t) =x,Y π(t) =y,a(t) =a的條件期望，Q?是最穩健的等價測度。

記Π為所有可接受策略的集合。

則V(t)是概率測度P下的鞅。由Girsanov 定理，概率測度Q下的布朗運動為

此時，模糊厭惡型保險公司的盈余過程為

其中?i為模型厭惡系數，描述決策者對模型準確性的不確定程度。關于相對熵和魯棒控制問題可參考文獻[13–15]。

2 最優控制問題求解

一般帶有時滯的最優控制問題是無限維的，為了使問題是有限維且可解的，假設

本文以終端時刻的期望效用最大化為優化準則，同時，采用的效用函數為指數效用。由于定義的值函數與效用函數有關，因此值函數的具體形式應與效用函數有關，即值函數的具體形式應為指數函數。此外，本文參考文獻[4]的研究及方程中a(t)與x、y的關系，風險資產預期收益率a(t)在值函數中為如下形式。為證明所求解的方程就是值函數，本文將通過驗證定理(即定理2)提供理論支持。求解值函數的形式為

根據一階條件，可得

根據(13)式和(14)式，解得

根據(12)式，有β=Ceδh,B ?βδ= (r ?B ?C+β)β。將A?(t)、q?1(t)和(13)式代入HJB 方程(14)，整理可得

由x+βy/= 0，有x+βy前系數為0，即lt+l(r ?B ?C+β) = 0。根據終端條件l(T)=1，解得

進一步，考慮方程如下形式的解

其中邊界條件為G(a,T)=0。對G(a,t)求各階偏導數，有

令

有

將Gt、Ga和Gaa代入(18)式，整理得

由a2/=0，且K(T)=0，解得

其中

由a/=0，且J(T)=0，解得

其中

由L(T)=0，解得

令

由于λ、n、?1均非負，q?1(t)隨時間t單調遞增。根據凈利潤條件，保險公司自留水平q?(t)∈[ˉq,1]，其中

因此，再保險策略q?(t)可以分為三種情況：

其中l(t)、f、K(t)、J(t)和L1(t)分別由(16)式、(17)式、(19)～(21)式給出。

由L(ˉt)邊界條件確定。

定理1 對于魯棒控制問題(10)，滿足財富過程(8)式和(9)式的最優投資策略為

其中t ∈[0,T]。

相應的值函數為(23)式。

則定理1 中給定的H(t,x,y,a)是值函數，π?(t) ={A?(t),q?(t)}是魯棒最優策略，最穩健的等價測度如下

定理2 的證明，可參考文獻[17–19]。

3 敏感性分析

3.1 再保險策略分析

圖1 分析了時滯參數δ對再保險策略q?(t)的影響。隨時滯參數δ增加，再保險策略q?(t)減少。當δ增加，保險公司會購買更多的再保險，減小自留的保險業務。由于歷史綜合業績Y(t)和資本流入或流出函數g(t,Xπ(t)?Y π(t),Xπ(t)?Zπ(t))的定義，當參數δ增加，資本流出增加。因此，保險公司減少自留比例。圖2 分析了時滯參數h對再保險策略q?(t)的影響，再保險策略q?(t)隨時滯參數h增加而減少。當h增加，保險公司將減少自留份額。保險公司考慮更長時間的歷史業績，會增加歷史業績對終端財富的影響程度。因此，保險公司將更加謹慎，購買更多的再保險以減少自留風險。圖3 分析了時滯參數β對再保險策略q?(t)的影響。時滯參數β越大，再保險策略q?(t)越小。當β增加，保險公司將采用更為保守的再保險策略，購買更多的再保險。當β增加，歷史綜合業績Y(t)會對終端財富效用產生更大影響。所以保險公司為降低風險，減少自留比例。

圖1 時滯參數δ 對再保險策略q?(t)的影響

圖2 時滯參數h 對再保險策略q?(t)的影響

圖3 時滯參數β 對再保險策略q?(t)的影響

圖4 分析了參數?1對再保險策略q?(t)的影響。隨參數?1增加，再保險策略q?(t)減少。當?1增加，保險公司將減少自留風險。由于模糊厭惡程度增加，保險公司將不愿意承擔較大的索賠風險。圖5 分析了市場參數r對再保險策略q?(t)的影響，再保險策略q?(t)隨市場參數r的增加而減小。利率越大保險公司自留比例越小，利率增加保險公司將更愿意把風險轉移給再保險公司，從而獲得更多收益。圖6 分析了時滯效應和魯棒因素對再保險策略q?(t)的影響?？紤]時滯效應和魯棒因素后再保險策略q?(t)減少，保險人會采取更為穩健的再保險策略，只愿意保留較小風險。這也充分說明時滯效應可以增加保險公司財富的穩定性，魯棒可以降低模型不確定性帶來的風險。

