可變風險溢價結構下跳擴散模型的期權定價

朱福敏 周海川 鄭尊信

(深圳大學經濟學院，廣東 深圳 518060)

一、引言

期權作為重要的金融衍生工具，在投資者的資產配置與風險管理中起著重要作用。2015年2月9日，上證50ETF期權作為我國首只場內期權在上交所上市，標志著期權時代的開啟。我國期權市場雖然起步較晚，但正處于高速發展階段。2017年4月19日，白糖期權于鄭商所上市；2018年9月，我國首只工業品商品期權——銅期權于上期所上市；2019年12月23日，滬深300ETF期權于上交所、深交所上市，產品日趨完善。期權的合理定價對于促進我國期權市場健康發展，維護金融市場穩健運行具有重要意義。

早在1973年，Black and Scholes(1973)便提出了經典的BS期權定價模型。該模型假設標的資產價格服從幾何布朗運動，且市場是完備的，即任何衍生證券都能被完美復制，從而得到了期權定價的封閉解析式。在完備市場的假設條件下，BS模型具有唯一的風險溢價結構。然而，該模型的基本假設與市場中呈現的尖峰、厚尾和有偏特征明顯不符。事實上，由于交易費用與交易限制等市場摩擦的存在，衍生證券無法被完美復制，導致市場不是完備的。為此，Merton(1976)在此基礎上引入復合泊松跳過程，建立了跳擴散模型。Harrison and Pliska(1981)指出存在跳躍的市場也是不完備的，此時風險無法被完美對沖。在此之后，大量帶跳躍的不完備市場模型被陸續提出，逐步取代完美市場假設下的BS模型(Duffie et al.，2000；Carr et al.2002；Christoffersen et al.，2012；Ornthanalai，2014；A?t-Sahalia et al.，2015；朱福敏等，2018)。

值得注意的是，不完備市場中定價核與等價鞅測度不再唯一，即存在非唯一的風險溢價結構。跳擴散模型同時包含了擴散與跳躍兩種風險，根據投資者偏好的不同，風險的市場價格會隨之變化，模型具有多種可能的理論期權價格。因此，如何選取合適的定價核進行測度變換，并確定合理的風險溢價結構，是解決不完備市場跳擴散模型期權定價的關鍵。目前不完備市場模型下的測度變換方法主要有方差最優鞅測度(Schweizer，1996)，最小熵鞅測度(Miyahara，1996、2011)以及Esscher變換法(Gerber and Shiu，1994；Bühlmann et al.，1998；Bakshi et al.，2003；Carr and Wu，2004)等。然而，上述方法通常提前對投資者的風險偏好做出假定，僅根據真實測度的溢價信息便確定了等價鞅測度，忽視了跳躍風險在衍生品市場中的功能和作用，難以刻畫風險的真實市場價格，導致無法準確地進行期權定價。

為了考察市場中投資者對于不同風險的溢價補償需求，探究市場風險定價機制，提升模型期權定價效果，本文選擇跳擴散這一經典的不完備市場模型作為理論框架，參考Christoffersen et al.(2012)、朱福敏等(2018)的離散時間模型，在單變量Esscher方法的基礎上將兩種風險因子分離，借助具有自由度的定價核，賦予跳躍風險不同于擴散風險的溢價補償機制，嘗試構建合適的風險溢價結構。該結構于理論層面賦予了模型更靈活的風險溢價刻畫能力，同時允許使用期權市場數據對不同風險的市場價格進行校準，進而提升模型定價效果。在可變風險溢價結構外，本文還選取兩種特殊風險溢價結構作為對比：一是Merton提出的不含跳躍風險溢價的情形，此時跳躍風險作為可分散風險未被定價；二是單變量Esscher對應的風險結構，此時跳躍風險與擴散風險具有相同的溢價補償機制。結合模型的數值分析結果表明，可變風險溢價結構能夠刻畫更為陡峭的定價核曲線，以及具有更厚左尾的風險中性分布。

本文對上證50ETF期權、華泰柏瑞滬深300ETF期權以及標普500指數期權開展研究，使用2016―2020年標的價格數據估計模型參數，借助2021年1月4日至2月19日的期權數據估計每日風險溢價結構。對風險溢價結構與定價核的分析結果顯示，可變風險溢價結構下跳躍風險溢價的占比更高，并且跳躍風險溢價具有明顯的時變特征，其與日均隱含波動率水平間存在較強的正相關性，能夠較好地解釋期權市場中的隱含波動率曲面?？勺冿L險溢價結構對應的定價核曲線也更為陡峭，更能準確刻畫市場隱含定價核形狀與投資者偏好。此外，其在樣本內與樣本外也具有更好的定價效果。

