城市軌道交通連續支承軌道梁的動力響應分析

嚴志權，張 忠，華立夫，王天航，趙 俊

（1、廣州地鐵集團有限公司 廣州 510320；2、中鐵十九局集團第六工程有限公司 江蘇無錫 214111；3、安徽建筑大學 合肥 230601）

0 引言

作為城市公交的骨干，城市軌道交通具有節能、省地、大容量、全天候、無（或少）污染、安全等優點，是一種綠色環保的交通系統，尤其適用于大中城市。但是，在列車行駛過程中由于列車與鐵軌的耦合作用，會引起軌道周邊環境及地上建筑的二次結構噪聲，從而對建筑自身及周邊人群的人身安全造成長遠的不利影響［1］。所以，在城市軌道交通蓬勃發展的同時，列車行駛所引起的噪聲與環境振動也引起了人們廣泛的關注［2］。因此，對移動載荷作用下軌道梁的動態響應與力學特征進行研究也變得越來越有意義。

目前，關于移動荷載作用下梁的動力響應研究可以分為勻速移動荷載與變速荷載兩類。在勻速移動荷載方面，ACHENBACH 等人［3］分析了無限長的均勻梁的解析解，得到了其在隨載荷移動的坐標系中保持不變的結論；LEE［4］得到了Timoshenko 梁在Winkler 地基上的動力響應，并分析了其在忽略質量慣性效應的情況下承受等效移動力的相應行為；SUN［5］在21 世紀初提出了梁型結構對線荷載的閉式位移響應，進一步的，SUN［6］利用Fourier 變換結合Green 函數得到了梁在移動荷載作用下粘彈性路基上的閉式解；BASU 等人［7］計算了移動荷載作用下粘彈性地基上的Euler-Bernoulli 梁的解析式，并考慮了土壤中壓縮應變引起的土壤阻力和剪切應變引起的阻力；HUANG 等人［8］采用雙傅里葉變換和輪廓積分技術，得到了放置在Kerr 基礎上并承受移動諧波荷載的均勻梁穩態響應的閉式解；ANSARI 等人［9］使用Galerkin 方法結合多尺度法（multiple scales method）得到了移動力作用下Euler 梁的頻響曲線；胡偉鵬等人［10］利用了多辛算法的理論基礎，針對移動荷載下梁振動的動力學方程提出了廣義多辛算法理論；Mehmood 等人［11-13］則應用有限元方法數值地分析了移動荷載下梁結構的動力響應。然而，上述研究并未考慮荷載變速的情況。在變速移動荷載方面，王少欽等人［14］利用模態疊加原理，結合廣義坐標變換的方法建立了變速移動載荷通過簡支梁橋時的動力學方程并編寫了分析程序；鐘陽等人［15］基于Fourier變換，得到了彈性地基上無限長梁動態撓度和彎矩解析表達式；陳上有等人［16］建立了兩種變速移動荷載下歐拉梁的動力分析模型，分別為車輪加彈簧-阻尼器-簧上質量和均布質量，推導了其振動控制方程；SUZUKI［17］利用菲涅耳積分研究了有限梁在加速載荷作用下的動態行為；LEE［18］基于拉格朗日方法分析了移動集中質量作用下Euler 梁的動力學行為，分析了質量與梁分離的可能性。

上述研究進展表明，關于軌道的動力響應研究已經取得不少成果，然而在變速移動荷載方面，參數討論還不夠豐富，內容還不夠系統，亟待進一步地研討?；诖?，本文建立了變速移動荷載下城市軌道交通連續支承軌道梁模型，通過理論計算和數值分析對其振動規律進行了研究，結合廣州軌道交通的具體項目討論荷載參數（荷載移動初速度、加速度）以及軌道參數（軌道長度、彎曲剛度、支承剛度、支承阻尼）對軌道梁動力響應的影響。

