基于掃頻檢測的微機械陀螺耦合誤差系數辨識

鄭旭東，夏陳浩，王雪同，佟文元

（浙江大學 航空航天學院，杭州 310007）

標度因數與零偏是微機械（Micro Electromechanical System,MEMS）陀螺兩個重要的性能參數，保持零偏和標度因數的穩定性是提升陀螺性能使其滿足導航需求的一個巨大的挑戰。然而，受到微機械加工工藝誤差、陀螺內部損耗以及誤差源溫度敏感性等因素的影響，陀螺敏感結構存在剛度耦合（又稱正交耦合）、阻尼耦合、力耦合等誤差因素，造成大量耦合誤差，嚴重影響了陀螺的零偏、標度因數穩定性等關鍵性能指標[1,2]。

為了減小耦合誤差的影響、提高微機械陀螺的性能，國內外諸多單位對包括剛度耦合、阻尼耦合、力耦合在內的耦合誤差特性與補償技術進行了理論分析與研究。其中，剛度耦合誤差信號與科氏信號相位正交，對陀螺性能的影響受解調相位的作用，文獻[3][4]通過設置正交抑制電極與正交抑制環路的方式抑制剛度耦合誤差；文獻[5]通過建立非理想陀螺系統實現耦合誤差的校正；文獻[6]在不改變結構和電極配置的前提下，基于檢測模態反饋信號進行正交補償。阻尼耦合誤差信號與科氏位移同頻且同相，直接影響陀螺輸出，文獻[7]采用模態反轉手段，將驅動模態偏轉到阻尼軸方向消除阻尼耦合誤差；文獻[8]利用能量衰減法對全角陀螺阻尼耦合誤差進行分析與補償。力耦合誤差信號與科氏位移同頻，且同時存在同相分量與正交分量，直接影響陀螺輸出，文獻[9]通過周期性地反轉驅動力的極性，實現同相力耦合誤差的自補償。

以上研究雖然在一定程度上抑制了耦合誤差的影響，但對耦合誤差的作用機理缺乏定量說明?；诖?，一些研究機構針對耦合誤差系數的辨識提供了一些方案。文獻[10]基于靜電負剛度效應改變諧振器的剛度分布與剛度值使其達到模態匹配，通過調諧電壓實現剛度耦合系數與激勵力偏轉角的辨識；文獻[11]根據振動和模態理論，基于掃頻測試數據實現了對剛度耦合系數、阻尼耦合系數與驅動力不對稱系數的辨識；文獻[12]同樣基于陀螺頻域特性，利用掃頻測試數據實現了對剛度耦合系數與阻尼耦合系數的辨識；文獻[13]根據非理想陀螺動力學方程結合衰減法實現了阻尼耦合系數的辨識；文獻[14]利用參量激勵技術實現力耦合系數辨識。

盡管上述研究對微機械陀螺內部的耦合誤差進行了深入分析并提供耦合誤差系數的辨識方案，但大都簡化了陀螺模型，只考慮了一部分誤差，限制了誤差系數的辨識精度。此外，多家機構基于陀螺振動的頻域特性，利用掃頻參數實現部分耦合誤差系數的辨識，但對該方法的適用性缺乏研究，而這會在辨識過程中引入其他誤差，導致辨識結果缺乏可靠性。

本文針對微機械陀螺阻尼耦合誤差、剛度耦合誤差、力耦合誤差三種耦合誤差，提供了一種基于掃頻測試的微機械陀螺誤差系數辨識方案，并通過數值仿真的形式對此方案進行詳細的驗證說明，最后以嵌套環陀螺為平臺完成了辨識實驗。通過誤差系數的辨識，可分析以上三種耦合誤差的特性與主要影響因素，為誤差補償與抑制、陀螺零偏性能的提高、結構優化、工藝改進提供指導。

1 微機械陀螺動力學方程拓展及誤差模型

本文討論的微機械陀螺工作在調幅（Amplitude Modulation,AM）模式，驅動模態為X 模態，檢測模態為Y 模態，通過解耦梁與中心質量塊相連，其簡化的動力學模型如圖1 所示。

