對地觀測衛星編隊協同容錯姿軌耦合控制

李源青，楊 浩，倪 媛，姜 斌

（南京航空航天大學自動化學院，南京 211106）

0 引言

隨著微小衛星和分布式空間系統等航天技術的發展，衛星編隊飛行技術現已成為航天領域的研究熱點［1］。衛星編隊飛行將單顆復雜大衛星的任務分配給多顆近距離繞飛的小衛星，通過星間鏈路實現互相通信、協同合作，完成空間數據的采集和處理。因具有低成本、性能高等優點，衛星編隊飛行技術廣泛應用于分布式星載微波雷達［2］、三維立體成像氣象衛星［3］、高分辨率合成孔徑雷達［4］等對地觀測任務中。

對地觀測任務要求編隊中的衛星精確地保持相對位置和對地姿態，其中包含了編隊構型設計、軌道和姿態控制等多個問題?？臻g圓編隊構型得益于衛星到虛擬主星距離固定、飛行時消耗的能量較小等優勢，成為衛星編隊構型設計的首選［5］，主要被應用于電子偵察、對地三維立體成像以及地面覆蓋的合成孔徑雷達等場景。為了保持衛星編隊的空間圓構型，Yeh 等［6］和Hui 等［7］分別采用滑?？刂坪徒K端滑?？刂圃O計了衛星軌道控制器；Lee［8］將非線性擾動觀測器和漸進跟蹤控制相結合，使得衛星在受外部干擾影響的情況下仍能與虛擬主星保持空間圓編隊構型。此外，在姿態控制方面，現有的研究大多假設衛星始終運動在期望的軌道上，設計控制器實現姿態跟蹤［9-10］。

另一方面，由于長期工作在強輻射、超低溫的惡劣環境中，衛星部件往往因為老化或其他不可抗力的因素出現各種故障。而任何部件故障都可能導致系統性能的下降，甚至引發衛星編隊的不穩定。作為容錯控制的基礎和前提，衛星編隊的故障診斷與可重構性研究現已取得一定的成果，文獻［11-12］針對衛星編隊的部件故障，分別設計了基于模糊規則的分層故障診斷框架和基于廣義觀測器的故障檢測與估計方法，提出了可重構性條件。在故障可重構的前提下，有必要設計容錯控制策略，使得整個編隊的性能達到可接受的水平。目前，已有許多針對衛星部件故障的容錯控制研究［13-16］。例如，Dong 等［15］考慮衛星的執行器故障，設計了非線性自適應容錯反饋控制器，實現了衛星對目標位置和姿態的跟蹤。Nasrolahi 等［16］采用非線性觀測器和靜態估計器對傳感器故障進行診斷，并設計容錯控制器實現了衛星姿態的跟蹤同步。當存在衛星完全失效故障時，Yang 等［17］為保持原有的編隊構型，提供了用補充衛星替換故障衛星的方案。

然而，現有的對地觀測衛星編隊控制研究存在兩大局限性：1）大部分研究將軌道和姿態的控制分開考慮，忽略了衛星編隊控制固有的姿態和軌道之間的耦合效應［18-20］，這限制了模型與控制的精確性。2）對于對地觀測衛星編隊中出現完全失效衛星的情形，現有的解決方案通常為儲備備用衛星或發射新衛星來替換故障衛星，成本高昂且往往接替時間較長。

通過以上的分析和討論，本文針對衛星編隊對地觀測過程中的完全失效故障問題，提出了基于構型調整的協同容錯控制框架。首先，面向對地觀測任務要求，提出了衛星編隊的構型設計條件，以及故障發生后移除故障衛星的分布式構型調整方案；在此基礎上，考慮外部干擾以及軌道和姿態控制的耦合特性，設計了分布式魯棒控制器，使得故障發生前后衛星編隊都可以在有限時間內實現對期望構型的跟蹤；最后，通過數值仿真和實驗對所提方法的有效性進行了驗證。

1 姿軌耦合控制模型

1.1 符號定義

Im表示m維單位矩陣，0m×n表示m行n列的全0矩陣。對于集合S，定義其元素個數為|S|。定義列向量x?[x1…xn]T∈Rn×1和常數α∈R，sgn(·)為符號函數，diag(·)為對角矩陣，本文定義如下表達：

