全向機器人在斜坡過渡中的穩定性研究

林顯新1 蘇茜1 葉城保1 李國進

摘 要：無人餐廳中全向機器人在架空軌道上從水平面運動到斜坡θ過程中，作用在麥克納姆輪垂直方向的重力發生變化，破壞運動系統的穩定性，針對該運動過程系統穩定性差，穩定調整時間長等問題，提出采用遺傳算法與PID控制相結合的方法對運動系統進行優化。本文構建全向機器人在斜坡過度中運動系統的數學模型，定值θ為擾動量，通過分析系統函數特征根在[s]復平面內的位置判定系統收斂性。采用改進遺傳算法對PID控制器參數進行優化，研究系統穩定響應狀態下的最優目標函數和最佳適應度變化趨勢，獲得Kp、Ti和Td參數。通過MATLAB/Simulink仿真結果表明，遺傳算法與PID相結合的控制方法在迭代2次就獲得最優控制目標函數，有效抑制了穩態誤差，縮短穩定調整時間，提高了運輸效率，對后續研究變值θ擾動的自動校正提供了一定參考價值。

關鍵詞：全向機器人 遺傳算法 PID 系統穩定性

1 引言

隨著計算機控制技術與智能化的發展，服務類機器人得到快速發展，加上新冠疫情的影響，餐飲行業為了減少服務人員與消費者之間的接觸，很多餐館開始向“自主點菜+消費”的運營模式轉型[1]。采用麥克納姆輪的全向機器人在架空軌道上完成從廚房至飯桌的菜肴運輸任務，其穩定性是決定無人餐廳運營效率的主要指標。本文通過分析機器人從平面過渡到斜坡上的運動狀態，構建機器人在斜坡上運動的數學模型，優化其運動穩定性，提高菜肴運輸效率。

2 構建運動系統模型

2.1 系統受力分析

全向機器人在水平面運動，四輪在牽引力作用下克服摩擦力可實現加減速、勻速運動，系統穩定性較好[2-3]。當從水平進入斜坡過程，受斜坡角度θ變換作用，阻力變為重力分量和摩擦力之和，系統穩定性發生改變，全向機器人驅動模式和斜坡運動的受力分析圖分別如圖1和圖2所示。

2.2 構建系統方框圖

全向機器人采用STM32F103FD單片機作為控制核心，4路輸出模塊驅動4個步進電機帶動ABAB型麥克納姆輪實現向左、向右和前進、后退運動[4-5]。機器人下方連接托盤用于盛放菜肴，通過架空軌道實現菜品從廚房到餐桌的運輸，其系統數學模型的方框圖如圖3所示。

系統前向通道環節包括驅動環節G1和執行環節G2，測量裝置為同軸編碼器。驅動系統在理想作用下，控制器作用于輪系輸出的牽引力為fe1。

機器人與菜肴的質量約m，速度為v1。對式（1）作函數Laplace變換得出驅動環節的傳遞函數G1（s）。

全向機器人在角度為θ的斜坡上運動時，根據牛頓第二定律建立單級倒立擺系統，機器人在牽引力作用下克服摩擦力和重力分量運動，其方程式如下所示。

fe2為機器人在斜坡上的驅動力，輪子與軌道的摩擦力為fu=umgcosθ，斜坡上重力分量為fg=mgsinθ。

全向機器人在斜坡上的運動系統開環傳遞函數為HK（s）=NG1（s）G2（s），N表示系統干擾沖擊非線性部分的描述函數，可作為一個變量的增益處理，即N>0。

運動系統閉環傳遞函數為HB（s）=HK（s）/1+

KHK（s），K為反饋環節。

全向機器人在斜坡上的運動系統是一個二階系統，由式（6）的分母可以得到二階系統的特征方程。

此方程的兩個特征根為s1和s2。

當斜坡角度0<θ<90°，cosθ=[0，1]，sinθ

=[0，1]，m=13.5kg，K>0，若同比例反饋時，K取值為1，輪系與架空軌道之間的滾動阻力系數u=[0.010，0.018]，本文取折中值u=0.015。因此有（um2gcosθ+m2gsinθ）>0，（um2gcosθ+m2gsinθ）2-4m2=（um2gcosθ+m2gsinθ+2m）（um2gcosθ+m2gsinθ-2m），而um2gcosθ+m2gsinθ+2m>0，（um2gcosθ

+m2gsinθ-2m）=m[mg（ucosθ+sinθ）-2]，利用MATLAB數學實驗，對[mg（ucosθ+sinθ）-2]取極值，仿真程序為：

1.x=0：pi/100：pi/2;

2.y=13.5*10*（0.015*cos（x）+sin（x））-2;

3.min（y）;

4.max（y）;