圖1 非理想微機械陀螺簡化模型Fig.1 Simplified model of non-ideal MEMS gyroscope

理想狀態下動力學方程可寫為：

其中，m為陀螺敏感結構的質量；x、y分別表示驅動模態、檢測模態的位移；cxx、cyy分別表示驅動模態與檢測模態的阻尼；kxx、kyy分別表示驅動模態與檢測模態的剛度；Ω表示系統旋轉角速度；Fx、Fy分別表示驅動模態與檢測模態施加的激勵力，可表示為正弦信號：

其中，Fxd、Fyd分別表示驅動模態與檢測模態激勵力的幅值；ωd表示激勵力的頻率；φxy表示驅動模態與檢測模態激勵力之間的相位差。

對于實際的陀螺，在陀螺剛度梁、電極的微機械加工生產及裝配過程中，由于工藝誤差、應力的存在，陀螺敏感結構在幾何上不完全對稱，存在激勵電極不對準、驅動軸偏轉、檢測軸偏轉等耦合誤差因素[15,16]。

對于陀螺機械敏感結構存在的耦合誤差，圖1 虛線部分展示了幾何不對稱下陀螺敏感結構的模型，由于剛度軸偏轉角θω、阻尼軸偏轉角θτ、驅動軸激勵電極偏轉角θx、檢測軸激勵電極偏轉角θy的存在，陀螺兩個模態之間存在剛度耦合、阻尼耦合以及兩個模態激勵電極偏轉角引起的力耦合?？紤]以上誤差項，對陀螺動力學方程進行擴展，擴展的動力學方程可寫為[14]：

其中，cxy、cyx表示驅動模態與檢測模態之間的阻尼耦合系數，與阻尼軸偏轉角θτ有關；kxy、kyx表示驅動模態與檢測模態之間的剛度耦合系數，與剛度軸偏轉角θω有關，由于兩個模態的正交性，通?？烧J為cxy=cyx，kxy=kyx；θx表示驅動模態激勵電極偏轉角；θy表示檢測模態激勵電極偏轉角。

驅動模態諧振狀態下由科里奧利力引起的科氏位移可表示為：

其中，xcol、ycol分別表示驅動模態與檢測模態由科里奧利力引起的科氏位移；ωy表示檢測模態諧振頻率，且分別表示檢測模態響應的增益與相移；Qx、Qy分別表示驅動模態與檢測模態的品質因子；φx、φy分別表示驅動模態與檢測模態的振動相位；Ax、Ay分別表示驅動模態與檢測模態的振動位移幅值。

下面分別介紹三類耦合誤差主要產生機理及對陀螺輸出的影響。

1.1 阻尼耦合誤差

阻尼耦合誤差對應于阻尼耦合系數cxy、cyx，主要來源于陀螺敏感結構與襯底間的流體耦合與各向異性損耗[2]。

根據式(4)，若存在阻尼耦合，陀螺敏感結構的驅動模態振動會使檢測模態產生一個與驅動模態振動速度成正比的同頻阻尼耦合力，進而引起檢測模態上的阻尼耦合振動yc；同理，檢測模態振動也會引起驅動模態的阻尼耦合力，造成驅動模態上的阻尼耦合振動xc。諧振狀態下，有：

比較式(5)和式(6)可得，阻尼耦合誤差位移與科氏位移同頻且同相，難以通過信號處理的方式消除，直接影響了陀螺輸出。

1.2 剛度耦合誤差

剛度耦合誤差對應于剛度耦合系數kxy、kyx，主要來源于因加工誤差、殘余應力導致的剛度軸偏轉與彈性梁失衡，由剛度耦合引起的陀螺檢測模態位移輸出也稱為正交誤差[2-4]。

根據式(4)，若存在剛度耦合，陀螺敏感結構的驅動模態振動會導致檢測模態產生一個同頻剛度耦合力Fyk=-kyxx，該力與驅動模態振動位移成正比，引起檢測模態的剛度耦合振動yk；同理，檢測模態振動也會造成驅動模態的剛度耦合力Fxk=-kxyy，造成驅動模態上的阻尼耦合振動xk。諧振狀態下，有：