定義a×為向量a=[a1a2a3]T∈R3×1對應的如下形式反對稱矩陣：

1.2 衛星網絡

本文考慮由1 顆虛擬主星和N(N≥3)顆衛星組成的對地觀測衛星編隊。定義衛星集合Q?{1，2，…，N}，并將其劃分為P≥1 簇進行管理，以減少網絡管理開銷，提高網絡容量［21］，簇的集合記為S?{1，2，…，P}，簇p∈S中的衛星集合記為Qp。

為了在衛星之間傳遞姿軌信息并將觀測信息回傳至地面站，定義狀態信息圖為有向圖G1?{V，E1}，其中，V?S∪{0，P+1}表示節點集合，簇p∈S對應節點p∈V，虛擬主星對應節點0，地面站對應節點P+1。E1?V×V為由邊組成的集合，(w，v) ∈E1表示存在由節點w到節點v的邊，即節點v可以從節點w獲取狀態信息［22］。定義G1的鄰接矩陣為B?[bvw]∈R(P+2)×(P+2)，當(w，v) ∈E1時，bvw=1，否則，bvw=0。

為實現編隊控制，并減少通信干擾，提出以下連通性假設。

假設1.對于任意p∈V，若v=p+1 且v∈V，則bvp=1，否則bvp=0。

為簡單起見，將p+1和p-1記為p+和。

此外，為了感知故障信息并在編隊中傳遞，定義故障傳遞圖為無向圖G2?{V，E2}。其中，E2?{(w，v)|(w，v) ∈E1或(v，w) ∈E1或w=v，w，v∈V}，定義G2的鄰接矩陣為=∈R(P+2)×(P+2)，當(w，v) ∈E2時=1，否則=0。

1.3 坐標系

為了描述衛星和地面觀測目標之間的位置和姿態關系，介紹如圖1所示3個坐標系。

圖1 坐標系示意圖Fig.1 Diagram of coordinates

1）CI=[OxIOyIOzI]T表示慣性坐標系，原點位于地心，OxI軸指向春分點，OzI軸指向北極并平行于地球自轉軸，OyI軸在赤道平面內與另外2軸滿足右手定則。

2）CL=[OLxLOLyLOLzL]T為主星軌道坐標系，原點位于主星質心。OLxL軸沿地心矢量向外，OLyL軸沿切向速度方向，3軸滿足右手定則。

3）Ci=[OixiOiyiOizi]T表示衛星i(i∈Q)的本體坐標系，原點位于衛星質心，對地觀測天線沿Oizi軸安裝。

1.4 姿軌耦合模型

在本文中，假設地球是一個半徑為Re的球體，虛擬主星運行于橢圓軌道。衛星i∈Q與虛擬主星的相對軌道動力學為［23］：

式中：ρi?[xiyizi]T∈R3×1為衛星i在主星軌道坐標系CL中的位置向量；mi為衛星i的質量；FiL∈R3×1為控制力；Fdi∈R3×1為太陽光壓及三體引力等引起的軌道攝動力；矩陣A1和A2分別為：

式中：μ為地球引力常數；θ為主星真近點角；RT=‖RT‖是慣性坐標系CI中虛擬主星位置向量的范數，滿足

由于衛星推力器沿本體安裝，FiL可以寫為：

式中：Fi?[FixFiyFiz]T∈R3×1表示在衛星i本體坐標系Ci中的軌道控制力；ALsi為衛星i本體坐標系Ci到主星軌道坐標系CL的旋轉矩陣。

衛星i的姿態運動學和動力學分別表示為［24］：

對于i∈Q，由于Qiv和Ji有界，可得‖Di‖≤D*，其中D*為正常數。由式（13）可知，矩陣Bi包含衛星i本體坐標系Ci到主星軌道坐標系CL的旋轉矩陣ALsi，ALsi與衛星相對虛擬主星的姿態有關［25］，表明軌道和姿態的控制問題存在固有的耦合特性。

1.5 問題描述

本文考慮編隊中衛星的波束角為?，觀測目標是以主星星下點為中心，弧長為υ的球冠區域，其地心角為。對地觀測任務（如合成孔徑雷達等）要求編隊中各衛星的波束均覆蓋觀測目標，且相鄰衛星間維持相同星間距d。

