模糊環境下基于遺傳差分協同進化的多階段投資組合模型

胡晨陽, 高岳林, 孫 瀅

(1.北方民族大學數學與信息科學學院，銀川 750021;2.寧夏科學計算與智能信息處理協同創新中心，銀川 750021;3.寧夏智能信息與大數據處理重點實驗室，銀川 750021)

0 引言

自經濟快速發展以來，投資組合選擇問題就成為金融學領域研究的一個熱點。對于該問題的探索，最早可以追溯到經典的Markowitz[1–2]在證券投資組合選擇中對于單一周期均值–方差(Mean and Variance, MV)投資組合模型的研究，這一創新性的研究為現代投資研究者在組合選擇問題的研究發展上奠定了堅實的基礎，該模型假設所有的證券收益都是變量并且擁有足夠多的歷史數據，但這兩個假設一般情況下是很難準確地實現的，大多數情況下還需要專家的判斷和投資者根據主觀意愿進行選擇，這樣就會導致最終結果的不準確。一直到Zedeh[3]對于模糊集合論和可能性理論的引入，這才使得投資組合選擇問題在處理模糊不確定性問題方面有了進一步的提升。自此，研究者們在研究投資組合選擇問題時大多都傾向于使用模糊變量的方法。

可能性投資組合選擇模型最初由Tanaka 等[4]提出，他指出模糊變量與指數的可能性分布存在一定相關關系，表明研究者可以從該方面進行系列研究。因此，吳琦和高岳林[5]利用模糊集與可能性相關理論構建了基于不同風險態度不確定性的投資組合模型，并設計了一種求解所建立模型的帶有選擇規則的PSO(Particle Swarm optimization)算法。Deng 和Li[6]提出一種將證券收益假設為梯形模糊變量的具有不等式借用約束的二次規劃問題。

雖然方差是一種用于度量風險比較流行的指標，但是它有一個非常顯著的局限性[1–2]，即基于方差的分析結果通常被認為高回報和低回報一樣不受歡迎，因為高回報同樣也會導致方差趨向于極端。為了克服這種局限性，直接使用下半方差代替方差對風險進行度量，也就是只測量與參考收益率水平的負偏差的度量。文獻[2]首次引入的半方差是最著名的下行風險度量之一，它只考慮比期望收益高的上半方差和比期望收益低的下半方差。張鵬等[7]結合下半方差和基本指數對投資組合模型進行研究。于孝建等[8]針對最大回撤和下半方差構建模型，研究了風險資產的動態配置過程。江璐瑤和鄧雪[9]基于方差度量風險的局限性，引入熵約束，構建基于收益權重的均值–熵模型，針對傳統的遺傳算法所存在的全局搜索能力弱、收斂精度低等問題進行了研究。曾勇泉和張鵬[10]利用熵度量投資組合分散化程度，通過實證得出熵值越大，投資組合最終財富越小的結論。

需要注意的是，前面對于投資組合模型的研究都是單周期的，但是現實生活中投資者對資產的投資選擇過程一般情況下都是多階段的，即他們會在一個投資周期結束之后重新分配財富以求終端財富最大化?？紤]該現實因素，對投資組合選擇問題的研究就非常有必要從單周期過渡到多周期以更加貼合實際投資行為。因此，Mossin[11]用動態規劃法提出一種多期組合優化選擇的策略，經驗證該方法效果最好。Calafiore[12]提出線性控制策略的多期優化.Yu 等人[13]提出一種新的有最大絕對偏差的多期投資組合模型，通過動態規劃法得到封閉的解析最優策略。Yan 和Li[14]提出一類多期半方差模型，針對該模型，設計了一種混合遺傳和粒子群優化的算法。王曉琴和高岳林[15]引入交易費用和投資比例限制兩個摩擦因素，基于不可賣空原則建立了一個MV 多期組合模型。

在證券市場中，沒有投資者會冒著巨大風險僅購買一只股票，倘若該股票經營不善，投資者就會面臨血本無歸的可能。所以，資產數量限制問題是投資者在投資過程中需要考慮的一個重要因素?；诖?，本文利用交易限制引入基數約束，同時考慮多種摩擦因素在模糊環境下建立了一個可能性均值–下半方差–熵多階段投資組合優化模型，該模型精確考慮了最優投資組合中所含資產的數量，是一個極度復雜的多階段混合整數二次規劃模型。利用外罰函數法對不等式約束進行適當處理，并設計了一個遺傳差分協同進化算法對所建模型求解并進行了相應的數值實驗。

