基于序列貝葉斯更新的鋰電池剩余壽命預測

趙 斐,郭 明,劉學娟

(1.東北大學 秦皇島分校,河北 秦皇島 066004;2.東北大學 工商管理學院,遼寧 沈陽 110819;3.北京科技大學 經濟與管理學院,北京 100083)

0 引言

鋰電池具有能量密度大、效率高、壽命長等性能,被廣泛應用于航空航天、汽車制造、軍事通訊等領域[1]。然而,隨著鋰電池的使用和外部溫度等隨機因素的影響,其內部不斷發生復雜的電化學反應,導致容量和功率不斷降低,性能隨之退化[2],一旦鋰退化量超過閾值,就可能出現絕緣體損壞和短路等問題,若不能及時發現,則有可能引發自燃、爆炸,甚至造成不可估量的損失[3]。因此,準確預測鋰電池的健康狀態和剩余壽命,對維護電池系統、降低使用成本和事故發生概率至關重要[2]。目前,有關鋰電池剩余壽命預測的方法主要有機理模型法、數據驅動法以及將兩者融合的方法[4]。其中,基于機理模型方法的預測結果比較準確,然而由于難以精確刻畫鋰電池退化的電化學反應,預測結果嚴重依賴于所選取的模型。與之相比,數據驅動方法無需對鋰電池退化的內部機理建模,而是基于歷史監測信息采用概率統計、隨機過程等方法建立鋰電池退化模型來預測剩余壽命[5]。

由于容量監測數據更易獲取,數據驅動法已受到工業界和學術界的關注。數據驅動法中Gamma過程和逆高斯過程僅適用于對單調退化路徑情形建模,而維納過程更適合描述非單調退化問題,已有不少學者對此展開研究[6]。例如,李軍星等[7]通過分析影響硬盤壽命和可靠性的塊錯誤率,采用維納過程建立了硬盤存儲性能的退化模型;唐圣金等[8]利用維納過程對衛星光纖陀螺進行剩余壽命預測。然而,上述研究均假定維納過程的漂移系數固定,無法隨時間動態更新,即未利用實時監測數據對參數進行動態更新[8]。對此,有學者在假定漂移系數服從正態分布的條件下構建退化模型,并利用初始時刻估計出的漂移系數進行動態更新[9-10]。其中,ELWANY等[9]利用表征軸承退化的振動數據驗證了線性維納過程退化建模的有效性;TANG等[10]將文獻[9]中的固定失效閾值進一步擴展為隨機失效閾值,構建了線性維納退化過程模型,并采用貝葉斯方法對失效閾值進行先驗估計,繼而推導剩余壽命概率密度函數。顯然,文獻[9-10]并不適用于退化趨勢具有高度非線性特征的系統。

為此,許多學者研究了非線性維納過程,黃亮等[11]基于非線性維納過程建立發動機的退化模型,利用最大似然方法估計模型參數,同時采用貝葉斯方法更新參數分布,繼而預測其剩余壽命;彭才華等[12]提出線性與冪指數結合的非線性退化模型,并采用激光發生器的性能退化數據加以驗證;YAN等[13]通過分析旋轉機械的退化特征,提出兩階段維納過程退化模型,采用貝葉斯方法對兩階段退化模型參數進行更新,并以車輪振動踏面數據為例驗證了模型的有效性;SI等[14]建立了非線性維納過程退化模型,采用最大似然方法估計模型參數,并利用陀螺儀和航空材料疲勞裂紋退化數據驗證了模型的有效性。以上研究雖然是基于非線性維納過程建模,但是在模型參數的更新過程中,未利用所有歷史退化數據。這是因為維納過程的獨立增量和Markov性質,使貝葉斯更新的漂移系數僅利用了當前觀測的退化值,未包含從初始到當前時刻的所有退化值。為解決該問題,LI等[15]采用序列貝葉斯更新方法更新線性維納過程的退化模型參數,繼而以更新的退化模型預測鋰電池剩余壽命。

由于鋰電池退化不僅與其內部電化學反應相關,還與運行工況有關,例如在寒冷地區,電動汽車的鋰電池容量衰減得更快,其退化過程通常呈現為非線性。為此,本文對具有非線性退化的鋰電池展開剩余壽命預測研究。首先,采用非線性維納過程建立鋰電池退化模型;然后,基于最大似然估計方法離線估計初始時刻的模型參數;接著,利用實時得到的容量監測數據,采用序列貝葉斯方法動態更新退化模型中的漂移系數,進而預測剩余壽命;最后,選用不同工況(25 ℃,35 ℃,55 ℃)下的鋰電池退化數據估計退化模型初始時刻的模型參數,采用45 ℃溫度下的退化數據動態更新漂移系數,與冪指數的非線性退化模型和線性退化模型對比,結果表明基于所提非線性退化模型預測出的剩余壽命精度更高。