如圖2 所示，平面Π 為主星星下點處的地球切平面，觀測目標在平面Π 內的投影是半徑為rc=Resinχ的圓Λ，衛星i波束覆蓋區域在Π 平面內的投影為橢圓Γi。若對任意衛星i∈Q，橢圓Γi均包含圓Λ，那么衛星編隊實現了對目標的觀測。

圖2 對地觀測示意圖Fig.2 Schematic diagram of earth observation

實現以上對地觀測任務要求，依賴于對期望構型的設計以及姿態和軌道層面精確的控制。定義每顆衛星的期望狀態為，本文的目標是在故障發生前后，設計滿足觀測任務的期望構型，并設計控制輸入Ui，使得衛星編隊可以在有限時間T內實現對期望構型的跟蹤，即：

2 構型設計與重構

2.1 無故障構型

將衛星按照簇從小到大依次編號，衛星i對應的初始編號為ki。為維持相鄰衛星間相同星間距d，本文選擇空間圓構型，衛星i∈Q在主星軌道坐標系CL中的期望位置為：

為實現對目標的觀測，令各衛星波束中心指向主星星下點，即要求衛星i本體坐標系Ci的Oizi軸與衛星i到虛擬主星星下點的向量gi重合。向量gi在衛星i本體坐標系Ci中為：

式中：li為主星軌道坐標系CL中衛星i到主星星下點的向量；r1=[-(RT-Re) 00]T為坐標系CL中虛擬主星到星下點的向量為坐標系CL衛星i的期望位置向量。根據姿態要求有：

式中：C·=cos(·)，S·=sin(·)；φi，θi和ψi分別為衛星i的滾動角，俯仰角和偏航角。

由式（18）可解出衛星i滾動角φi和俯仰角θi的約束：

由式（20）可知偏航角ψi不唯一，本文假設ψi=0。則衛星i的期望姿態為：

假設衛星i與虛擬主星的軌道高度之差遠小于主星的軌道高度，將衛星i到平面Π 的距離近似為虛擬主星的軌道高度h=RTmin-Re，其中，RTmin為主星軌道高度的最小值。定理1給出了空間圓構型半徑R的設計條件。

衛星編隊可以實現對目標區域的協同觀測。

證.衛星i的波束投影如圖3所示，其中，衛星i記為點A，主星星下點記為點D，BC為橢圓長軸。F為衛星i在平面Π 上的投影，令ξ=∠DAF=arctan在波束投影橢圓上任取一點E，由正弦定理可得：

圖3 波束投影圖Fig.3 Beam projection diagram

易知當sin ∠AED取最大值時最小。當E與C重合時，∠AED取最大值，由（22）得max(ξ) ≤?，為銳角，所以此時sin ∠AED取最大值，可得的最小值為：

注1.由式（15）可得，空間圓構型半徑R與星間距d有關。因此，基于定理1的構型設計條件，選取合適的星間距d能夠保證所設計的期望構型滿足觀測任務要求。

2.2 構型調整

考慮有M(M≤N-2)顆衛星在ts時刻完全失效，定義節點p∈V中的故障衛星集合為，其中。定義完全失效簇集合為Sf?本文僅考慮相鄰簇的衛星不全部失效的情形，即對于任意p∈S{P}，若p∈Sf，則p+?Sf。

為了移除故障衛星且保證剩余衛星間狀態信息與故障信息仍能傳遞，需要對衛星網絡進行重構，具體地，a）對任意簇p∈S，更新其衛星集合為調整狀態信息圖G1和故障傳遞圖G2，將其鄰接矩陣分別重構為B′和-，滿足：

上述算法的主要思想為：對任意p∈S，a）將故障衛星移出簇p；b）若簇p中所有衛星都失效，斷開圖G1、G2中與節點p相連的邊，并在圖G1中建立節點p-到p+的有向邊，在圖G2中建立節點p-與p+間的無向邊，恢復衛星網絡信息傳遞。

此外，為了保持緊湊構型以節約通信資源，需要調整移除故障衛星后的編隊構型。由式（15）可知，衛星的期望位置向量與衛星編號有關，下文將首先更新剩余衛星的編號，再根據新編號計算剩余衛星的期望位置和姿態。