本文進一步從樣本長度、定價方法、定價區間以及期權產品四個方面對結論的穩健性進行了檢驗：其一，分別使用2年、4年、6年、8年以及10年的標的樣本，排除樣本長度對模型參數估計帶來的影響；其二，分別使用蒙特卡洛模擬法(Boyle，1977)、快速傅里葉變換法(Carr and Madan，1999)、格方法(Fu et al.，2017)以及有限差分法(Cont and Voltchkova，2005)四種數值方法，排除定價方法帶來的影響；其三，分別使用以2021年6月1日與11月1日為起點的30日期權樣本，和以2022年1月4日與9月1日為起點的60日期權樣本，排除定價區間帶來的影響；其四，增加華泰柏瑞滬深300ETF期權與標普500指數期權，排除期權產品帶來的影響。研究結果表明，可變風險溢價結構的定價優越性是穩健的。

本文主要創新如下：一是使用雙變量形式的定價核為跳擴散模型構建了含有自由度的可變風險溢價結構，相較于傳統測度變換手段，其能夠通過市場隱含的風險偏好信息校準模型中不同風險的市場價格，于理論層面提升了模型的定價能力。二是通過對上證50ETF期權的實證分析發現，跳躍風險溢價在風險溢價中占據主導，并且具有明顯的時變特征，其與期權隱含波動率之間存在較強的正相關性，能夠較好地解釋隱含波動率曲面。此外，本文發現可變風險溢價結構能夠更準確地刻畫市場隱含定價核曲線，且具有更精確的期權定價能力，揭示了跳躍風險溢價的重要作用。

二、模型和風險溢價結構

(一)跳擴散模型

本文使用Merton(1976)所提出的跳擴散模型刻畫標的資產的價格動態。假設價格St在概率空間(Ω, , )上服從如下的指數Levy過程：

其中，σ為擴散波動率，Jt為用于捕捉資產價格跳躍的復合泊松過程：

該過程一方面通過強度為λ的泊松過程Nt描繪跳躍事件發生的時機，另一方面通過獨立同分布的隨機變量Yj刻畫跳躍幅度大小。在漂移項中使用補償項ψ(1)進行凸度修正，使下式成立：

其中，ψ(?)為跳躍項Jt的矩母指數：

從而μ可代表標的資產的期望收益率，其與波動率σ以及跳躍強度λ均為非時變參數。

跳躍項的引入使得跳擴散模型能夠刻畫出非高斯的市場收益率分布與非平坦的隱含波動率曲面。該模型較好地平衡了現實性與易處理性，具有一定的應用價值。為便于實現模型價格計算與參數估計，本文選擇使用正態跳擴散模型。具體而言，跳躍幅度Yj服從均值為μJ，方差為的正態分布。借助Levy-Khinchin定理可得跳躍項矩母指數的具體表達式：

將漂移項中跳躍項的凸度修正項ψ(1)記為λk，其中：

跳躍幅度分布的正態假定易于推導對數似然函數和期權理論價格解析解，簡化了參數估計與期權定價過程，有利于探究市場風險的定價機制。

(二)可變風險溢價結構

為避免預先對風險溢價結構作出假定，本文參考Christoffersen et al.(2012)、朱福敏等(2018)在離散模型下的思路，在定價核中將擴散風險與跳躍風險分離，使得風險溢價結構相較于Bates(1991，2006，2008)以及Zhang et al.(2012)等傳統結構具有了額外自由度，允許期權數據參與校準風險市場價格。具體而言，令等價測度 在t時刻下對于真實測度 的Radon-Nikodym導數具有如下形式：

其中，θw與θJ分別控制擴散與跳躍兩種隨機風險因子。通過比較對數價格過程Xt在兩種測度下的矩母指數，即可得到兩測度間參數的對應關系：

其中，*代表 測度下的相關參數。1若要使得 成為等價鞅測度，則還應同時滿足如下的風險中性約束：

此時意味著 測度下的期望收益率μ*應當與無風險收益率r相等，則(10)式等價于：

通過簡單的代數變換即可得到風險溢價結構：

其中，(12)式左側為風險溢價，右側可視為對風險溢價的分解，由于ψ(u)中包含跳過程Jt的信息，故將[ψ(1)-ψ(1-θJ)+ψ(-θJ)]整體視為跳躍風險溢價，同時將σθw視為擴散風險溢價。其中θw與θJ分別控制著兩種風險溢價的大小，構成了可變風險溢價結構。此時可將θJ視為風險溢價結構中的自由度，θw通過(13)式被θJ唯一確定：