1 鋰電池容量退化建模和參數估計

1.1 基于非線性維納過程的退化模型

由于鋰電池容量會隨外部工況變化和內部化學反應而衰減,通常具有非線性特征,為此建立非線性維納過程的容量退化模型更具適用性[16-17]。令t時刻鋰電池容量的退化量

(1)

X(t)=x0+a(exp(bt)-1)+σBB(t)。

(2)

1.2 最大似然估計方法離線估計初始時刻的模型參數

Xj(tj,k)=x0,j+aj(Ψ(tj,k))+σBB(tj,k),
k=1,2,…,δj。

(3)

式中:漂移參數aj為獨立同分布;Ψ(tj,k)=exp(btj,k)-1。令T=[T1,T2,…,TJ]T(Tj=Ψ(tj)),向量X=[X1,X2,…,XJ]描述了所有設備的退化數據。根據式(3)和標準維納過程的獨立增量性質,可知Xj服從多維正態分布,均值和協方差分別為:

(4)

Qj=[min(tj,i,tj,k)]1≤i,k≤δj

(5)

由于設備之間的退化過程具有相互獨立性,在監測數據X下構建關于Θ的最大似然估計函數(Θ|X),

(6)

(7)

(8)

對式(6)求關于μa的一階偏導,則有

(9)

令式(9)等于0,得到μa的極大似然估計為

(10)

(11)

1.3 序列貝葉斯方法在線更新漂移系數

貝葉斯方法常用于更新非線性維納過程的漂移系數a,其中a的后驗分布P(a|X1:k)不僅與其先驗分布P(a)相關,還與實時退化數據的條件似然函數P(X1:k|a)相關。令X1:k={x1,x2,…,xk}表示直至時刻tk設備退化的歷史狀態監測信息,在tk時刻漂移系數a的后驗估計

P(a|X1:k)=

(12)

進一步推導式(12),有

(13)

根據維納過程性質可知,P(xk|X1:k-1,a)服從正態分布,可表示為

(14)

將式(14)得到的P(xk|X1:k-1,a)和漂移系數a在tk-1時刻的后驗估計P(a|X1:k-1)代入式(13),得到a在tk時刻的后驗估計P(a|X1:k),

(15)

通過對式(15)進行推導,得到a在tk時刻的參數估計值:

(16)

2 鋰電池剩余壽命預測模型與流程

2.1 鋰電池剩余壽命的預測模型

剩余使用壽命指從當前時刻tk開始,系統首次退化到軟失效閾值ω所經歷的時間[18]。定義系統在tk時刻的剩余壽命lk為

inf(lk:X(tk+lk)≥ω|X(tk)<ω)。

(17)

在已知漂移系數a的條件下,剩余壽命lk的條件概率密度函數為[15]

fLk|a,X1:k(lk|a,X1:k)≈

(18)

(19)

考慮到漂移系數a的隨機性,采用全概率公式計算剩余壽命lk的概率密度函數

(20)

將式(18)代入式(20),則

(21)

存在如下引理[14]:若Z～N(μ,σ2),且ω,A,B∈R,C∈R+,則

(22)

(23)

從而得到剩余壽命的期望值

(24)

2.2 鋰電池剩余壽命預測流程

結合上述對鋰電池容量衰退趨勢的非線性退化過程建模,以及模型參數的離線估計和在線估計方法,給出基于序列貝葉斯更新的鋰電池剩余壽命預測具體流程,如圖1所示。

步驟3基于更新的漂移系數估計值,采用式(23)和式(24)分別計算剩余壽命lk的概率密度函數fLk|X1:k(lk|X1:k)和期望剩余壽命E(Lk|X1:k)。

3 實例分析

將所提基于指數函數μ(b,t)=bexp(bt)構建的非線性維納退化模型X(t)=x0+a(exp(bt)-1)+σBB(t)稱為模型1,并將基于冪指數函數μ(b,t)=btb-1的維納退化模型X(t)=x0+atb+σBB(t)、基于線性函數的維納退化模型X(t)=x0+at+σBB(t)分別稱為模型2、模型3,用于與模型1進行對比分析。在此,引入赤池信息準則AIC比較不同模型的擬合度[19]:

AIC=-2max+2p。

(25)

MSEk=

(26)