圖4 參數?1 對再保險策略q?(t)的影響

圖5 市場參數r 對再保險策略q?(t)的影響

圖6 時滯和魯棒對再保險策略q?(t)的影響

3.2 投資策略分析

圖7 分析了時滯參數δ對投資策略A?(t)的影響，投資策略A?(t)隨δ增加而減少。當δ增加，保險公司將減少風險資產的投資。由于δ增加，保險公司資本的流入或流出增加。保險公司為使財富更為穩定，從而減少風險資產的投資。圖8 分析了時滯參數h對投資策略A?(t)的影響。時滯參數h越大，投資策略A?(t)越小?？紤]歷史財富時間的增加，風險資產投資將減少?？紤]更長時間的歷史業績，會增加資本流入或流出對終端財富的影響。因此，保險公司將持有更少的風險資產。圖9 分析了時滯參數β對投資策略A?(t)的影響。隨β增加，投資策略A?(t)減少。時滯參數β越大，風險資產投資越少。β增加會增加歷史業績對終端財富的影響，然而保險公司希望減少風險資產波動帶來的風險。因此，減少風險資產投資。

圖7 時滯參數δ 對投資策略A?(t)的影響

圖8 時滯參數h 對投資策略A?(t)的影響

圖9 時滯參數β 對投資策略A?(t)的影響

圖10 和圖11 分析了參數?2和?3對投資策略A?(t)的影響。參數?2和?3越大，投資策略A?(t)越少。當?2和?3增加，保險公司將減少風險資產的投資。保險人對風險資產模型的不確定程度更大，從而不愿意承擔較大的金融市場風險，并且參數?2對投資策略有較大的影響，而參數?3對投資策略的影響較小。圖12 分析了時滯效應和魯棒因素對投資策略A?(t)的影響，時滯效應和魯棒因素導致投資策略A?(t)減少?？紤]時滯效應和魯棒因素后，保險公司將減少金融市場帶來的風險，使模糊厭惡性保險公司的財富更具穩健性、確定性。

圖10 參數?2 對投資策略A?(t)的影響

圖11 魯棒參數?3 對投資策略A?(t)的影響

圖12 時滯和魯棒對投資策略A?(t)的影響

圖13 分析了利率r對投資策略A?(t)的影響，投資策略A?(t)隨利率r增加而減少。當利率r增加，保險公司將減少風險資產的投資。很直觀，利率增加無風險資產可以獲得更多的收益，從而減少風險資產的投資。圖14 分析了風險資產模型中的波動率k1對投資策略A?(t)的影響。波動率k1越大，投資策略A?(t)越少。當k1增加，保險公司將采用更保守的投資策略。波動率越大表示金融市場風險越大，從而減少的風險資產投資。

圖13 市場參數r 對投資策略A?(t)的影響

圖14 市場參數k1 對投資策略A?(t)的影響

4 結論

本文考慮了帶有時滯效應的保險公司魯棒最優再保險和投資問題。保險公司購買比例再保險來轉移部分索賠風險，并且投資于由一種無風險資產和一種風險資產組成的金融市場。其中，風險資產預期收益率服從均值回復O-U 過程，描述金融市場的預期收益發生偏差帶來的風險。運用動態規劃原理，以終端財富的指數效用期望最大為優化準則，得到了最優再保險–投資策略和相對應值函數的顯式表達式，并且給出驗證定理。最后，通過數值分析說明模型中主要參數對最優策略的影響。

本文發現再保險策略不僅依賴于保險市場的參數，還依賴于無風險資產的參數，然而風險資產的參數和風險資產預期收益率的參數對再保險策略沒有影響；投資策略依賴于無風險資產的參數，風險資產的參數和風險資產預期收益率的參數，然而保險市場的參數對投資策略沒有影響?？紤]時滯效應和魯棒因素會對最優再保險–投資策略產生較大的影響，考慮時滯效應可以增加保險公司財富的穩定，考慮模型不確定性能有效降低概率測度不精確帶來的風險。這些結論為保險公司風險控制和資產分配提供理論依據。