若將波動率σ與跳躍強度λ分別視作擴散風險與跳躍風險的測度，則兩種風險所對應的市場價格分別為θw和[ψ(1)-ψ(1-θJ)+ψ(-θJ)]/λ。借助Gerber and Shiu(1994)的結果可知，擴散風險溢價與跳躍風險溢價分別對于θw和θJ單調遞增，從而定價核自由度θJ的增加會使得跳躍風險溢價上升，當風險溢價總和給定時，擴散風險的溢價水平會隨之降低，θw也會對應減少。因此，參數θJ與風險溢價結構之間存在一一對應關系，且定價核參數θJ的大小可以反映出跳躍風險的相對占比。在實際使用中，基于給定的真實測度分布，可以利用期權市場的額外信息對定價核參數θJ進行校準，識別出符合市場的風險溢價結構。

考慮正態假定下的跳擴散模型，跳過程中的參數變換關系如下：

其對應的風險溢價結構為：

上述可變風險溢價結構隨著定價核參數θJ的變化，可以靈活刻畫投資者不同種類的風險偏好，包含以下兩種特殊風險溢價結構：第一種是定價核參數θJ為零的情形，對應Merton(1976)所采用的測度變換方式，其風險中性測度下的跳過程參數與真實測度下一致，即不存在跳躍風險溢價，總溢價全部由擴散風險溢價構成。此時跳躍風險被假設為可分散的非系統風險且未被定價(楊智元和陳浪南，2001)，忽視了跳躍風險的重要貢獻(趙華，2012；劉靜一等，2015；Pan，2002；Ornthanalai，2014)；第二種則是θw與θJ相等的情形，對應單變量Esscher的變換方式，其將擴散風險與跳躍風險視作整體，二者具有相同的溢價補償機制。此時方程(12)有且僅有一個解，意味著風險溢價結構被唯一確定，投資者風險偏好無法調整。

三、方法和數值分析

本文首先對使用的參數估計方法與定價方法進行簡要介紹，然后對期權理論價格與跳躍風險溢價的影響機制以及不同風險溢價結構的定價核進行數值分析。

(一)參數估計方法

本文使用極大似然法分別借助標的資產與期權信息，實現模型參數與定價核參數的估計。具體而言，使用標的資產收益序列估計出模型參數，在此基礎上繼續使用期權數據校準定價核參數。在似然函數的構建上參考了Ornthanalai(2014)的做法，下面分別給出針對標的資產與期權的對數似然函數構造方式。

基于標的資產的對數似然函數L的構造方式如下：

其中，p(x)為概率密度函數，進一步借助(2)式以跳躍次數為條件對其進行全概率展開：

借助正態分布的可加性不難得出：

從而每個對數收益率的概率密度可由若干個正態概率密度加權求和得出，在實際使用時需對求和上限加以限制。

基于期權的對數似然函數L的構造方式如下：

IV與IV分別代表市場與模型期權價格對應的隱含波動率，此處假設誤差?j服從均值為0、方差為的正態分布，σ?為誤差序列的標準差。

(二)定價方法

本文使用的Merton跳擴散模型具有歐式期權價格的解析表達式，能夠準確快速計算出期權的理論價格。進一步在穩健性測試中，為排除定價方法的選擇對結論帶來的影響，還將引入幾種數值定價方法，分別為蒙特卡羅模擬法、快速傅里葉變換法、格方法以及有限差分法。其中，蒙特卡羅模擬法通過隨機模擬價格變化路徑，并借助樣本均值近似求解，其適用范圍廣，但耗時較長且結果具有波動性；快速傅里葉變換法利用離散求和近似求解積分，其計算效率高但僅適用于存在特征函數的隨機過程；格方法能夠在價格時間均為離散的框架下給出封閉的期權價格數值解，其計算復雜度適中且適合應用在跳擴散模型中；有限差分法則對期權價格所滿足的偏微分方程進行差分近似，使用反向遞歸算法求解，其使用限制較少且結果穩定。2

(三)數值分析

一方面，通過理論分析可知跳躍風險溢價與定價核參數θJ間存在著正比關系3，而定價核參數θJ會直接影響風險中性測度參數，進一步影響期權的理論價格。其中θJ對跳躍強度λ*與跳躍幅度均值μ*J的影響機制較為明晰，不難發現μ*J是關于θJ單調遞減的線性函數，λ*的指數部分是關于θJ的二次函數。但風險中性測度參數與期權價格間存在高度非線性關系，需要借助數值模擬方法進行分析。另一方面，不同的風險溢價結構下，風險中性測度參數不同，從而對應的風險中性分布與定價核曲線也存在差異，借助數值分析可以進一步理解跳躍風險溢價對于投資者偏好與定價核的影響。

