事件觸發機制下基于觀測器的連續網絡化Markov跳變系統的控制器設計

林凡鈞,劉 月,陳惠英,王燕鋒,潘 峰,陳林峰

(1.湖州師范學院 工學院, 浙江 湖州 313000; 2.鞍鋼集團 本鋼北營能源管控中心, 遼寧 本溪 117000; 3.宿遷學院 機電工程學院, 江蘇 宿遷 223800; 4.湖州久鼎電子有限公司, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

在工業系統中,計算機通信網絡和控制越來越集成,將通信網絡引入控制系統已成為趨勢.由共享網絡形成的閉環反饋控制系統稱為網絡控制系統(Networked Control Systems,簡記 NCS).NCS具有系統布線少、成本低、維護與擴展方便等優勢[1],目前已被廣泛應用于工業自動化領域[2-6].

由于通信網絡的引入,不可避免地會發生網絡誘導時延、網絡擁塞、數據包丟失和數據時序錯亂等,這會降低系統的穩定性,甚至嚴重破壞系統.相對隨機發生的網絡問題,網絡誘導時延是網絡固有的問題.周紅艷等將系統建模為具有范數有界不確定的離散時間系統,以減小網絡誘導時延對其保守性的影響[7].還需考慮的另一個設計約束是NCS的網絡帶寬有限.控制任務是周期性執行的,但周期性時間觸發的通信方案對有限網絡資源的利用效率低.Heemels等從系統的分析和設計考慮,使用周期的采樣方式[8-9].為進一步減少網絡帶寬資源的不必要浪費,Tiberi等提出事件觸發機制.該方法能夠有效克服傳統周期采樣控制方法的缺點[10].Wang等研究時滯的離散網絡控制系統的動態事件觸發故障檢測問題,提出一種新的動態事件觸發方法,并通過構造Lyapunov泛函,推導出閉環網絡控制系統的充分穩定性條件[11].

現有關于NCS的研究,大多以線性定常系統為研究對象.而在實際系統中,由于環境、內部子系統連接方式等突然的變化,普通的線性系統已不能準確描述其動態特性,所以混雜系統應運而生.Markov跳變系統(Markov jump systems,簡稱MJS)作為一類特殊的混雜系統,因具有簡單的數學描述形式和強大的建模能力而受到各界的青睞,現已被廣泛應用于交通系統、制造系統和電力系統等領域[12-14].MJS是由一個或多個不同的子系統組成的,通過轉移速率的變化隨機從一個模態切換到另一個模態.熊威等研究一類具有時滯的MJS有限時間控制器設計問題,采用自由權重方法給出MJS有限時間有界性和有限時間H∞有界性的判定準則,從而求出狀態觀測器和狀態反饋控制器的增益矩陣[15].Zhang等提出部分未知轉移概率的概念不需要任何未知元素,并研究具有部分未知躍遷概率的連續時間和離散線性MJS的穩定性和鎮定問題[16].Zhang等研究具有時變時滯的連續線性MJS的濾波器設計問題[17].彭春源等基于李雅普諾夫泛函方法,研究一類不確定時滯廣義半MJS的隨機穩定性[18].研究觀測器的設計是十分重要的.王國良等研究廣義MJS的部分模態依賴觀測器及相應控制器的設計問題,對觀測器的設計進行了考慮,并設計了一個基于觀測器的控制器[19].

現有多數基于事件觸發機制的網絡化MJS的研究,未考慮通信網絡時延的影響,或只考慮單側時延情況,而以MJS為研究對象同時考慮傳感器到控制器和控制器到執行器兩段時延的相關研究較少.本文以連續MJS為研究對象,同時考慮雙側時延,提出基于事件觸發機制的控制器與觀測器協同設計方法.本文的創新點有：

(1)考慮傳感器到控制器和控制器到執行器同時存在時延,在控制器端構造觀測器,基于觀測器的輸出反饋控制,對信號傳輸時序進行分析,將閉環系統建模為具有兩個時延的時滯系統.

(2)構造合適的李雅普諾夫泛函,根據李雅普諾夫穩定性理論,得到保證閉環系統隨機穩定性的充分條件,并給出控制器與觀測器的協同設計方法.

1 問題描述

考慮以下一類具有不確定性的MJS：

(1)

其中,x(t)∈Rn、u(t)∈Rm、y(t)∈Rq分別為系統狀態向量、輸入向量和輸出向量,A(rt)、B(rt)、C(rt)為具有合適維數的實常數矩陣.{rt,t≥0}取值于有限集合?{1,…,N}的連續的Markov過程,其具有以下模式轉移速率：

其中,Δ>0,limΔ→0(o(Δ)/Δ)=0且Πij≥0(i,j∈,j≠i),當j≠i時,Πii=-∑j=1,j≠iΠij,且所有i∈.進一步,Markov過程轉移速率矩陣Π定義為：

(2)

注1圖1為事件觸發機制下基于觀測器的網絡化MJS結構圖.采樣器以固定的周期h采集系統的輸出信號.采樣器采集的信號直接傳送給與其相連的事件發生器,事件發生器通過事件觸發條件判斷接收到的信號是否發送給控制器.下面通過圖1說明整個系統的工作原理.