1 運動控制方程及其求解

如圖1 所示，簡化軌道梁為連續支承Euler-Bernoulli簡支梁，在其表面存在一個以速度v（t）沿著梁長方向移動的荷載F（x，t）。l為梁的長度（m）；EJ為抗彎剛度（N·m2）；m為單位長度質量（kg·m-1）；c為系統支承阻尼（kN·s·m-1）；κ為系統支承剛度（kN·mm-1）；ω（x，t）為梁的撓度（m）。于是由振動力學理可建立如下的運動控制方程：

圖1 城市軌道交通連續支承軌道梁Fig.1 Continuously Supported Railway Beams for Urban Rail Transit

式中：F0為荷載恒值（kN）；δ（x）為Dirac 函數；xp（t）為荷載移動位置（m），xp（t）=v0t+at2/2，其中v0為荷載初速度（km·h-1）；a為加速度（km·h-1·s-1）。

根據振型疊加法，梁撓度ω（x，t）離散化為其振型函數yi（x）與廣義坐標η i（t）的耦合，即

將式⑶代入式⑴中得

求解⑾式，可得求廣義坐標η i（t），再代回式⑶最終可求出梁在移動荷載作用下的豎向振動位移ω（x，t）。

2 動力響應

為了更好地探究軌道梁的力學特性，本文基于廣州軌道交通某項目，對不同基本參數引起梁的動力響應進行研究，軌道、荷載的基本參數及其數值或取值范圍如表1 所示。結合上文理論公式，利用Matlab 軟件對移動荷載作用下城市軌道交通連續支承軌道梁的動態響應進行數值分析與研究。

表1 軌道荷載基本參數Tab.1 Basic Parameters of Track Load

2.1 抗彎剛度的影響

不同抗彎剛度EJ下軌道梁撓度隨時間的變化曲線如圖2 所示，此時軌道梁長度l為50 m，移動荷載初速度v0=160 km/h，加速度a=3.6 km/（h·s），系統支承剛度κ=150 kN/m-1，系統支承阻尼c=100 kN·s/m。圖2中從高至低3 條曲線的抗彎剛度分別為3.07×106N·m2、4.20×106N·m2、6.63×106N·m2，且曲線先增后減存在一個幅值。不同抗彎剛度對梁撓度幅值的影響如圖3所示。曲線呈遞減趨勢，且由數值計算表明，當抗彎剛度從2×106N·m2增加到10×106N·m2時，梁的最大撓度約減少29%。即抗彎剛度的增加會減小梁的撓度，且效果明顯。

圖2 不同抗彎剛度時梁撓度隨時間的變化Fig.2 Changes of Beam Deflection with Time under Different Flexural Rigidity

圖3 不同抗彎剛度對梁撓度幅值的影響Fig.3 Influence of Different Flexural Stiffness on Deflection Amplitude of Beam

2.2 支承剛度的影響

不同支承剛度κ下軌道梁撓度隨時間的變化曲線如圖4 所示，此時軌道梁長度l為50 m，移動荷載初速度v0=160 km/h，加速度a=3.6 km/（h·s），系統支承阻尼c=100 kN·s/m。圖4 中從上往下3 條曲線的支承剛度分別為100 kN/mm、150 kN/mm、200 kN/mm，即隨著支承剛度的增加梁的撓度逐漸減小。梁撓度幅值隨著剛度變化的曲線如圖5所示，當剛度從50 kN/mm 增加到100 kN/mm 時，軌道梁撓度幅值約下降了約57%；當剛度從100 kN/mm 增加到200 kN/mm 時，軌道梁撓度幅值下降了約19%，可見剛度對抑制振動起到了十分重要的作用。綜上，梁撓度幅值與剛度呈負相關，且曲線斜率逐漸減小即剛度越大撓度幅值減小得越慢。

圖4 不同支撐剛度時梁撓度隨時間的變化Fig.4 Changes of Beam Deflection with Time under Different Support Stiffness