定義節點1 到節點m所有的故障衛星集合為對于任意p∈SSf，集合Fp的構造方法與簇p內剩余衛星編號更新規則如圖5所示。

該算法首先將簇p中任意剩余衛星i編號ki與集合Fp中衛星編號比較，令ki減去Fp中編號小于ki的衛星數量，得到其新編號k′i。其次，更新故障衛星集合并向下一簇傳遞。

由圖5 所示流程圖可得，地面站收到故障衛星集合FP，可計算出編隊中完全失效的衛星數量為M=|FP|，剩余衛星集合為Q′=QFP。為維持相鄰衛星間相同的星間距d，將空間圓構型的半徑重構為：

衛星編隊在新的空間圓構型下能實現對目標的觀測。

證.為維持觀測任務，令編隊中剩余衛星的觀測天線仍指向虛擬主星星下點。由定理1中式（24）易得，編隊重構后，在波束投影橢圓內以主星星下點為圓心的內切圓半徑為：

若新的空間圓構型滿足定理2，則計算轉移相位角以調整剩余衛星的期望軌道位置。定義衛星i∈Q′需要轉移的相位角為ζi??+?i-γi，其中，?為集合Q′中編號1 衛星的目標轉移相位角，?i=為衛星i與編號1 衛星的相位差為衛星i的初始構型相位角。為了減小編隊衛星轉移的相位角，定義如下性能指標：

為了最小化J，將式（30）展開并對?求導，令=0 可得極點，在極點?0處，J取得最小值，?0表達式為：

地面站由式（27）計算重構軌道的空間圓半徑r，由式（31）計算使得J最小的相位角?0，并將它們發送給虛擬主星，由虛擬主星沿重構后的圖G1傳遞至各剩余衛星。

衛星i∈Q′在主星軌道坐標系CL中的期望位置向量調整為：

式（32）僅給出了期望位置向量，而隊形發生變化后，為了觀測地面目標，期望姿態也要相應調整，衛星i∈Q′的姿軌重構算法流程圖如圖6所示。

注2.上述3 個算法流程圖，僅通過衛星網絡運用相鄰節點傳遞的信息實現對自身信息的更新，均為分布式算法。

3 容錯控制框架設計

3.1 容錯控制框架

為了使得衛星編隊在有衛星完全失效后可以跟蹤上文設計的期望構型，本文設計了如圖7 所示的協同容錯控制框架，考慮式（11）描述的衛星編隊，編隊控制器的設計步驟如下：

1）故障發生前，對任意衛星i∈Q，根據式（15）和（21）設計初始編隊構型，并設計控制器使得衛星編隊跟蹤期望構型；

2）為移除故障衛星，且保證剩余衛星的連通性，采用圖4所示流程圖對衛星網絡進行重構，為維持緊湊構型以節約通信資源，采用圖5 流程圖對剩余衛星編號更新，采用圖6 流程圖對期望姿軌進行重構；

圖4 衛星網絡重構算法流程圖Fig.4 Flowchart of satellite network reconfiguration algorithm

圖5 編號更新算法流程圖Fig.5 Flowchart of satellite number updating algorithm

圖6 姿軌重構算法流程圖Fig.6 Flowchart of attitude and orbit reconfiguration algorithm

3）根據重構后的通信拓撲和期望構型，運用鄰居信息對任意衛星i∈Q′設計控制器，使得剩余衛星跟蹤新的期望構型，實現對地面目標的觀測任務。

注3.本節僅提出了衛星編隊協同容錯控制的框架，具體的控制器設計將在3.2節中給出。

3.2 滑?？刂坡稍O計

本節在圖7 所示協同容錯控制框架的基礎上，提出了基于非奇異終端滑?？刂疲?6］的分布式控制律。定義衛星i∈Q的協同誤差為：

圖7 編隊容錯控制框架Fig.7 Fault-tolerant control architecture

設計衛星i的滑模面為：

式中：si=[si1…si6]T∈R6×1為滑模變量；βi=diag(βi1，…，βi6)∈R6×6為正定對角矩陣；pi和bi為正奇數，且滿足滑模變量si的時間導數為：

