文化之所向 素養之所往
——2022年浙江省各地區數學中考文化類試題的賞析

? 浙江省杭州市臨安區青山湖科技初級中學 李建英

? 浙江省杭州市上城區教育學院 易良斌

《義務教育數學課程標準(2022年版)》在課程內容中指出“關注數學學科發展與數學文化,繼承和弘揚中華優秀傳統文化”[1],旨在教學活動中創設和積累以數學文化為背景的問題,滲透數學文化,突出文化價值,讓數學文化落地生根.

1 文化試題數量、內容與類型剖析

通過對2022年浙江省九個地區中考數學試卷中數學文化類試題的統計,發現共有20道以數學文化為背景的試題,其中杭州、寧波、溫州卷各有3題,其他地區除麗水卷外均有2題.中考數學文化試題的具體內容和考查知識點見表1.

表1

通過對2018-2022年浙江省中考數學試卷的分析,發現數學文化類試題在2022年的比重尤其突出(如圖1),試題內容除了涉及數學史、數學美等,還增加了更多數學與人文社會及其他學科融合的試題.

圖1

2 數學文化類試題賞析

對2022年浙江省中考數學文化類試題進行賞析,發現不同的試題背景下,數學文化創造著不同的價值.命題者分別從融合多學科、滲透數學史、凸顯數學美、串聯現代科技的視角挖掘數學文化的工具價值、人文價值、思維價值和素養價值.

2.1 融合多學科,體現工具價值

例1(嘉興卷·15)某動物園利用杠桿原理稱象:如圖2,在點P處掛一根質地均勻且足夠長的鋼梁(呈水平狀態),將裝有大象的鐵籠和彈簧秤(秤的重力忽略不計)分別懸掛在鋼梁的點A,B處,當鋼梁保持水平時,彈簧秤讀數為k(單位:N).若鐵籠固定不動,移動彈簧秤使BP擴大到原來的n(n>1)倍,且鋼梁保持水平,則彈簧秤讀數為(單位:N)(用含n,k的代數式表示).

圖2

2.2 滲透數學史,體現人文價值

從2022年浙江省中考數學文化類試題的類型可以看出,數學史占總數量的44%,足以看出命題者對數學史的重視程度.不同的命題人會選擇不同的載體融入數學史,有外揚型、內嵌型和引譯型.外揚型是基于數學家的著名成就,增設條件,改變情境.內嵌型是問題本身看不出數學文化,但在解題中需要借鑒數學史帶來的啟示解決問題.引譯型是直接引用數學著作中的問題,用譯文映射到考題中.

2.2.1 外揚型滲透,展示文化貢獻

圖3

解決此題的過程貫通了正方形、銳角三角函數、直角三角形的性質、相似三角形、解直角三角形等初中數學幾何核心知識間的聯系,同時滲透了方程、轉化、數形結合等思想方法.解題余味濃厚,計算發現C是EH的黃金分割點,L是CM的黃金分割點.通過此題不僅向學生展示了文化貢獻,提升思維層級,還寓意著在巨人的肩膀上不斷前行.

2.2.2 內嵌型滲透,凸顯文化意義

圖4

賞析：趙爽弦圖中蘊含著豐富的幾何特征和代數結構,被稱為“中國數學界的圖騰”.命題者在反比例函數的背景下將趙爽弦圖內嵌其中,將數形結合思想體現得酣暢透徹.解題的關鍵是需要將圖中的“斜”正方形轉為“正”正方形,俗稱“改斜歸正”.構圖的啟發來源于趙爽弦圖,既可以如圖5構造外弦圖,也可以如圖6構造內弦圖.將數學文化以這種內嵌式的方式進行滲透,增強學生的幾何直觀、模型意識、模型觀念等核心素養,凸顯數學文化的意義.

圖5

圖6

2.2.3 引譯型滲透,揭示文化發展

賞析：《九章算術》是一本反映我國古代數學成就的重要著作,全書總結了246個古人在生產生活中遇到的數學問題,此題就是其中之一.命題者既關注情境應用,也關注文化滲透.首先以引譯型的方式將古代問題呈現在考生面前,引用部分是為了提升學生對我國數學成就的文化自信,增強民族自豪感;譯文部分揭示了文化的發展,也為保證考試的公平性.本題主要考查學生根據具體問題中的數量關系列出方程,建立模型觀念.