圖5 不同支撐剛度對梁撓度幅值的影響Fig.5 Influence of Different Support Stiffness on Beam Deflection Amplitude

2.3 支承阻尼的影響

不同支承阻尼c下軌道梁撓度隨時間的變化曲線如圖6 所示，此時軌道梁長度l為50 m，移動荷載初速度v0=160 km/h，加速度a=3.6 km/（h·s），系統支承剛度κ=150 kN/m-1。圖6 中從上至下3 條曲線的阻尼分別為100 kN·s/m、300 kN·s/m、400 kN·s/m，即梁的撓度隨著阻尼的增加而遞減，但值得注意的是這種遞減很緩慢。梁撓度幅值隨著阻尼變化曲線如圖7所示，可以看到當阻尼從0 遞增到400 kN·s/m 時，軌道梁撓度幅值僅減少了約4.8%。因此在實際應用中，阻尼的增加可以減少振動但效果有限。

圖6 不同阻尼時梁撓度隨時間的變化Fig.6 Changes of Beam Deflection with Time under Different Damping

圖7 不同阻尼對梁撓度幅值的影響Fig.7 Influence of Different Damping on Beam Deflection Amplitude

2.4 速度的影響

不同速度的移動載荷下軌道梁撓度隨時間的變化曲線如圖8所示，此時軌道梁長度l為50 m，移動荷載加速度v0=36 km/（h·s），系統支承剛度κ=150 kN/m-1，支承阻尼c=100 kN·s/m。圖8 中從左至右3 條曲線分別代表荷載移動速度為120 km/h、72 km/h、36 km/h，當速度為36 km/h 時，撓曲線振幅最大且曲線突變的區域最廣。圖9研究了不同速度下軌道梁撓度最大值的變化規律，數值結果表明梁撓度最大值會隨著速度遞減，當速度從0增長到360 km/h時，撓度最大值增長率約為-0.15%。

2.5 加速度的影響

在支承剛度κ=150 kN/m-1，支承阻尼c=100 kN·s/m，移動荷載初速度v0=72 km/h 時，不同加速度下連續彈性支承有限長軌道梁撓度的變化曲線如圖10 所示。圖10 中從左至右曲線依次變寬即曲線突變的區域隨著加速度的減小而變大。不同加速度下軌道梁撓度幅值的變化規律如圖11所示，由圖11可知，撓度幅值與加速度約成線性關系，且隨著加速度遞減。數值結果表明，當加速度從0 增長到360 km/（h·s）時，撓度幅值的增長率約為-0.08%。

圖10 不同加速度時梁撓度隨時間的變化Fig.10 Changes of Beam Deflection with Time at Different Accelerations

圖11 不同加速度對梁撓度幅值的影響Fig.11 Influence of Different Accelerations on Beam Deflection Amplitude

3 結論

本文建立了移動荷載作用下連續支承軌道梁的理論模型，利用振型疊加法進行了理論推導得到了其運動方程的解析解，評估了各種參數對軌道梁動力響應的影響，得到了以下幾個結論：

⑴連續支承有限長梁撓度隨時間呈現先增后減的趨勢，且存在著一個撓度最大值。

⑵軌道梁的抗彎剛度、支承剛度、支承阻尼的增加會使梁的撓度變小。其中抗彎剛度、支承剛度增加時梁撓度最大值減小的較快，即其對梁豎向振動的抑制效果最為明顯。

⑶移動載荷初速度與加速度增加會減小梁的撓度，且值得注意的是，初速度和加速度會影響撓曲線突變區域的大小。即曲線會隨著二者的增加而變窄，說明軌道梁對移動載荷的動力響應會變快。

綜上所述，本文通過研究移動荷載作用下城市軌道交通連續支承軌道梁的振動響應，為車軌振動控制和城市軌道交通的抗振減振提供了參考，有一定的指導意義。