本文首先考察跳躍風險溢價對理論期權價格的影響機制，分析跳躍強度λ*與跳躍幅度均值μ*J對期權理論價格的影響，進一步分析跳躍風險溢價對其的影響機制。

圖1展示了不同價值程度下參數對看漲期權與看跌期權理論價格的影響。分析結果表明，隨著跳躍強度的增加，期權的理論價格也隨之上漲，但跳躍幅度均值對理論期權價格的影響則呈U型關系。為進一步考察定價核參數變化對期權理論價格帶來的綜合影響，并直觀展現跳躍風險溢價與期權價格之間的聯系，圖2給出了不同價值程度下看漲看跌期權關于跳躍風險溢價的變化。在該組參數設定下，隨著跳躍風險溢價的增加，期權的理論價格亦會增加，且增速會伴隨跳躍風險溢價水平的升高而提升。

圖1 理論期權價格關于風險中性測度參數變化

圖2 理論期權價格關于跳躍風險溢價變化

然后考察不同的風險溢價結構(Merton、Esscher、可變)，比較其風險中性分布與定價核曲線的差異。圖3繪制了不同風險溢價結構下的風險中性概率分布。結果表明，相較于兩種特殊結構，可變風險溢價結構對應的分布與真實測度差距更大，具有更厚的左尾，提升了損失情形下的預期。

圖3 日度對數收益率分布比較

依據上述結果，進一步可以繪制出三種風險溢價結構對應的定價核曲線，結果展現在圖4中。其中定價核計算方式如下：

圖4 三種風險溢價結構下定價核曲線

由于(8)式中Radon-Nikodym導數具有指數形式，故定價核具有單調遞減的特征。又因Merton與單變量Esscher所對應的風險中性測度與真實測度差距較小，從而定價核曲線較為平坦。相較而言，可變風險溢價結構校準出的定價核則更為陡峭，表明在定價時投資者對于未來所可能遭受的損失賦予了更高的權重，同時對于正向收益的權重有所降低。

四、數據和實證分析

(一)數據選取

上證50ETF期權采取以競價交易為主、做市商為輔的T+0交易模式，自上市以來就受到投資者的廣泛關注。根據上海證券交易所提供的統計數據，上證50ETF期權于2015年2月共成交232508張，8年以來市場在不斷地發展并趨向成熟，2023年10月的成交量共計30115412張，成交額高達1042970萬元。作為我國首只場內期權，上證50ETF期權發展時間相對較長，市場參與者較為廣泛，數據量較為充足，為參數估計、模型校準以及定價檢驗等提供了較好的基礎，故本文將其作為實證研究主體。

考慮到樣本量的充足性，基于相關研究工作(孫有發等，2018；吳鑫育等，2019；孫有發等，2020)，本文選取2021年1月4日至2021年2月19日共30個連續交易日的期權價格數據，標的層面對應選取2016年1月4日至2020年12月31日的收盤價數據，使用隔夜上海銀行間同業拆放利率(SHIBOR)作為無風險利率，以上數據均來自Wind數據庫。為排除期權產品帶來的影響，本文同樣使用了華泰柏瑞滬深300ETF期權以及標普500指數期權進行穩健性檢驗，數據分別來自Wind數據庫與Option Metrics數據庫。

圖5給出了2006年1月4日至2022年12月31日的上證50ETF對數收益率，表1為相應描述性統計結果。結果顯示，上證50ETF對數收益率呈現明顯的負偏度與超額峰度的特征，從而使用Merton跳擴散這類不完備市場模型具有重要性與必要性。

表1 上證50ETF對數收益率的描述性統計結果

圖5 上證50ETF對數收益率(2006―2022)

為保證期權數據的有效性，本文剔除了所有不滿足無套利條件以及價格不足0.01元的期權，保留了到期期限在7個交易日與100個交易日之間，且價值程度(執行價格與初始標的價格之比)處于0.9與1.1之間的期權，并按照不同的到期期限與價值程度分成9個類別。到期期限方面，以30個交易日與60個交易日為界分為三類；價值程度方面，當價值程度小于0.97時，看漲(看跌)期權為實值(虛值)期權，當價值程度大于等于0.97且小于1.03時為平值期權，當價值程度大于等于1.03時，看漲(看跌)期權為虛值(實值)期權。經篩選后共計得到1726個期權數據，其中包含873個看漲期權與853個看跌期權，平均每個交易日約有57個期權數據。表2給出了所選期權的描述性統計結果。

表2 上證50ETF期權的描述性統計結果

(二)參數估計結果

對于真實測度下的模型參數，本文使用2016年1月4日至2020年12月31日的上證50ETF對數收益率序列進行估計。在本文所提出的可變風險溢價結構之外，還將考慮前文中所提及的兩種特殊風險結構，此二者的定價核參數θJ由真實測度模型參數與無風險利率確定。對于可變風險溢價結構，根據估計出的真實測度參數，使用2021年1月4日至2021年2月19日的每個期權交易日的期權價格數據估計該日的定價核參數θJ。