比較式(5)和式(7)可得，剛度耦合誤差位移與科氏位移同頻，但相位正交。因此，可通過相干解調技術實現科氏位移同相信號與科氏位移正交信號的分離，在最佳解調相位下消除剛度誤差位移對陀螺輸出的影響，但由于電路相移、驅動模態非受迫振動、陀螺參數的溫度敏感性等非理想因素的限制，最佳解調相位難以完全對準且非恒定，此時剛度耦合位移仍會影響陀螺輸出。

1.3 力耦合誤差

力耦合誤差對應于激勵電極偏轉角θx、θy，主要來源于加工誤差、應力影響、致動過程造成的激勵電極之間的不對準和不平衡[2,11]。對式(4)右邊整理得：

其中，λxy、λyx為力耦合系數；Fxcos、Fycos分別表示驅動模態與檢測模態的同軸激勵力。

根據式(4)可得，若驅動模態存在激勵電極偏轉角，在驅動激勵電極施加激勵信號時，會在檢測模態產生激勵信號分量Ffxy=Fxsinθx，其大小與驅動激勵信號成正比，進而引起檢測模態上的力耦合振動yf；同理，若檢測模態存在激勵電極偏轉角且施加激勵信號時，會在驅動模態產生激勵信號分量Ffyx=-Fysinθy，造成驅動模態力耦合振動xf。諧振狀態下，有：其中，φxy為檢測激勵信號與驅動激勵信號之間的相位差。

比較式(5)和式(9)可得，力耦合誤差位移與科氏位移同頻，且存在同相分量與正交分量。由于諧振相位接近 -π/2，力耦合位移與科氏力同相的分量占主導，直接影響了陀螺輸出，且難以通過信號處理手段消除。

2 基于掃頻的誤差系數辨識方法

2.1 理論推導

本文需要辨識的耦合誤差系數包括剛度耦合系數kxy=kyx、阻尼耦合系數cxy=cyx、驅動模態到檢測模態的力耦合系數λyx和檢測模態到驅動模態的力耦合系數λxy。

在陀螺AM 開環工作模式下，檢測模態不加力，將動力學方程簡化，阻尼系數與剛度系數用陀螺品質因子、諧振頻率表示，對式(4)整理得：

其中，系數η=cxy/m=cyx/m，α=kxy/m=kyx/m。

為了得到角速度輸出，需要在后端電路上對兩個模態的位移輸出進行采樣、濾波等數據處理，采樣后的驅動模態、檢測模態位移信號可以視為離散時間序列x[t]、y[t]，根據離散傅里葉變換：

將式(11)代入式(10)后化簡得到：

在系統無外界角速度輸入的情況下，可解得驅動模態與檢測模態振動位移信號的離散時間傅里葉變換。

其中，

將式(13)中的兩式相除，并忽略兩個系數相乘的小量，化簡得到：

取式(15)的實部，用掃頻設定的頻率ωn換kn得到：

其中，S(ωn)是通過掃頻測試得到的驅動模態和檢測模態的幅頻、相頻數據計算得出，具體步驟見3.3 節；a(ωn)、b(ωn)、c(ωn)由掃頻得到的陀螺品質因子和諧振頻率確定。

式(16)用矩陣整理，令：

則Y=XP。誤差系數估計值為：

同理，在陀螺驅動模態不加力、檢測模態加力的情況下，可以實現對檢測模態到驅動模態的力耦合系數λxy的辨識，本文不再說明。文中提到的力耦合系數均指驅動模態到檢測模態的力耦合系數λyx。

2.2 誤差系數辨識精度影響因素數值仿真分析

基于上述耦合誤差系數辨識的理論推導過程，可以看到，耦合誤差系數的辨識精度受到陀螺本身結構參數、幅值測量誤差、相位測量誤差的影響。由于各種影響因素互相耦合，因此采用數值仿真方式對此方法辨識的耦合誤差系數效果進行分析，得出此方法的適用性，并給出辨識結果有效與否的判斷依據。