實驗仿真結果有min（y）=0.025>0，

max（y）=133>0。因此有m[mg（ucosθ+sinθ）-2]

>0，（um2gcosθ+m2gsinθ）2-4m2>0，特征

根s1，2<0。

根據系統傳遞函數特征方程極點在[s]平面內的分布情況判定系統的穩定性，由于特征方程極點值s1，2<0，分布在[s]平面的左半部分，其特征根具有負實根或其負根有負實部，可以判定該二階系統函數響應收斂穩定，當全向機器人在θ=30°的斜坡上運動，菜肴與機器人質量為1.35kg，摩擦系數u=0.015，N=700，K=500，則系統傳遞函數式（6）化簡為

抽樣控制點時長為1ms，假定系統在單位脈沖輸入信號作用下，觀察系統的響應輸出，編寫系統響應的MATLAB控制程序。

1.num=[382.5];

2.den=[1 5.13 273.2];

3.sys=tf（num，den）;

4.t=0：0.02：10;

5.h=impulse（num，den，t）;

6.figure（1），plot（t，h）;

7.xlabel（'Time/s'）;ylabel（'State response'）;

系統響應的實驗仿真結果如下圖4所示。

從系統響應狀態波形圖可以得出，系統在經歷多次振蕩后，并在t=3s后趨于穩定，為減少振蕩對系統的沖擊影響，縮短穩定時間，需對系統結構進行優化。

3 系統穩定性優化

3.1 串聯PID控制器

由于被控對象的復雜性和干擾的不確定性，傳統的PID控制方式在參數整定方面具有較大的局限性[6-7]，僅依靠技術人員的工程經驗隨機拼湊參數進行校正，選值時間長、誤差大，影響系統校正效果。

在已知系統函數穩定收斂的前提下，為優化系統的響應性能，消除偏差提高響應的快速性和準確性[8]，本文采用智能算法中的遺傳算法設計PID控制器，將采樣數據和參考值進行比較獲得差值，通過對這個差值迭代、遺傳控制獲得PID校正參數。再把這個差值用于PID控制器重新計算新的輸入值對系統進行校正，使系統的目標值保持或者達到參考值范圍。串聯PID控制器的系統數學模型如圖5所示。

PID控制器作為線性控制器，根據斜坡角度θ的改變，全向機器人從水平面進入斜坡的速度將根據斜度θ變化而發生變化，單片機輸出給系統的給定速度值Vd（t）與系統實際輸出的速度值Vo（t）構成控制偏差為ε（t）。

根據PID控制原理，對偏差進行校正獲得新的速度值V（t）。對控制偏差進行比例、積分和微分變換的PID控制規律為

式中，Kpε（t）為比例控制項，Kp為PID控制的比例系數；為積分控制項，Ti為積分時間常數；為微分控制項，Td為微分時間常數，將PID控制規律轉化成傳遞函數的形式

通過式（10）可知，全向機器人在斜坡的運動系統是一個二階系統，根據二階系統的特性，結合系統特定的性能指標，采用遺傳智能算法整定PID參數Kp、Ti和Td。

3.2 遺傳算法整定PID參數

遺傳算法借鑒于生物界自然選擇和自然遺傳學機理上的迭代自適應概率性搜索，模仿生物進化步驟，通過引入了選擇、交叉和變異算子，進而獲得最優種群[9-10]。

3.2.1 搭建遺傳算法的框架

本文設計了遺傳算法整定PID的Kp、Ti和Td參數，通過構造適應度函數、交叉算子、變異算子和約束條件，從上一代種群中將適應度較高的個體選擇出來，用以優化種群，從優化出來的種群中隨機抽取一對個體，進行多位交叉，生成新群體，達到增大搜索空間的目的，防止選擇和交叉丟失而設置約束條件的變異函數，以強化搜索效率和搜索能力，提高收斂能力。

3.2.2 設計遺傳算法的步驟

（1）確定決策變量和約束條件

PID控制的三個參數為Kp、Ti和Td，根據參數的物理意義和經驗來確定它們的取值范圍，即設置約束條件Kp的參數取值范圍為[0，10]，Ti的參數范圍為[0，1]，Td的參數范圍為[0，1]。

（2）構建最優目標函數

為獲取全向機器人從水平進入斜坡過渡過程的理想動態特性，采用速度偏差絕對值時間積分性能指標作為參數選擇的最小目標函數[11-12]。為防止尋優種群控制量過大，在目標函數中加入控制輸入的平方項，用以劃定控制量的。最后選用以下公式作為參數選擇的最優目標。