基于參數估計結果，本文選取2021年1月18日作為代表性交易日，當日三種不同風險溢價結構所對應的參數估計結果如表3所示。其中Panel A為真實測度下的模型參數，Panel B為不同風險溢價結構的定價核參數與對應風險中性測度下的模型參數。估計結果表明，所選時段內上證50ETF價格的跳躍強度為0.7282，跳躍發生較為頻繁。Panel B中兩種特殊風險溢價結構所對應的定價核參數θJ較小，使得對應風險中性測度參數改變不大。而可變風險溢價結構下的風險中性跳躍強度上升至0.799，跳躍風險溢價占比有了顯著提升。

表3 參數(日度)估計結果

為考察幾種風險溢價結構下的定價核與市場中真實定價核曲線的差異，本文參考Almeida and Freire(2022)的做法，使用非參數方法繪制該日上證50ETF期權的隱含定價核，并與三種風險溢價結構下的模型定價核進行比較。該方法借助標的資產歷史收益率所構成的經驗分布與市場中單只期權計算出市場隱含定價核曲線。4此處依據到期期限與價值程度選取了2021年1月18日具有代表性的四只期權，相應定價核曲線如圖6所示。

圖6 期權隱含定價核與模型定價核比較

圖6顯示，隨著到期期限的增加，期權隱含的定價核曲線會愈發陡峭。相較于市場中的隱含定價核，Merton與單變量Esscher兩種風險結構所能提供的定價核過于平坦，而可變風險溢價結構所校準出的定價核曲線則更好地反映出市場中的偏斜特征，表明投資者愿意為損失情形下的阿羅―德布魯證券支付更高的價格。同時也凸顯了可變風險溢價結構的優勢，即當傳統的測度變換手段無法準確描繪市場中投資者的風險偏好時，其能夠利用市場中的真實數據進行校準，從而更好地捕獲市場中的隱含信息并進一步提升模型定價能力。

(三)風險溢價結構分析

通過前文關于風險溢價結構的理論分析可知，在給定真實測度模型參數與無風險利率時，定價核參數θJ與跳躍風險溢價水平之間存在著正比關系，從而定價核參數反映了跳躍風險溢價的占比大小。圖7分別展示了30個交易日下可變風險溢價結構與單變量Esscher風險溢價結構中定價核參數θJ的折線圖。相較于前者，后者的定價核參數處于較低值，而反觀可變風險溢價結構下的跳躍風險溢價則具有明顯的時變特征；此外，通過引入每個交易日的平均隱含波動率，可以發現兩者之間存在較為明顯的正相關性。

圖7 定價核參數與日均隱含波動率折線

為進一步驗證上述發現，本文對期權加以細分，分別對實值(ITM)、平值(ATM)、虛值(OTM)下的看漲期權與看跌期權，重新校準出每個交易日下對應的定價核參數θJ，考察其時變特征以及與隱含波動率之間的聯系。圖8(a)(b)給出了看漲與看跌期權在不同價值程度下所對應跳躍風險溢價水平的時變圖，圖8(c)(d)則為相應類別下的日均隱含波動率水平。

圖8 細分期權下定價核參數與日均隱含波動率折線

通過對比圖8(a)(b)與(c)(d)兩部分，發現在區分看漲看跌以及價值程度后，跳躍風險溢價占比與隱含波動率仍存在較強的正相關性。此外，為排除期權樣本區間選擇的特殊性，在原樣本基礎上延長90個交易日，圖9繪制了2021年1月4日至7月2日共120個連續交易日的定價核參數與日均隱含波動率折線圖。樣本中期的隱含波動率水平較低，使得可變風險溢價結構所校準的定價核參數大量為零；但在樣本前期與后期，日均隱含波動率水平較高，跳躍風險溢價占比顯著上升，此時二者之間的正相關性較為明顯，說明跳躍風險溢價對于隱含波動率具有較強的解釋能力。

圖9 定價核參數與日均隱含波動率折線(2021.1.4―2021.7.2)

對此，本文給出的可能解釋為，當跳躍風險溢價占比更高時，投資者對于跳躍風險具有更高的溢價補償需求，對市場中極端收益的出現也更為擔憂，從而愿意為抵御相關風險支付更高的期權價格，使得市場隱含波動率水平隨之上升。此外，上述結果也反映出投資者的風險偏好具有明顯的時變特征。若提前對投資者偏好做出假定，則會使不完備市場模型對于風險結構的刻畫出現較大偏差，進一步影響模型定價效果。這體現了跳躍風險在定價中的重要作用，以及使用可變風險溢價結構的必要性與重要性。