引理1［27］.設a1，a2，…，an＞0，0 ＜c＜1，則a1，a2，…，an，c滿足以下不等式：

假設2［28］.對于任意衛星i∈Q，軌道攝動力Fdi和姿態干擾力矩δi有界，即對于擾動矩陣di，存在常數d*∈R+滿足：

定理3.考慮由式（11）描述的衛星i∈Q，基于假設1和假設2，選取非奇異終端滑模面（34），在如下控制器的作用下

衛星的狀態可以在有限時間內收斂到包含滑模面si=0的鄰域Ωs內，其中：

式（37）中：ki=diag(ki1，…，ki6) ∈R6×6為正定對角陣；αi∈R為控制器參數，且滿足0 ＜αi＜1。

證.選擇李雅普諾夫函數為：

當滑模變量不在域Ωs中時，ηim≥0，可得≤0，因此，滑模變量可以在有限時間內收斂到鄰域（38）內，證畢。

注4.由收斂域Ωs的表達式（38）可知，其范圍與擾動上界d*有關，增大kim可以減小收斂域Ωs范圍。

4 仿真校驗

4.1 數值仿真

本節將通過數值仿真來驗證本文所提協同容錯姿軌耦合控制框架的性能。假設由1顆虛擬主星和3 顆對地觀測衛星組成的編隊在太空中運行，衛星網絡的鄰接矩陣為：

其狀態信息圖如圖8所示。

仿真參數如表1 所示，其中ρi0表示衛星i在主星軌道坐標系CL中的初始位置向量，qi0和ωi0分別代表衛星i的初始四元數和初始角速度。虛擬主星軌道的半長軸a=6 902.9 km，偏心率e=0.007 2，軌道傾角i=1.701 1°，升交點赤經Ω=2.530 7°，初始真近點角θ0=0.34°，近地點角距ω=4.712 4°。觀測目標是以主星星下點為中心，弧長為υ=10 km的球冠區域，其投影圓Λ半徑為rc≈10 km，衛星的波束角為?=0.02 rad。由定理1 設計相鄰衛星星間距為對于式（15），空間圓半徑R=20 km，令

表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters

對集合Q中的衛星設計分布式控制器（37），配置控制器參數如下：β1=diag（6，7，6.5，5.5，6，5.5），β2=diag（8，7，8.5，6.5，6，6.5），β3=diag（39.6，40，40.5，6.5，6，8.5），p1=51，b1=31，p2=63，b2=39，p3=51，b3=35，k1=diag（28 260，25 680，28 560，300，350，200），k2=diag（18 260，18 680，18 560，300，350，200），k3=diag（8 360，8 680，8 660，300，350，200），α1=0.85，α2=0.85，α3=0.86。

軌道攝動力設置為：

式中：A0=1.5 × 10-5，ω0為軌道角速度?？紤]到衛星執行機構的限制，設定每顆衛星的最大軌道控制力為10 N，最大姿態控制力矩為4.5 Nm。

在仿真圖中，Exi，Eyi，Ezi，Eqi1，Eqi2和Eqi3分別代表衛星位置和姿態相對于期望值之間的誤差。如圖9 所示，編隊中的衛星1 在控制器的作用下，軌道誤差和姿態誤差分別在80 秒和5秒內收斂。如圖10 所示，衛星2 的軌道誤差和姿態誤差分別在100 秒和5 秒內收斂。如圖11 所示，衛星3的軌道和姿態收斂時間分別為250秒和10秒。

圖9 故障前衛星1與期望狀態之間的誤差Fig.9 Error between satellite 1 and expected states before failure

圖10 故障前衛星2與期望狀態之間的誤差Fig.10 Error between satellite 2 and expected states before failure

圖11 故障前衛星3與期望狀態之間的誤差Fig.11 Error between satellite 3 and expected states before failure

假設在ts=300 s時，對地觀測衛星編隊中的衛星1發生了故障，剩余衛星間的衛星網絡按圖4所示算法重構，狀態信息圖重構為圖12 所示，衛星網絡的鄰接矩陣為：

圖12 重構后的狀態信息圖Fig.12 State information graph after reconfiguration

調整編隊控制器的參數為β2=diag（15，16，15.5，6.5，6，6.5），β3=diag（35.4，36，40.5，6.5，6，8.5），α2=0.65，α3=0.68。如圖13 和圖14 所示，將衛星1 移出編隊，衛星2 和衛星3 可以在600 秒內完成對新的期望位置的跟蹤，因姿態調整幅度較小，姿態誤差收斂時間只有3 秒，衛星編隊在主星軌道坐標系CL內的整體運行軌跡如圖15所示。