微機械陀螺的結構參數設置如表1 所示。

表1 微機械陀螺結構參數Tab.1 Structural parameters of MEMS gyroscope

仿真流程示意圖如圖2 所示。

圖2 仿真流程示意圖Fig.2 Simulation process diagram

根據耦合誤差系數設置確定微機械陀螺拓展的動力學方程，結合陀螺結構參數與掃頻輸入參數可以解得陀螺驅動模態與檢測模態的振動位移信號。在一定測量誤差下，根據驅動模態、檢測模態的振動幅值與相位對耦合誤差系數進行辨識，并與設置值進行比較，研究此方法對于力耦合系數、阻尼耦合系數和剛度耦合系數的辨識準確度，用理論相對誤差 ΔRerr(i)表示：

其中，Rids(1)、Rids(2)、Rids(3)分別表示仿真辨識的力耦合系數、阻尼耦合系數和剛度耦合系數；Rset(1)、Rset(2)、Rset(3)分別表示設置的力耦合系數、阻尼耦合系數和剛度耦合系數。

2.2.1 不同耦合誤差系數辨識結果的理論相對誤差

根據微機械陀螺動力學方程，不同的耦合誤差系數大小會對陀螺的振動造成不同的影響。為更好地表示耦合誤差系數與陀螺主要結構參數之間的關系，定義耦合誤差比例系數。其中，阻尼耦合誤差比例系數k1=mη/cxx；剛度耦合誤差比例系數k2=mα/kxx，k1、k2與力耦合系數λyx的取值范圍均在-1～1 之間。因此，耦合誤差系數可以表示為：

由于耦合誤差比例系數的符號不影響最終辨識精度，因此將不同的耦合誤差比例系數設置在0～1 之間，對采用此方法辨識的耦合誤差系數理論相對誤差進行仿真分析，結果如圖3 所示。由圖3 可知：隨著力耦合系數的增大，阻尼耦合系數與剛度耦合系數辨識結果的理論相對誤差會隨之增大，而力耦合系數辨識結果的理論相對誤差則先減小后增大；阻尼耦合系數的大小對力耦合系數和剛度耦合系數的辨識影響不大，但與阻尼耦合系數本身辨識結果的理論相對誤差呈反相關趨勢；隨著剛度耦合系數的增大，三種耦合系數的辨識的理論相對誤差均呈上升趨勢。若取2%為耦合誤差辨識結果有效性的判斷依據，可以發現，使用該方法辨識耦合誤差系數時，阻尼耦合系數的辨識存在巨大的誤差，因此需對辨識結果進行可靠性的校驗。

圖3 不同耦合誤差比例系數下辨識結果的理論相對誤差Fig.3 Theoretical relative error of identification results under different coupling error proportional coefficients

2.2.2 幅值和相位測量誤差對辨識結果的影響

根據此方法論述的耦合誤差辨識模型，實際測試中的幅值和相位誤差直接關系到耦合誤差系數辨識的精度。為探究幅值和相位測量誤差與耦合誤差系數辨識精度的關系，在現有測試條件下驗證此方法的可行性，并進行仿真分析。

對于測量過程中的幅值測量噪聲，用幅值噪聲峰峰值NA衡量，表示對同一幅值信號采樣過程中最高值與最低值的差值。幅值越大，幅值誤差也越大。因此，對包含噪聲的幅值采樣結果，本文將其表示為：

其中，R(ω)為-1～1 之間的隨機函數，Ax(ω)、Ay(ω)分別表示含噪聲的驅動模態與檢測模態的振動位移幅值數字量分別表示不含噪聲的驅動模態與檢測模態的振動位移幅值數字量。

對于測量過程中的相位誤差，包含相位偏移不對稱度ΔΨ與相位測量噪聲。其中，相位偏移不對稱度指的是驅動模態相位測量誤差與檢測模態相位測量誤差的差值；相位測量噪聲用相位噪聲峰峰值Nφ衡量，表示對同一相位信號采樣過程中最高值與最低值的差值。因此，對包含測量誤差的相位采樣結果，本文將其表示為：

其中，ΔΨ1與ΔΨ2分別表示驅動模態與檢測模態的相位測量偏移，且分別表示含噪聲與偏移的驅動模態和檢測模態的振動相位；分別表示不含噪聲與偏移的驅動模態和檢測模態的振動相位。