(四)期權定價結果

前文基于參數估計結果對定價核與風險溢價結構進行了分析，本文進一步對模型的期權定價能力展開研究。表4給出了跳擴散模型下三種風險溢價結構的樣本內外總體定價誤差，理論期權價格使用解析解計算。

表4 樣本內外總體定價誤差

其中，樣本內指使用定價核參數對當日期權進行定價，樣本外則是對次日期權進行定價。為排除期權價格尺度以及隱含波動率水平對誤差計算帶來的影響，參考Zhu et al.(2020)的做法，本文選擇使用隱含波動率的相對均方根誤差RMSRE(root mean square relative error)作為定價誤差的衡量指標：

研究顯示，單變量Esscher情形的樣本內外定價誤差略低于Merton情形，由于Esscher結構下的定價核參數較小，其定價結果與Merton僅存在微小差距，與前文的相關分析結果一致。而可變風險溢價結構在定價誤差層面有了顯著降低，其樣本內外RMSRE分別為11.88%與12.81%。圖10則更為直觀地展現了三種風險溢價結構在不同價值程度與到期期限下的樣本內與樣本外RMSRE折線圖。結果表明，無論是樣本內還是樣本外，可變風險溢價結構都具有更優越的定價能力。為展示更加詳細的定價結果，在表5中給出了不同到期期限與價值程度下看漲與看跌期權在樣本內與樣本外的定價誤差。

表5 樣本內外詳細定價誤差

圖10 期權定價誤差折線

研究表明，在執行價格較高的期權中(虛值看漲與實值看跌)，Merton情形下的定價效果要略優于Esscher情形，而可變風險溢價結構則一直具有更低的定價誤差，且改善效果明顯。上述結果表明，Merton與Esscher所代表的單一風險溢價結構的定價效果只依賴于模型參數的估計結果，無法根據期權市場信息進行調整；而可變風險溢價結構則通過額外的定價核參數識別市場隱含的偏好信息，從而刻畫出符合市場的風險結構，進而提升期權定價誤差。通過比較不同風險溢價結構在樣本外的定價誤差可以發現，可變風險溢價結構并未呈現過擬合現象，依然具有顯著的定價優勢。但同時也注意到，可變風險溢價結構在樣本內外的定價誤差變化更為明顯，這是由于市場中跳躍風險溢價具有強烈的時變特征，從而不同交易日間的定價核參數差異較大，在使用當日參數定價下一日的期權時，其對風險溢價結構的刻畫會出現一定的偏差。而在Merton與Esscher情形下，定價核參數不依賴于期權數據，具有較強的穩定性，故其在樣本內外的定價結果不存在明顯差異。

(五)穩健性檢驗

為檢驗可變風險溢價結構下跳擴散模型定價能力的穩健性，本文擬從以下四個方面進行驗證：第一，考慮到標的樣本長度會對模型參數的估計結果產生影響，在前文所使用的5年期樣本之外，還選擇2年、4年、6年、8年以及10年期的樣本。第二，使用前文介紹的四種數值定價方法代替解析解排除定價方法帶來的影響，同時也為其他不存在封閉解的跳擴散模型提供參考。第三，為排除定價區間選擇帶來的影響，選取以2021年6月1日和11月1日為起點的30交易日區間，同時還考慮更大的定價樣本量，選擇以2022年1月4日和9月1日為起點的60日交易日區間。第四，使用華泰柏瑞滬深300ETF期權以及標普500指數期權，為可變風險溢價結構的適用性提供更多證據。穩健性檢驗結果如表6所示，其中定價誤差指標依然使用隱含波動率的相對均方根誤差。

表6 定價誤差的穩健性檢驗

首先，關注Panel A中不同長度標的收益率樣本對定價結果的影響。結果表明，在使用較短樣本(2年和4年)估計時，可變風險溢價結構的定價誤差依然要明顯小于其余兩種結構，但當使用較長樣本(6年、8年和10年)進行估計時，三者之間的定價效果差距不再明顯。這從側面反映了單一風險溢價結構十分依賴真實測度下的模型參數，而可變結構則可以借助期權數據的校準擁有穩定的定價能力。

其次，觀察Panel B中四種數值方法的定價結果。相較于其他三種數值方法，蒙特卡洛模擬的整體誤差要明顯高于解析解。通過比較三種風險溢價結構可以發現，可變風險溢價結構仍具有更低的定價誤差。該結果表明，使用數值定價方法同樣可以發揮可變風險溢價結構的定價優勢，即對于不存在解析解的其他跳擴散模型同樣適用。