圖13 故障后衛星2與期望狀態間的誤差Fig.13 Error between satellite 2 and expected states after failure

圖14 故障后衛星3與期望狀態之間的誤差Fig.14 Error between satellite 3 and expected states after failure

圖15 衛星編隊的空間圓軌跡Fig.15 Whole trajectory of the satellite formation

4.2 實驗驗證

本節通過3 自由度氣浮臺進行實驗，驗證所提協同容錯控制框架。氣浮臺主要構造如圖16所示，陀螺儀用于測量臺體的角速度和角加速度，星載計算機負責地面中心和氣浮臺之間的通信、將實驗過程中的數據傳輸至地面中心，且能將地面控制臺的指令進行處理編碼，傳輸給氣浮臺進行控制。4 個反作用飛輪中，飛輪1、2、3分別沿X、Y、Z軸正裝，飛輪4為斜裝飛輪。

圖16 氣浮臺主要構造Fig.16 The main structure of air-bearing platform

氣浮臺的簡要控制回路如圖17所示，在地面中心使用LabVIEW 軟件編寫衛星目標姿態以及控制器，并通過無線通信將目標姿態和控制指令輸入星載計算機，星載計算機將控制指令編碼后驅動飛輪對臺體進行姿態控制，陀螺儀測量氣浮臺的姿態信息并將其傳送到星載計算機，星載計算機通過對比目標姿態和當前姿態計算所需的控制力矩，驅動飛輪實現氣浮臺的姿態控制。

圖17 氣浮臺控制回路Fig.17 Control loop of air-bearing platform

實驗方案如下：考慮如圖8 所示的衛星編隊系統，在地面中心使用LabVIEW 軟件搭建衛星1 和衛星3 的姿軌動力學以及衛星2 的軌道動力學，采用氣浮臺模擬衛星2 的姿態運動，并假設在第7 秒衛星1發生故障。

氣浮臺實驗中衛星2 的參數如下所示，其轉動慣量為：

最大姿態角速度為0.8°/s，最大控制力矩為0.015 Nm。氣浮臺仿真的姿態由歐拉角表征，設定初始仿真參數為：俯仰角θ0=12.312°，滾動角φ0=5.276°，偏航角ψ0=7.318°。本文采用3 個正裝飛輪實現氣浮臺的姿態控制，將式（37）所示的衛星2 控制器中的參數調整為β2=diag（8，7，8.5，18，18，14.3），k2=diag（18 260，18 680，18 560，3，3.5，3），p2=33，b2=31，α2=0.84，其余參數與4.1節中的仿真參數相同。

實驗開始時，由3 顆衛星組成的編隊組成半徑為R=20 km 的空間圓，并對虛擬主星星下點區域進行觀測，則編隊中衛星對期望構型（15）、（21）進行跟蹤。故障發生后將衛星1 移出編隊，重構空間圓半徑為，衛星2 和衛星3 需要跟蹤的期望構型發生改變。

實驗中氣浮臺模擬的衛星2對期望姿態的跟蹤誤差如圖18 所示，由于在第7 秒衛星2 的期望姿態發生了改變，其姿態跟蹤誤差發生了小幅跳變。由圖可知，俯仰角、滾動角和偏航角的誤差均可以在20秒內收斂，即衛星2可以跟蹤期望姿態，上述實驗驗證了本文所提容錯控制框架的有效性。

圖18 衛星2氣浮臺仿真姿態誤差Fig.18 Attitude error of satellite 2 in air-bearing platform experiment

5 結論

對于發生完全失效故障的對地觀測衛星編隊，本文考慮軌道和姿態控制的耦合效應，建立了協同容錯控制框架，實現了故障發生前后衛星編隊對給定目標的觀測，并通過仿真和實驗對該框架進行了驗證。后續工作可以在本文的基礎上，圍繞模型不確定性的內容深入研究，考慮衛星在軌運行期間的質量和轉動慣量的變化對穩定性的影響。