根據式（12）PID的控制規律，為更好的對系統輸出進行校正，ε（t）作為系統實際輸出與目標輸出的偏差，是系統校正對象，V（t）為ε（t）經過PID控制器校正以后的新輸出速度值（系統校正后的輸入），tv為系統穩態上升時間，w1，w2，w3為尋優目標函數的加權值。同時，為抑制超調，獲得一個穩態響應，采用遺傳算法的處罰功能，設置超調限值，如系統超調量一旦超越限值，將增加加權項w4抑制超調，通過分析系統實際輸出的誤差作為最優目標函數的一項，即如果誤差e（t）<0，此時最優指標變為：

（15）

其中，w4為加權值，且w4>w1，e（t）=Vo（t）-Vo（t-1），Vo（t）為系統被控對象的實際輸出。

（3）確定編碼和解碼方法

以實數編碼的方式將Kp、Ti和Td參數以0.01等分進行隨機排序作為個體的初始基因進行遺傳進化。其中，取各自區域中間值N作為遺傳比較基因，大于N的基因被解碼優化編為0進行遺傳進化，將編號為0的基因個體作為淘汰線重新解碼，把遺傳迭代2次再作為一個新種群進行優化。例如，以Ti的參數[0，2]為例按0.01等分劃分200份個體，隨機抽K=10個個體進行編碼解碼，設N=1.10，迭代1次，N=1.14作為遺傳迭代2次，如下圖所示。

（4）確定個體評價方法

本文將最少迭代次數的路徑值作為適應度函數（個體評價方法）的一個重要指標，為了實現種群在進化過程中獲得最優基因，通過自適應交叉概率函數將迭代遺傳后的種子個體相互交叉，調節種群個體交叉概率，盡可能增加尋優種群的多樣性，擴大尋優范圍。針對基因選擇過程，本文采用輪盤賭策略進行選擇操作，以減小偏差，Kp的值取區域值的上半區；以消除靜態誤差，提高系統的無差度為目的，積分強度越強，Ti的值取區域值下半區；從偏差信號的變化率，加快系統的反應速度，減少調節時間，取Td的值取區域值上半區。

（5）確定遺傳算法的運行參數

根據Kp、Ti、Td值的約束條件，結合全向機器人在斜坡運動系統的實際情況確定群體大小Size=60、遺傳代數G=100、交叉概率Pc=0.9、變異概率Pm不固定，加權值w1=0.999，w2=0.001，w3=2，w4=100。

4 實驗仿真結果與分析

4.1 實驗結果

全向機器人從水平面過度到斜坡的運動過程中，作為倒立擺系統，被控量為機器人移動速度，輸入是θ為定值（固定斜坡）的單位脈沖信號，設置系統響應輸出的抽樣間隔時間為1ms。針對系統傳遞函數式（10）編寫遺傳算法的PID控制器程序代碼，通過MATLAB/Simulink仿真并運行，獲得遺傳算法優化過程（迭代次數）和最佳適應度值變化趨勢（系統響應曲線）如圖6和圖7所示。

4.2 實驗結果分析

通過仿真實驗，從圖6目標函數優化過程中可知，在遺傳次數超過2代以后，最優目標函數為BestJ=61.1679，圖7為整定后的PID控制在階躍響應，響應曲線經過一次振蕩后，在t=0.1s后趨于穩定，返回PID參數為Kp=3.3398、Ti=0.1123和Td=0.1670。對比傳統PID控制器校正方式，改進遺傳算法+PID算法相結合，改良了系統的動態性能，縮短了參數整定時間，提高了參數整定精度，對系統的動態性能有很好促進作用。

5 結論

本文以提高無人餐廳架空軌道機器人運輸菜肴的效率為目的，進一步優化全向機器人在斜坡上運動的穩定性，提出了一種基于遺傳算法與PID相結合的控制算法。利用倒立擺系統牛頓第二定律和拉普拉斯變換建立了系統在斜坡上運動的數學模型，通過判定傳遞函數特征根在[s]復平面的左半部分，并分析系統的動態響應新能指標。針對系統響應性能，根據定值θ干擾沖擊特征使系統適應度函數依據控制系統的指標函數而設定，用實數編碼方式將約束條件的區域值隨機編碼、解碼，再對較優種群重新隨機編碼，加大交叉概率，增加基因多樣性，擴大尋優范圍，最終通過迭代2次，獲得最佳目標函數值，有效抑制系統穩態誤差。仿真實驗結果表明，通過遺傳算法與PID相結合的控制算法對采用全向機器人在斜坡上運動的穩定性優化有效可行，縮短了穩定調節時間，減少了系統超調，對后續研究變值θ擾動的自動校正提供了一定參考價值。

基金項目：2023年度廣西高校中青年教師科研基礎能力提升項目（2023KY1115）“基于全向機器人在斜坡過渡中的穩定性研究”，項目主持人：林顯新。

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