再次，比較Panel C中不同期權樣本定價區間的結果?？梢园l現，可變風險溢價結構的定價誤差仍然更低，但隨著定價區間的改變，其誤差水平與改善幅度也會變化。由于本文使用的是隱含波動率的相對均方根誤差，從而可以對不同定價區間的誤差大小進行比較，其中以2021年11月1日為起點的區間上模型整體定價誤差最小，而在以2022年1月4日為起點的區間上整體誤差最大。

最后，觀察Panel D中不同期權產品的定價結果。對于華泰柏瑞滬深300ETF期權，可變風險溢價結構對于定價誤差仍有巨大改善，但對于美國標普500指數期權，其改進效果偏弱，并且Esscher方法下的誤差要明顯高于Merton情形。此外，對于美國市場而言，即使通過風險溢價結構的校準，跳擴散模型的定價誤差仍高于20%，由此推測該模型的解釋能力可能較弱，可以嘗試包含無窮跳與隨機波動率的模型。

綜上所述，可變風險溢價結構在上述四個層面的檢驗下依然具有穩定的定價優越性。

五、結論與啟示

定價核作為連接真實測度與風險中性測度的橋梁，能夠反映投資者的風險偏好信息。然而，在不完備市場模型中，定價核的非唯一性表明僅僅依據真實測度分布無法確定合適的風險溢價結構，因此有必要采取恰當的手段更準確地刻畫市場中投資者的風險偏好信息。本文在跳擴散模型的理論框架下，通過分離擴散風險與跳躍風險，為其構建了具有自由度的可變風險溢價結構，允許模型利用額外的期權信息對風險的市場價格進行校準，進而提升模型的期權定價能力。

與此同時，本文對上證50ETF期權、華泰柏瑞滬深300ETF期權以及標普500指數期權開展了數值分析與實證研究，主要結論如下：其一，通過比較不同風險溢價結構下的定價核曲線，發現可變風險溢價結構下的曲線更為陡峭，能夠更準確地刻畫市場中隱含的定價核形狀，投資者對于損失情形下的溢價補償需求更高。其二，通過分析市場隱含風險溢價結構發現，跳躍風險溢價占比具有明顯的時變特征，且與日均隱含波動率之間存在較強的正相關關系，該現象在細分期權市場以及考慮更長時段之后依舊存在，表明跳躍風險溢價對于市場隱含波動率曲面具有解釋作用。由于較高的跳躍風險溢價占比表示投資者更加厭惡極端收益的出現，從而其為抵御相關風險愿意支付更高的期權價格，提升了隱含波動率水平。其三，綜合考察不同風險溢價結構在樣本內外的期權定價表現，發現單一風險溢價結構更加依賴模型參數的估計結果，而可變風險溢價結構則具有更加穩定的定價優越性。在考慮了不同樣本長度、定價方法、定價區間以及期權產品后，以上結論依然穩健。

結合本文結論能夠得到如下啟示：第一，跳躍風險溢價在風險溢價結構中占據主導地位，表明了投資者對于跳躍風險的溢價補償需求要遠超過擴散風險，從而需要重點把控跳躍風險與尾部風險，防范“黑天鵝”事件對市場可能造成的沖擊，做到事前及時監測預警、事中高效處理化解、事后強化監管治理。第二，由于跳躍風險溢價存在較強的時變特征，并且具有對隱含波動率曲面的解釋能力，因此建議合理利用市場隱含信息做好投資者整體情緒與偏好的動態識別，加強部門溝通效率，實現對市場的精準把控。

未來的研究工作有：一是利用可變風險溢價結構提取市場中的隱含偏好信息，從時間維度分析重大事件沖擊對于市場風險溢價結構的影響，從空間維度比較不同市場的風險結構特征，識別風險定價機制。二是考慮更為前沿的復雜隨機模型，構建更為廣義的可變風險溢價結構，進而更準確地刻畫市場偏好，提升期權定價能力。 ■

[基金項目：國家自然科學基金項目“基于多元Hawkes跳躍互激發與波動率交叉回饋過程的期權定價研究”(項目編號：72071132)、國家自然科學基金項目“外部沖擊、金融內生性與系統性金融風險研究”(項目編號：72173089)]

注釋

1.參數變換關系

考慮如下的雙變量Radon-Nikodym導數：

在此分別給出對數價格過程Xt在兩個測度下的矩母指數表達式：

為得到參數變換關系，將 測度下的矩母指數整理為 測度的同樣形式，即：

通過對比可得：

2.定價方法詳細介紹

(1)解析解

此處給出Merton跳擴散模型下歐式看漲期權價格的表達式：

其中：

其可被視為在不同價格跳躍次數的條件下BS價格形式的加權平均，權重為發生對應跳躍次數的泊松概率。在實際應用時根據需求對(B1)式中的求和上限加以限制，忽略尾部帶來的定價誤差。根據市場上日度跳躍強度的參數估計水平與所定價期權的到期期限范圍，將(B1)式中的求和上限設置為200。

