幅相誤差對體積陣MVDR 波束形成的影響

黃 燕 ,焦君圣 *,郭世旭 ,趙 鵬

(1.中國計量大學 原位計量教育部重點實驗室,浙江 杭州,310018;2.中國計量大學 計量測試工程學院,浙江 杭州,310018)

0 引言

擴展陣的本質是一種雙圓環體積陣[1-2],相比于傳統的垂直接收基陣,體積陣的水平孔徑更大,具有更大的空間增益,從而提高了聲吶的性能[3-4],但是對波束形成也有更高的要求。

陣列信號處理技術[5-7]作為信號處理的重要分支,被廣泛應用在聲吶、雷達及通信等領域,其相關研究始于20 世紀40 年代,1960 年后,自適應陣列信號處理技術獲得迅速發展。Capon[8]提出最小方差無畸變(minimum variance distortionless response,MVDR)波束形成算法,該算法可以自適應地使陣列在保證期望方向上信號輸出功率不變的前提下,使波束輸出功率達到最小[9-11],并根據這一原則求出最佳權向量,再用該權向量對陣列輸入信號進行加權求和,得到陣列輸出。與常規波束形成相比,MVDR 波束形成在理想陣列模型下抗干擾能力更強,陣列增益更高,并且具有更好的角度分辨率,因此被廣泛應用于線陣和圓陣等陣列中。但存在陣列誤差時,協方差矩陣估計就與實際不符,從而導致導向矢量失配。而陣列誤差往往由各水聽器通道不一致所帶來的幅相誤差引起,因此研究幅相誤差對MVDR 波束形成的影響具有重要意義。

在這一方面,Vural[12]研究了存在幅相誤差時,自適應波束形成在不同輸入信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)下的性能損失,輸入SNR 越大,自適應波束形成的性能損失越大;Compton[13]研究了自適應波束形成對誤差的敏感性,認為誤差越大,自適應波束形成的輸出信干噪比越敏感;Godar[14]推導了存在誤差時最佳波束形成器的輸出信號功率和輸出噪聲功率的表達式,認為當存在誤差時,輸出噪聲功率和輸出信號功率均會增大;Su 等[15]分析了幅相誤差對MVDR波束形成器空間譜的影響,得出了幅度誤差和相位誤差越大,空間譜的最大值越小的結論。但上述研究沒有給出存在幅相誤差時,MVDR 波束形成器輸出SNR 和陣增益等的具體表示式,而且這些研究多是針對傳統的線陣,少有針對體積陣對幅相誤差的敏感性研究。

文中從統計學角度對存在幅相誤差時體積陣的協方差矩陣、MVDR 波束形成器的輸出SNR 以及陣增益進行了理論推導,并通過計算機進行了仿真驗證,同時分別對存在幅度誤差和相位誤差時的體積陣MVDR 波束形成器的方位估計均方根誤差進行了統計與分析。

1 體積陣建模

圖1為體積陣結構示意圖,其由12 個臂組成,從整體上來看,該體積陣是由上下2 層雙圓環陣所構成,參與波束形成的陣元數量較多,因此能夠獲得較高的空間增益,相比于均勻線陣,體積陣可同時對方位角和俯仰角進行波達方向定位(direction of arrival,DOA)估計,具有更好的估計性能。

圖1 體積陣結構圖Fig.1 Structure of volume array

由于該體積陣的上下層陣列形狀一致,因此只對其中一層進行建模。圖2為體積陣在三維坐標中的模型,在2 個半徑不同的圓環上,各有M、N個無指向性的陣元構成雙圓環陣列,其中內環半徑為r1,外圓環半徑為r2,且每個圓環上的陣元均勻分布。以雙圓環的圓心為原點建立三維坐標系,內圓環上的第m個陣元與原點之間的連線與x軸的夾角為φm=2π(m-1)/M,外圓環上的第n個陣元與原點之間的連線與x軸的夾角為φn=2π(n-1)/N,設波數為k=2π/λ的窄帶平面波的方向為-r入射到陣列,信號的俯仰角 θ0∈[0,π/2]是z軸和信號入射方向之間的夾角,而方位角 φ0∈[0,2π]是從x軸正方向開始的在陣列平面上逆時針投影到入射信號方向的角度。則該體積陣方向矢量為