本文內容安排如下：第1 節給出相關概念；第2 節是對可能性均值–下半方差–熵多階段投資組合優化模型的建立過程；第3 節介紹了所設計的遺傳差分協同進化算法的相關概念以及算法具體步驟；第4 節是實證分析；第5 節是對本文的一個總結。

1 基礎知識

上式中k為大于0 的一個實數。求解上述隸屬度函數的導數可知，k越小，投資者越厭惡風險，越想逃避該風險；k越大，表明投資者越追求風險。

由定義2 和γ-水平截集的定義可知，～A的γ-水平截集[16]為

2 模型建立

考慮投資市場中有n個風險資產和1 個無風險資產，在模糊環境下構建多階段投資組合優化模型。以便敘述，將本文所用到的符號含義表述如下：

考慮交易費用，第t期資產組合總的交易費用為

因此，第t期扣除掉交易費用之后投資組合的凈收益為

那么，第t+1 期投資者所獲得的財富可表示為

從而，整個投資期間投資者所獲得的財富可表示為

第t期投資組合的收益～rpt的可能性下半方差可表示為

分散性的投資可以有效的降低風險，本文引用了Kapur[17]對多元化程度進行測度的方法，知道第t時期的多元化程度可以表示為

引入收益權重θt，式(15)可轉化為

考慮基數約束，多階段可能性均值–下半方差–熵投資組合選擇的基數約束如下

基于以上討論，利用式(6)～(17)建立可能性均值–下半方差–熵多階段投資組合優化模型(V-S-M)如下

該模型以最大化終端財富為目標，其中第一個約束表示第t期投資組合的可能性下半方差不能超過給定的最小風險值νt；第二個約束表示第t期投資組合的多元化程度不得超過預先設定的值et；第三個約束表示第t期投資組合所需的資產數目不得超過預先設定的資產數目限制K；第四個約束表示zit是0-1 決策變量，是一個整數約束；第五個約束表示投資過程中資產i的投資比例不能超過預先給定的上下限；第六個約束要求第t期無風險資產的投資比例高于預先給定的下限xlft；第七個表示第t期所有資產的投資比例和為1。該模型在對風險進行全面度量的同時還充分考慮了精確的股票數量，是一個多階段混合二次規劃問題，可以幫助投資者在投資過程中及時規避風險。

由于上述模型(18)中含有不等式約束，該類問題往往較難求解。本文采用外罰函數法將不等式約束和等式約束放入目標函數中，則上述模型(18)可轉化為如下優化問題

3 求解模型的算法設計

3.1 所需求解的問題

本文所建立的是一個在給定風險水平下以最大化終端財富為目標的多階段投資組合優化模型，用外罰函數法對不等式約束進行處理，并利用智能算法對該模型進行求解。在算法求解的每一期都要對等式約束進行求解，最初投資者將初始財富選擇性分配到幾個風險資產中開始進行投資，將第一期期末所獲的全部財富作為第二期投資的初始財富，在第二期投資者對所有資產的投資比例進行重新分配調整，一直重復進行該投資過程直到第T期獲得最終財富。

3.2 遺傳差分協同進化算法(GAHDE)

3.2.1 算法描述

1) 染色體編碼與初始種群

隨機初始化中間種群，一部分采用差分進化算法生成初始化中間種群X，另一部分采用遺傳算法十進制實數編碼方式。每一個染色體都是作為一個實數變量，來表示投資者對風險資產的投資策略。初始種群是由采用隨機函數生成的一定數量的十進制實數組成的，對每個中間粒子分別進行如下歸一化處理生成初始種群

2) 適應度函數

一般情況下，種群是利用個體的適應度進行隨機搜索得到的，根據適應度值大小選擇較好的個體。適應度函數被看作是區分個體優劣的一個指標，一般自然選擇的唯一依據也是它，它是由目標函數轉換形成的。本文該函數為

3) 變異操作

5) 選擇操作

交叉后產生的個體和上一代種群產生的個體合并在一起之后，再進行選擇操作，一半種群按GA(Genetic Algorithms)算法根據一定概率選擇較優個體組成新種群，對新個體生成有影響的是適應度值的大小，其值越大，選中該個體的概率越大。用輪盤賭方法選擇個體，可最大可能確保產生下一代的是優良個體，個體i被選中的概率為pi(x) = (Fi(x))/(∑Fi(x))，其中Fi是個體i的適應度值，∑Fi(x)是種群中所有個體適應值的和；另一半用DE(Differential Evolution)算法進行擇優選取，即選擇所有結果里面最優的值作為個體，確保產生更加合適的下一代個體。Differential Evolution