(2)蒙特卡羅模擬法

該方法在時間維度下將資產在風險中性測度下的價格動態離散化，隨機生成每個時間區間中的價格變化，模擬完整的價格變化路徑。當模擬路徑總數足夠多時，依據大數定律可使用樣本均值代替整體期望，從而計算出期權價格近似解。

具體而言，將時間區間[0,T]均勻劃分為N份，其中每個子區間的長度記為τ(τ=T/N)，則相鄰時刻間所對應的對數收益率ln(Sjτ/S(j-1)τ)為：

對于第m條價格路徑，通過計算機模擬生成Xjτ-X(j-1)τ的取值，并累加出該路徑下到期日的價格，按照上述方法共生成M條路徑。本文中的參數取值為N=5000，M=10000。

(3)快速傅里葉變換法

該方法利用風險中性測度下標的資產對數價格過程的特征函數，借助傅里葉變換求解歐式期權價格的積分表達式，并使用離散求和近似，匹配快速傅里葉變換形式高效計算期權價格。

其借助標的資產對數價格過程的特征函數?T推導出看漲期權價格的積分表達式：

其中：

隨后借助梯形法則配湊出FFT形式的離散求和近似解：

其中：

a代表有效求和上界。在本文中的參數設置為：N=4096，a=1024，α=2.5。

(4)格方法

該方法借助時間與價格維度雙重離散的框架，通過對價格變動幅度進行分類實現擴散與跳躍行為的區分。不同于Amin(1993)所采用的遞歸算法，本文選擇使用Fu et al.(2017)所提出的JDGF(jump-diffusion generating f u n c t i o n)算法，其具有封閉形式的歐式期權價格近似解。

其將時間區間[0,T]均勻劃分成N份，子區間的長度記為τ(τ=T/N)，構造出0時刻到T時刻的價格路徑α={S0,Sτ,…,Skτ,…,SNτ}。并假設不同時刻的價格變動相互獨立，且相鄰兩個時刻的價格之比為指定常數u的整數次冪，即：

在風險中性測度 下，歐式看漲期權的價格Vcall則可表示為：

其中，PN(h)代表步長為N、高度為h的路徑概率，計算方式如下：

而ρj為單步價格向上移動j個單位的概率，涉及到對連續跳躍分布進行離散化的關鍵部分。其基本思想是通過給定離散分布下價格變化的上下限，將每個離散價格變化節點左右一定范圍內的概率作為該處價格變動的概率，并對部分細節做出調整使離散分布的方差與原連續分布盡可能相近。具體調整規則如下：

其中參數設置為：N=5000，R=40，跳躍上限I0=200。

(5)有限差分法

該方法通過對期權價格所滿足的偏積分微分方程進行近似得到差分方程，并借助時間維度與價格維度雙重離散的框架，從到期日開始進行反向遞歸求解期權近似價格。

對于Merton跳擴散模型而言，期權價格V(t,x)應滿足如下的PIDE：

而有限差分法可視為求解PIDE的一種數值手段，對(B9)中的不同偏微分項采取如下差分近似方法：

化簡后得到如下遞推關系：

其將時間區間[0,T]均勻劃分成N份，子區間的長度記為Δt(Δt=T/N)，將價格區間[A1,A2]均勻劃分成M份，子區間的長度記為Δx。綜合考慮定價精度與計算速度，本文中取N=1000，M=1000。

3.跳躍風險溢價關于定價核參數的單調性證明

綜上所述，f(θ)在 上單調遞增，證畢。

4.跳躍風險溢價關于定價核參數的單調性證明

對于到期期限為T的期權，構造收益序列{Rk}nk=1和無風險收益Rf，其中：

此時將收益序列{Rk}視為每個觀測值具有相等概率pk的經驗分布，作為真實概率測度。假設投資者具有HARA類的效用函數：

投資者通過調整合適的權重投資風險資產與無風險資產，最大化其期末的期望效用，可以計算出與風險厭惡系數γ對應的一組概率{qk}，即風險中性測度，其中qk計算方式如下：

γ>0時，

γ<0時，

γ=0時，

γ>0時，

γ<0時，

γ=0時，

得到風險中性概率{qk}后，看漲期權的價格計算公式如下：

同理，借助該設定下期權價格與等價鞅測度與定價核的一一對應關系，在已知市場期權價格以及真實測度下的經驗分布后，可以反推其所對應的風險厭惡系數γ以及風險中性概率{qk}，從而計算出隱含的定價核。