圖2 體積陣模型Fig.2 Volume array model

2 陣元通道幅相誤差影響分析

2.1 相位誤差對體積陣MVDR 波束形成的影響

在理想條件下,雙圓環陣的基陣響應向量為

式中: θ為信號源的俯仰角;φ為信號源的方位角;M和N分別為內圓環和外圓環的陣元數。

在不考慮幅度增益的情況下,假設每個水聽器通道輸出信號的隨機相位誤差為γi(i=1,2,···,M+N),它們相互獨立,均值為零,方差為,其正態密度函數為

相位誤差矩陣為

設γm、γn(m,n=1,2,···,M+N)分別為2 個不同通道的相位誤差,由 于γm和γn相互獨立,因此γm與γn的聯合密度函數為

由式(11)可將實際協方差矩陣可化簡為

由式(12)可知,當存在相位誤差時,目標信號的等效協方差矩陣和噪聲的等效協方差矩陣分別為

式中,Rs、Rn分別為理想條件目標信號和噪聲信號的協方差矩陣。與理論的協方差矩陣相比,存在相位誤差時噪聲的協方差矩陣增加了1 個對角項,相當于引入了一個功率為的白噪聲,而目標信號的實際協方差矩陣縮小到其理論值的倍。因此存在相位誤差時的實際等效輸入SNR為

因此,當存在相位誤差時,輸入SNR 會減小,并且相位誤差越大,輸入SNRS就越小。

利用式(2)與式(12)得到MVDR 的最佳權向量

當MVDR 波束形成器的波束方向指向水下目標時,波束輸出中目標信號功率Psa(θ,φ)和噪聲功率Pna(θ,φ)分別是

則此時圓陣MVDR 的輸出SNR為

由式(21)可知,相位誤差對MVDR 波束形成器輸出SNR 的影響表現為: 相位誤差越大,輸出SNR 越低。

MVDR 波束形成器的輸出陣增益為

由式(22)可知,隨著相位誤差的增大,陣增益將減小,且SNR 越大,陣增益減小得越明顯。

2.2 幅度誤差對體積陣MVDR 波束形成的影響

在不考慮相位誤差的情況下,假設只存在幅度誤差,各水聽器通道輸出信號的隨機幅度誤差hi(i=1,2,···,M+N)均為正態隨機變量,且其數學期望E{hi}=0,方差為Var{hi}=,則 幅度誤差hi的概率密度函數為

幅度誤差的對角陣為

實際輸出信號的協方差矩陣為

協方差矩陣中的對角元素為

由于hm、hn(m,n=1,2,···,M+N,m≠n)是相互獨立的隨機變量,有

從式(31)可以看出,存在隨機幅度誤差時的協方差矩陣比理論值多了1 個I,因此目標信號的等效協方差矩陣和噪聲的等效協方差矩陣分別為

體積陣的等效輸入SNR 可表示為

此時體積陣MVDR 波束形成器的輸出SNR為

由式(34)和式(35)可知,水聽器通道隨機幅度誤差對體積陣MVDR 波束形成輸入SNR、輸出SNR 的影響規律為: 隨著幅度誤差的增大,實際輸入SNR 越來越小,輸出SNR 也減小。

而存在隨機幅度誤差時的陣增益為

從式(36)可以看到,幅度誤差的存在也會使MVDR 波束形成器的陣增益減小,且隨著幅度誤差的增大,陣增益越來越小,同時,當輸入SNR增大時,陣增益減小的程度也更大。

2.3 幅相誤差同時存在對體積陣MVDR 波束形成的影響

假設相位誤差γi和幅度誤差hi同 時存在,且 分別滿足式(5)和式(23),則此時幅相誤差的對角陣為

實際輸出信號的協方差矩陣

根據式(26)、(27)和式(30)得

將式(11)代入式(39)中,得

此時目標信號和噪聲的等效協方差矩陣分別為

體積陣MVDR 波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 和陣增益分別為

從式(43)～(45)可以看到,幅度誤差和相位誤差同時存在時對體積陣MVDR 波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 和陣增益并無相互抑制作用,并且二者越大,體積陣MVDR 波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 和陣增益均越小。

3 仿真與分析

設體積陣共有48 個陣元,分為上下2 層,每1 層有2 個圓環陣,且內環和外環的陣元數均為12 個,每1 個圓環上的陣元均勻分布,內環半徑為0.41 m,外環半徑為0.65 m。假設水下目標的俯仰角為30°,方位角為20°,仿真過程中,假設各陣元的隨機幅度誤差和隨機相位誤差均為正態隨機變量,且只針對 θ=30°的垂直方向進行仿真。

不考慮幅度誤差,圖3為不同相位誤差下體積陣MVDR 波束形成的輸出SNR 以及陣增益的仿真結果。從圖中可以看出,相位誤差存在時,輸出SNR 和陣增益均呈現減小的趨勢,隨著相位誤差的增大,陣增益減小的幅度逐漸減小,在輸入SNR 較高時,輸出SNR 減小的幅度也逐漸減小。