仿真結果如圖4-圖6 所示。

圖4 幅值噪聲峰峰值對耦合誤差系數辨識影響Fig.4 The influence of amplitude noise peak to peak on the identification of coupling error coefficients

圖5 相位噪聲峰峰值對耦合誤差系數辨識影響Fig.5 The impact of phase noise peak to peak on the identification of coupling error coefficients

圖6 相位偏移不對稱度對耦合誤差系數辨識影響Fig.6 The impact of phase offset asymmetry on the identification of coupling error coefficients

由圖4-圖6 可以看出：幅值噪聲峰峰值對耦合誤差系數辨識準確度的影響不大；隨著相位噪聲與相位偏移不對稱度的增大，耦合誤差系數辨識結果的理論相對誤差均顯著上升，但剛度耦合系數與力耦合系數的辨識結果在多數情況下仍處在可接受范圍內。此外，阻尼耦合系數的辨識結果對幅值、相位的測量誤差十分敏感，在較大的測量誤差下難以有效辨識。

3 基于掃頻測試的誤差系數辨識實驗測試

以嵌套環陀螺為例進行測試，驗證本文的微機械陀螺耦合誤差辨識方法，并給出精度分析。測試平臺實物圖如圖7 所示，包括模擬板與數字板，通過串口接收控制指令并輸出測試數據。實驗所用的陀螺與控制環路如圖8 所示。由FPGA 生成驅動力與載波信號，并對驅動模態與檢測模態的振動信號進行信號處理，最終通過串口輸出：驅動模態振動幅值、驅動模態振動相位、檢測模態振動幅值、檢測模態振動相位和掃頻頻率。

圖7 測試平臺實物圖Fig.7 Actual diagram of the test platform

圖8 微機械陀螺控制環路Fig.8 The control loop of MEMS gyroscopes

3.1 陀螺模態參數掃頻辨識

圖9 給出陀螺驅動模態和檢測模態的掃頻測試曲線，根據曲線的峰值與半功率點可求出驅動模態與檢測模態的諧振頻率與品質因子，結果見表2。

表2 模態參數辨識Tab.2 Modal parameter identification

圖9 掃頻檢測結果Fig.9 The results of swept-frequency measurement

根據模態參數辨識結果，可獲得式(17)中的X矩陣。

3.2 幅值和相位修正

在實際陀螺中，驅動模態振動信號Axa與檢測模態振動信號Aya經過電容-電壓（Capacitance-Voltage,CV）測量模塊轉換為電壓信號，再由ADC 模塊轉化為數字信號Axd、Ayd，解調后得出驅動模態與檢測模態各個頻率對應的幅值與相位信息。然而受加工誤差、電路元器件等因素影響，檢測到的位移數字量、相位與實際值相比存在偏差，因此需要進行幅值和相位修正。

對于驅動模態，振動位移可寫為

其中，SFx為驅動模態實際位移到位移數字量的轉換系數；SFAV_x為驅動模態激勵電壓數字量Vxd到驅動力Fxa的轉換系數。

同理對于檢測模態，可以得到：

其中，SFy為檢測模態實際位移到振動位移數字量的轉換系數；SFAV_y為檢測模態激勵電壓數字量到驅動力的轉換系數；Vyd為檢測模態激勵電壓數字量。

給兩個模態施加同樣大小的激勵電壓數字量，即Vyd=Vxd=Vd，考慮SFAV_x=SFAV_y，則此時兩模態實際位移到位移數字量的轉換系數比kSF為：

測試數據及結果如表3 所示。

表3 轉換系數比辨識Tab.3 Conversion coefficient ratio identification

由于相位偏移不對稱度對阻尼耦合系數的辨識有極大的影響，而元器件、FPGA 內部的相位延遲難以測量，因此在相位修正時，本文將理論諧振相位與實際諧振相位的差值作為相位補償量。理論上，陀螺在諧振狀態時諧振相位為-90 °，記實驗測得的驅動模態與檢測模態相位信號分別為φxg(ω)、φyg(ω)，則補償后的驅動模態相位信號為：