圖1 事件觸發機制下基于觀測器的網絡化MJS

首先,采樣器以固定的周期h采集系統的輸出信號;然后,采樣器將采集到的信號直接傳送給事件發生器.事件發生器是否將采樣數據發送給控制器,需要根據以下條件判斷：

[y(ik+mh)-y(ikh)]TV(rt)[y(ik+mh)-y(ikh)]>σyT(ik+mh)V(rt)y(ik+mh),

(3)

其中,y(ikh)為最近一次被傳輸的數據,y(ik+mh)為當前采樣的數據(k=0,1,2,…,m=1,2,3,…),k∈Z+,m∈Z+,V(rt)為正定的事件觸發權重矩陣,σ∈[0,1]為事件觸發閾值.

注2參數σ、V(rt)、h為通信方案(3)的參數,采集的狀態數據y(ik+mh)只有滿足二次條件,才會被傳送給控制器.顯然,通信方案(3)能夠降低網絡中的通信負載.作為一種特殊情況,若方案(3)中的σ=0,則適用于所有的采樣狀態數據,方案(3)也將簡化為時間觸發通信機制.

基于上述分析,考慮到通信網絡的時延和事件觸發通信方案(3)的影響,觀測器端收到的系統輸出為：

(4)

(5)

由式(5)可得：

(6)

定義誤差向量為：

?k(t)=0.

(7)

(8)

為便于表達,定義：

(9)

定義函數τ(t)為：

(10)

由式(10)可得：

(11)

定義誤差向量為：

(12)

y(ikh)=?k(t)+y[t-τ(t)],

(13)

(14)

在控制器端構造以下形式的觀測器：

(15)

采用以下基于觀測器的反饋控制律：

(16)

(17)

其中,K(rt)(?rt=i∈)為控制器增益矩陣,為便于表達寫為Ki.

將式(17)代入式(1),可得：

(18)

(19)

其中,

定義1[20]若每個初始條件x0∈Rn和r0∈,以下成立,

則系統(19)是隨機穩定的.

引理2[22]假設f1,f2,…,fN：Rm→R在開集D的子集中有正值,D∈Rm,則在集合D中fi的互反凸組合滿足：

2 主要內容

下面給出閉環系統式(19)的隨機穩定的充分條件,以及控制器和觀測器協同的設計方法.

定理1對給定的標量h1,h2,h3,h4,σ,如果存在合適維數的正定矩陣Pi>0,Vi>0,Rj>0,Qj>0,j=1,2,3,4,以及矩陣Li,Ki,F,G滿足下列不等式：

(20)

(21)

其中,

則閉環系統式(19)是隨機穩定的.

證明構造以下Lyapunov-Krasovskii泛函：

V(t,z(t))=V1(t,z(t))+V2(t,z(t))+V3(t,z(t)),

(22)

其中,

主人公迎戰大魚時，給大魚說的話，有蔑視，有“放馬過來”的豪情；戰勝大魚后對大魚說的話充滿了勝利的喜悅，同時也有自己的決心和對自己的鼓勵。

?V(t,z(t))=?V1(t,z(t))+?V2(t,z(t))+?V3(t,z(t)).

(23)

其中,

?V2(t,z(t))=zT(t)Q1z(t)-zT(t-h1)Q1z(t-h1)+zT(t)Q2z(t)-zT(t-h2)Q2z(t-h2)+zT(t)Q3z(t)-zT(t-h3)Q3z(t-h3)+zT(t)Q4z(t)-zT(t-h4)Q4z(t-h4),

應用引理1和引理2處理式(23)含有的積分項,可得：

(24)

其中,

(25)

定理1給出了閉環系統式(19)隨機穩定性的充要條件,定理2將在定理1的基礎上,給出控制器、觀測器的增益矩陣,以及事件觸發權重矩陣的求解方法.

(26)

(27)

其中,

則閉環系統式(19)是隨機穩定的,控制器增益矩陣Ki、觀測器增益矩陣Li、事件觸發權重矩陣Vi可由下式求得：

證明定義

在矩陣式(21)左右兩邊分別乘以JT和JT,設

(28)

式(28)等價于

(29)

最后,式(26)通過Schur補引理可得式(20).定理2得證.

3 仿真算例

下面通過一個例子說明所提結果的有效性.

根據定理2,得到系統正常運行時的控制器增益矩陣Ki、觀測器增益矩陣Li和觸發矩陣Vi.其結果為：

圖2 事件觸發NCS的傳輸時刻與時間間隔

圖3 閉環系統模態

圖4 x1(t)及其估計值時的系統狀態

圖5 x2(t)及其估計值時的系統狀態

由圖2可以看出,時間觸發通信機制能夠節約網絡通信資源.由圖3和圖4可以看出,系統傳輸的數據在平衡點附近較暫態過程少得多,符合按控制需求傳輸數據的期望.

4 結 論

本文研究了事件觸發機制下基于觀測器的連續MJS的控制問題.首先,引入事件觸發機制來減少通信負擔,采用觀測器來獲取無法直接測量的被控系統的狀態信息;其次,考慮傳感器到控制器以及控制器到執行器之間的時延,利用李雅普諾夫穩定性理論和積分不等式,推導建立了保證系統穩定性的充分條件;最后,通過仿真結果驗證了該方法的可行性.