圖3 輸出SNR 及陣增益隨相位誤差變化曲線Fig.3 Variation of output SNR and array gain with phase error

圖4為存在相位誤差時,不同輸入SNR 下體積陣MVDR 波束形成器的輸出SNR 與陣增益的仿真結果。圖中,虛線為不存在相位誤差時的理想輸出SNR,其余為不同相位誤差下輸出SNR 隨輸入SNR 的變化曲線。從圖中可以看出,當目標信號的輸入SNR 較低時,相位誤差對體積陣MVDR 波束形成器輸出SNR 的影響很小,但隨著輸入SNR 的升高,相位誤差對輸出SNR 的影響越來越大,而MVDR 波束形成器的陣增益則越來越小,與理論相符。

圖4 輸出SNR 及陣增益隨輸入SNR 變化曲線Fig.4 Variation of output SNR and array gain with input SNR

假設目標輸入SNR為30 dB,入射角度仍為20°,其他條件不變,在不同相位誤差下對基陣接收信號作MVDR 波束形成,并記錄其波束角 θi,經多次實驗,計算出方位估計的標準差,其計算公式為

圖5 方位估計標準差隨相位誤差變化曲線Fig.5 Variation of azimuth estimated standard deviation with phase error

其他條件不變,假設不考慮相位誤差,在不同幅度誤差下對體積陣作MVDR 波束形成,計算其輸出SNR 以及陣增益。仿真結果如圖6 所示,可以看到,幅度誤差的存在將會使MVDR 波束形成器的輸出SNR 及陣增益減小,且隨著幅度誤差的增大,輸出SNR 與陣增益均越小。

圖6 輸出SNR 及陣增益隨幅度誤差的變化曲線Fig.6 Variation of output SNR and array gain with amplitude error

圖7為幅度誤差為0.2 dB 時,輸出SNR 和陣增益雖輸入SNR 的變化曲線,仿真結果顯示,與存在相位誤差時的影響相同,在高SNR 下幅度誤差也會對MVDR 波束形成器的輸出SNR 與陣增益產生影響,且輸入SNR 越大,存在幅度誤差的輸出SNR 與理想輸出SNR 相比降低得越多,陣增益也同理。

圖7 輸出SNR 與陣增益隨輸入SNR 變化曲線Fig.7 Variation of output SNR and array gain with input SNR

仿真過程中目標信號的功率為1 dB,圖8 表明,當幅度誤差的均值小于1.414 時,MVDR 波束形成器仍舊有較精確的波束指向性,但是當幅度誤差逐漸增大,目標便淹沒在噪聲中,MVDR 波束形成器方位估計失效。

圖8 方位估計標準差隨幅度誤差變化曲線Fig.8 Variation of azimuth estimated standard deviation with amplitude error

實際中,幅度誤差和相位誤差同時存在,假設輸入SNR為10 dB,其他條件不變,圖9為MVDR波束形成器輸出SNR 和陣增益隨幅相誤差變化的二維曲線。

圖9 輸出SNR 和陣增益隨幅相誤差變化曲線Fig.9 Variation of output SNR and array gain with amplitude-phase error

仿真結果表明,體積陣MVDR 波束形成器的輸出SNR 隨著幅度誤差和相位誤差的增大均呈下降趨勢,但是當存在幅度誤差時,二者隨相位誤差的變化下降幅度會更小;同樣,當存在相位誤差時,隨著幅度誤差的增大,輸出SNR 和陣增益隨幅度誤差下降的幅度也更小。

4 結束語

受幅度誤差和相位誤差的影響,MVDR 波束形成的方位估計性能下降,文中在建立存在幅相誤差的體積陣陣列模型的基礎上,對 MVDR 波束形成器的輸入協方差矩陣、輸出SNR、陣增益和方位估計標準差進行了統計分析與仿真驗證。結果表明,幅度誤差和相位誤差均會對體積陣MVDR波束形成帶來較大影響,這2 種誤差越大,MVDR波束形成器的輸入SNR、輸出SNR 以及陣增益均越小;輸入SNR 越高,MVDR 波 束形成器輸出的陣列增益越小,并且相比于幅度誤差,相位誤差對MVDR 波束形成的方位估計精度影響更大。

越來越復雜的水下環境對波束形成的精度提出了更高的要求,后續將考慮校正體積陣的協方差矩陣,利用陣列相關矩陣結構的先驗知識來提高體積陣MVDR 波束形成的穩健性。