3.1 變工況下鋰電池容量退化數據

采用變工況下鋰電池容量退化數據集驗證所提非線性退化模型和參數估計方法的有效性。該鋰電池額定容量為1.35 Ah,實驗設定初始溫度為25 ℃,每經過10個充放電周期溫度上升10 ℃,在25 ℃,35 ℃,45 ℃,55 ℃ 4種溫度下進行循環實驗,容量退化曲線如圖2所示,可見鋰電池容量退化呈現為典型的非線性特征。

3.2 參數估計與分析

在此將25 ℃,35 ℃,55 ℃ 3組變工況下的鋰電池退化數據作為訓練數據集,將45 ℃工況下的鋰電池退化數據作為測試數據集,設定失效閾值ω=0.64。利用圖1中的參數估計方法,基于訓練數據集估計出3種退化模型初始時刻的模型參數,得到對應的最大對數似然函數值Log-LF和AIC值,如表1所示。其中,模型1的Log-LF=166.311 0,AIC=-326.622,與模型2和模型3的結果相比,模型1的Log-LF值最大、AIC值最小。根據Log-LF值越大、AIC值越小,所估計出的模型擬合效果越好這一判斷準則,由表1可知,所提非線性退化模型1更適用于變工況下的鋰電池容量退化過程建模。

表1 鋰電池容量退化模型的參數估計結果

基于表1估計得到初始時刻模型參數,推導不同退化模型下的剩余壽命概率密度函數,如圖3所示?？梢?初始時刻模型1得到的峰值為0.003 6,高于模型2和模型3的峰值0.003 2,0.001 6;模型1峰值對應的周期為1 029,模型2和模型3峰值對應的周期分別為991和620,顯然模型1更接近真實的周期值1 070。因此,由模型1預測出的剩余壽命誤差更小,精度更高。

3.3 剩余壽命預測結果與對比

進一步以45 ℃工況下鋰電池容量退化數據作為測試集動態更新模型參數,對比3種退化模型下各監測時刻的鋰電池剩余壽命概率密度函數、平均值和實際剩余壽命值,如圖4所示。由圖4a～圖4c可見,在初始監測階段,鋰電池的剩余壽命概率密度函數曲線均較平緩,這是因為初始時刻獲取的容量退化狀態數據較少,導致估計參數時漂移系數a估計值的不確定性增大,進而使預測誤差偏大;然而,隨著監測時間的增長,剩余壽命概率密度函數曲線呈現逐漸增高的趨勢,說明隨著監測狀態數據的增加,對模型中漂移系數a估計的不確定性變小,從而使預測誤差逐漸減小。由最后一個周期(1 070)的概率密度函數曲線可見,模型1和模型2的概率密度函數曲線峰值依次約為0.017 1和0.016 5,明顯高于模型3的峰值0.006 6,這是因為模型1中的漂移參數是根據截止到當前時刻的所有退化監測數據實時估計的,克服了僅利用當前退化數據進行參數估計的不足。

圖5所示為3個模型不同周期上對應監測時刻的均方誤差值?？梢?隨著監測周期的增加,必然會獲取更多的監測數據,使得任一模型的預測誤差均逐漸減小,但模型1的均方誤差小于模型2和模型3,尤其比線性退化模型3要低。計算得出3個模型的TMSE值分別為9.034 1×104,11.188×104,71.130×104,最后一個監測周期的均方差分別為1 281.454 9,1 397.898 4,21 431.437 2,進一步表明模型1的預測精度最高。

4 結束語

考慮到鋰電池在實際運行時因受溫度、材料化學反應等因素影響,容量退化通常呈現為非線性特征,本文提出基于指數函數的非線性維納過程模型描述鋰電池容量退化。傳統貝葉斯更新方法在估計退化模型參數時僅利用當前時刻的監測數據,忽略了鋰電池歷史退化趨勢的影響,為此采用離線估計和在線更新相結合的方法估計參數,推導剩余壽命概率密度函數并進行預測。其中,基于收集到的鋰電池歷史退化數據,利用最大似然估計方法離線預估退化模型的參數,進而采用序列貝葉斯更新方法在線更新非線性退化模型中漂移系數的參數。以25 ℃,35 ℃,55 ℃ 3種不同溫度下的鋰電池退化數據集估計初始時刻的模型參數,在此基礎上以45 ℃的鋰電池容量退化數據對漂移系數進行在線更新并預測剩余壽命。通過與其他退化模型對比表明,所提基于指數函數的非線性維納過程退化模型具有較高的最大對數似然函數值和較小的AIC值,擬合效果更好,而且預測的剩余壽命精度更高。

本文研究將溫度視為影響鋰電池容量退化的工況,而針對運行工況更加復雜的系統,系統退化可能受溫度、負載等多因素影響,而且不同因素對退化的影響機制也不同,這將在后續研究中進一步探討。