3.2.2 算法的具體步驟

步驟1 初始化，設置參數：種群規模sizepop，變異概率Pm，以及最大迭代次數Gmax，收縮因子F等。

步驟2 隨機產生兩部分初始中間種群，進行歸一化操作，進化代數t=1。

步驟3 計算個體適應度，剖斷其符合優化準則與否，如果符合，得到最優個體和最優解，結束；反之，轉步驟4。

步驟4 根據公式(24)對兩部分初始種群分別進行變異操作。

步驟5 根據公式(25)進行交叉操作，得到新個體。

步驟6 一半種群按照遺傳算法用輪盤賭方式進行個體選擇；另一半種群則用差分進化算法進行擇優選取，其規則即選中適應度好的個體，淘汰適應度差的。

步驟7 進化代數t=t+1，返回步驟3，直到最終得到符合條件的最優個體為止。

4 實證分析

本節我們將通過模擬實驗來驗證本文所建模型V-S-M 和設計算法GAHDE 的有效性。假定投資者的資產收益率為梯形模糊數，將四只股票和一種無風險資產作為投資對象，整個投資過程分為三個階段，其收益率可能性分布見文獻[19]。

用上述所提的遺傳差分協同進化算法對模型進行求解，參數設置如下：種群規模sizepop = 100，交叉概率Pc= 0.7，變異概率Pm= 0.01，最大進化次數Gmax=300，假設每個階段的資產交易費用是相同的，都為cit= 0.003(i= 1,2,3,t= 1,2,3)。假設投資者初期所持有的財富W1= 1，投資比下限lit= 0.05，投資比上限μit= 0.2，無風險資產投資比下限xlft=?0.5，投資者所能承受的最小風險值為νt= 0.004，無風險資產借款利率rbt= 0.017，無風險資產貸款利率rlt= 0.009，資產數目K= 4，罰因子L=108，交叉概率CR=0.5。所有的實驗都是在Matlab 2016a 中運行的。

按照以上參數計算得到的投資者在不同風險態度下的投資組合策略如表1 所示。

表1 不同風險態度下的投資組合策略

從表1 中可以看出，當風險態度k= 0 時，投資者在第二期對股票1、股票2、股票3、股票4 均降低投資比例，而在第三期對四只股票的投資比例均有所增加，表明投資者前期對四只股票均不太看好，尤其是股票2、股票4，后期對股票4 的投資比例相較于股票1、股票2、股票3 的投資比例也是更大的；當風險態度k= 0.5 時，投資者在第二期對股票1 增加投資，對股票2、股票3、股票4 減少投資，第三期對股票1、股票2、股票3、股票4 均減少投資，表明投資者前期看好股票1，后期對四只股票都不太看好，且后期對股票2 尤其不看好；當風險態度k= 1.0 時，投資者在第二期對四只股票的投資比例均減少，第三期對四只股票均增加投資比例，表明投資者前期對當前行情均不看好，所以減少了對所持股票的投資，后期又對四只股票都看好，增加投資比例，尤其是對股票3 增大了投資力度。同時，下半方差和收益值也是隨著風險態度的變化在這三個時期不斷變化的，且其變化規律符合實際市場實情，表明收益與風險是共存的。

圖1 至圖3 表示的是不同風險態度下最佳函數值和方差隨迭代次數的變化趨勢曲線，可以看出種群最優適應度值均以較快速度收斂并穩定，風險值在前期均不斷增高，最后也均逐漸趨于穩定。較為明顯的是當風險態度為k= 0 時，函數最優值在接近第160 次迭代時趨于平穩。而當風險態度為k= 0.5 時，最優值在第180 次迭代之后趨于平穩。當風險態度為k= 1.0 時，函數最優值在接近第240 次跌代時趨于平穩。通過以上分析可知風險態度大時收益值波動就較大，即追求風險的投資者需要承擔更大的風險，且其收益值波動相較于規避風險者而言也是較大的。