2.3 凸顯數學美,體現思維價值

圖7

2.4 關聯前瞻性,體現素養價值

圖8

圖9

(1)點F的高度EF為_____m;

(2)設∠DAB=α,∠D′A′B′=β,則α與β的數量關系是.

賞析：此題以光伏發電的場景為背景,看似是一個陌生的背景,實則在浙教版七年級下冊第一章閱讀材料“地球有多大”中就有預設,因此在考試中同樣具有公平性.我國在太陽能光伏發電產業的發展占據全球前列,因而該試題是展現數學成果在人類發展中的作用.命題者將光伏發電這樣的現代科技抽象成數學問題,反映數學應用于生活,服務于生活.解決本題的關鍵是靈活運用光的反射原理,如圖11,結合特殊角的三角函數值、平行線的性質,通過∠NAG=∠MA′G,轉化得到∠FAN與∠FA′M的數量關系,進而求解.解決此題既可以讓學生體會數學在社會和科技發展中的應用,又能培養學生用數學的眼光觀察世界,用數學的思維思考世界,用數學的語言表達世界[2],這正是《義務教育數學課程標準(2022年版)》中提出的數學課程要培養的學生核心素養的三個方面.

圖11

3 教學啟示

3.1 以“著名與成果”為引領,挖掘數學文化

在教學中,教師要善于挖掘教材中關于數學成果的介紹.如,浙教版教材在八年級上冊的作業題中記載有《九章算術》中的一道數學題[3],教學中要以此為契機,組織學生開展對該書的閱讀活動,弘揚民族自信,拓寬學生視野,并在閱讀后征集更多有趣的數學問題進行研究.又如,浙教版八年級下冊第二章閱讀材料中記載了《幾何原本》《大衍歷》《田畝比類乘除捷法》等書中對于一元二次方程的不同解法,教師在教學中可嘗試讓學生整理解法,關注古代解法與現代解法的異曲同工之妙,體會數學思想方法,也可以找出不同解法的優缺點,培養反思質疑精神.

3.2 以“綜合與實踐”為依托,著力素養提升

筆者對浙教版六本初中數學教材的“綜合與實踐”內容進行了整理,共有110個學習資源,這些資源大多集中在閱讀材料、設計題和探究活動的位置,這些位置的內容有助于學生更系統化、整體化和結構化地理解數學知識,使學生更有效地進行知識遷移.如浙教版九年級上冊第一章的設計題,需要學生設計實驗探索一個物體自由沿著斜面作直線運動時,路程與時間的關系.學生親自經歷設計方案、實驗過程、獲取數據以及畫圖、猜想函數式、檢驗等各環節,鞏固二次函數的有關知識,培養模型觀念,使得學生的思維具有開放性和獨創性.又如浙教版九年級下冊第一章探究活動,需學生探究sin18°和黃金比的關系,教學中可以融入對黃金三角形、五角星等圖形的探究,引導學生一題多解,使學生思維具有統整性和靈活性.

3.3 以“跨學科學習”為契機,拓展數學價值

為了拓展數學的價值,跨學科的研究是必不可少或缺的.跨學科學習是指從課內到課外開展項目化學習,以提升學生從數學的角度觀察真實世界,解決現實問題的素養,感受數學與其他學科的融合,培養學生的多元化思考.如“體育與心率”項目以怎樣運動更健康更有效為驅動性問題,融合了模型觀念,依托信息技術,融合了生物學知識儲備和體育運動數據收集處理等內容.通過項目學習,學生在建立數學模型的過程當中提升運用知識分析問題、解決問題的能力.以“跨學科學習”為契機培養學生的實踐與創新能力、應用意識與合作意識,感悟數學的應用價值和現實意義,進一步激發學習數學的興趣,增強學習數學的信心,最終實現立德樹人的育人目標.

命題者將數學文化融入試題,教師將數學文化滲入教學,學生將數學文化擁入靈魂[4],只有教、學、評一致,方能發揮數學文化的最大價值,促進數學素養的全面形成.