補償后檢測模態相位信號為：

考慮到幅值和相位測量誤差對辨識結果的影響，由于驅動模態和檢測模態的電容檢測電路相同，在8014.3 Hz 驅動力頻率下驅動陀螺，得到不同采樣時刻下驅動模態振動幅值數字量Ax(t)與振動相位φx(t)如圖10 所示。因此，幅值噪聲峰峰值NA與相位噪聲峰峰值Nφ可表示為：

圖10 驅動模態幅值與相位原始信號Fig.10 Raw amplitude and phase signal of drive mode

根據圖4 和圖5，阻尼耦合系數辨識結果的理論相對誤差大于1000%，因此需對原始信號進行低通濾波處理，處理后的結果如圖11所示。此時阻尼耦合系數辨識結果的理論相對誤差約為9%。

圖11 驅動模態幅值與相位低通濾波后信號Fig.11 Amplitude and phase signal after low-pass filtering of drive mode

3.3 耦合誤差系數辨識及可靠性衡量

在陀螺驅動模態施加掃頻激勵信號，檢測模態不加力，獲得驅動模態與檢測模態的幅頻、相頻信息并進行低通濾波處理，進一步獲得式(16)中Y(ωn)與X(ωn)。其中，對于驅動模態，記測得的幅值信號為Ax(ω)，補償后的相位信號為φx(ω)，則驅動模態頻域信息可表示為X(ω) =Ax(ω) cos(φx(ω)) +i ?Ax(ω) sin(φx(ω))；對 于檢測模態，記測得的幅值信號為Ay(ω)，補償后相位信號為φy(ω)，考慮到實際位移到位移數字量的轉換系數，可以將檢測模態的頻域信息表示為

辨識結果如表4 所示。

表4 耦合誤差系數辨識結果Tab.4 Identification results of coupling error coefficients

將辨識出來的耦合誤差系數代入式(10)，得到擬合的掃頻曲線，與實測掃頻曲線的對比如圖12 所示。

圖12 實測數據與擬合數據對比Fig.12 Comparison between measured data and fitted data

運用曲線回歸擬合優度RNL進行分析。若用ymea[ωi]表示實測量，yfit[ωi]表示擬合量，則擬合優度RNL的計算公式為：

式(29)將 {ymea[ωi]}與 {yfit[ωi]}視為N維空間的點，利用兩點之間的距離表示擬合的精度。若距離越小，則RNL值越大，擬合精度越高，耦合誤差系數辨識的精度也越高。計算圖12 中各擬合曲線的擬合優度，結果如表5 所示，可見整體擬合精度非常高。

表5 各曲線擬合優度Tab.5 Goodness of fit of each curve

進一步考慮2.2.1 節分析，將表2-表4 的測試結果代入式(10)-式(18)，在表4 辨識結果下計算耦合誤差辨識結果的理論相對誤差，結果如表6 所示。

表6 當前參數下耦合誤差系數辨識結果理論相對誤差Tab.6 Theoretical relative error of coupling error coefficient identification results under current parameters

4 結論

本文針對微機械陀螺中耦合誤差，分析了剛度耦合、阻尼耦合、力耦合對陀螺輸出的影響，提出了一種僅根據掃頻檢測數據即可實現的耦合誤差系數辨識方案，實現了對剛度耦合系數、阻尼耦合系數和力耦合系數的辨識，并對該方法的辨識準確度進行分析，給出擬合優度與理論相對誤差兩種衡量指標。結果表明：不同陀螺的結構參數、幅值測量誤差、相位測量誤差均影響辨識準確度；三類誤差系數中，阻尼耦合系數的辨識準確度最低，且極易受相位測量誤差的影響；對幅值、相位測量結果進行低通濾波能有效提高辨識結果的準確度。實驗結果為：該陀螺力耦合系數、阻尼耦合系數、剛度耦合系數分別為-0.000374、-6.96×10-8N·s/m、0.103 N/m；理論相對誤差分別為0.542 ppm、6.09%、0.205 ppm；辨識曲線的擬合優度為0.99。