圖1 k =0 函數曲線圖

圖2 k =0.5 函數曲線圖

圖3 k =1.0 函數曲線圖

從圖4 可以看出隨著風險態度適應值增加，風險也隨之增加。同等收益值下持有不同風險態度的投資者面臨的風險也是不同的，風險規避者相對于風險追求者面臨的風險要小很多。風險態度適應度值小，投資者厭惡風險，投資就會較為謹慎；風險適應度值大，表明投資者追求風險，希望得到較高的收益，投資行為也會更加大膽。因此，不同風險態度的投資者進行投資最終都會組成不同的投資策略。

圖4 不同風險態度下有效前沿對比

為驗證本文所建模型優越性，我們與均值–下半方差模型(V-M)和均值–熵模型(SM)運用本文設計算法所得的數值結果進行對比，結果如表2 所示。

表2 不同風險態度不同模型數值結果對比

表2 表示的是在不同風險態度下，本文所建模型可能性均值–下半方差–熵模型(V-SM)與均值–下半方差模型(V-M)和均值–熵模型(S-M)進行模擬投資的數值結果比較。從表中可以看出，本文所建模型V-S-M 和V-M 及S-M 模型在每一個周期的收益值都明顯高于前一個周期的收益值，即用該三種模型進行模擬實驗的結果都符合證券市場實情。從數值實驗結果可以看出，本文所建立的V-S-M 模型與V-M 和S-M 模型相比，除了風險態度為0.5 時的第一期和風險態度為1.0 時的第二期比其他兩種模型收益低之外，其他均要高于用他兩種模型進行模擬投資所獲收益。風險態度為0 和0.5 時，本文所建模型V-S-M 在第一期投資中的風險小于V-M 模型，風險態度為1.0 時，V-S-M 模型在第二期投資中的風險均小于V-M 模型，其余在風險相同或相差不大的情況下，利用本文所建模型可以獲得遠超于V-M 模型的收益。在不同風險態度下V-S-M 模型的熵值均小于S-M 模型。綜上所述表明，與V-M 和S-M 模型相比，本文所建模型V-S-M 能夠保證在控制風險的同時獲取更高收益。

為驗證本文所設計算法GAHDE 的優越性，我們與標準的GA 算法和DE 算法對本文所建模型V-S-M 進行計算所得結果進行了比較，結果如表3 所示。

表3 不同風險態度下不同算法數值結果對比

表3 表示的是在不同風險態度下本文所設計的GAHDE 算法與標準的GA 和DE 算法所求解的各期收益及總收益結果比較?？梢钥闯?，本文所設計的GAHDE 算法和標準的GA 和DE 算法在每一個周期的收益值都明顯高于前一個周期的收益值，即用三種算法對模型進行求解所得的收益值都是隨著投資周期的不斷迭代而不斷增加的。從數值實驗結果可以看出，本文所設計的GAHDE 算法比標準的GA 和DE 算法結果要好，尤其當風險態度為0 和0.5 時，設計的GAHDE 算法在每一期的收益值和總收益值都高于標準的GA 和DE 算法。當風險態度為1.0 時，設計的GAHDE 算法在第一期、第三期和總收益值也均高于其他兩個算法的值，但第二期收益值相比與GA 算法少了0.080 5。同時，本文設計算法GAHDE 在模擬實驗中的風險值在風險態度為0 時，各期風險值均小于GA 算法和DE 算法的風險。風險態度為0.5 時，第三期風險值相比于DE 算法小了0.000 4，相較于GA 算法也僅高了0.000 2。風險態度為1.0 時，第二期風險值相比于GA 算法小了0.001 0。熵值在三種不同風險態度均小于其他兩種算法。綜上所述表明，本文所設計的GAHDE 算法優于標準的GA 和DE 算法。

5 總結

在日益復雜的金融市場中，投資者要應對各種摩擦因素導致的不確定性風險。本文研究了模糊環境下的多階段模糊投資組合問題，將投資過程分為多個階段分別進行投資，考慮交易成本限制以及資產數目限制等約束構建模型。并采用設計的算法對所建模型進行求解，得到了不同的投資組合策略，實現了對資產組合的收益最大化和對風險的控制。同時，與其他模型及算法進行了對比，結果均優于其他模型及算法，表明所建模型可以幫助投資者獲取更多的收益。此外，現實投資中還存在流動性約束、最大回撤約束及周期約束等現實約束均對投資行為存在影響，將這些因素以一種合理的方式融入模型是今后研究的方向之一。