基于粒子群與遺傳算法的消色差超透鏡自動設計

李昭慧,呂怡豪

(西安科技大學 通信工程學院,陜西 西安 710600)

1 引 言

近年來,微納光子學蓬勃興起,并隨著精密加工技術的發展,人們利用納米結構材料實現對亞波長光場調控的能力取得長足的進步。2011年,哈佛大學的Capasso教授研究組即提出了超表面(Metasurface)的設計思想——通過由亞波長結構單元組成的薄層局域地控制空間光場的相位、偏振、振幅等物理量。超表面器件可以有效地調控光特性從而實現特定應用[1-3],同時避免了光在體塊材料內部傳輸造成巨大損耗,具有輕量化、易集成的優點,因而具有重要的應用前景。

超表面用作聚焦透鏡即為超透鏡,它可以產生雙曲相位面,從而獲得較大衍射效率的聚焦光束[4-7]。然而,超透鏡作為一種衍射型器件,受限于亞波長結構單元的波長敏感性,往往存在較強的色散,嚴重影響其在全色光學應用中的性能。

為解決超透鏡的色散問題,國內外的研究者提出了多種方法。2015 年,Capasso 等人實現了采用色散相位補償的多波長消色差超表面[8],使得各個波長在焦距為7.5 mm處聚焦良好。2019年,Hu 等人使用了一種圓柱形單元結構實現了工作在234～274 nm的消色差超透鏡。使得在寬帶范圍內焦距為4.75 μm幾乎保持不變,并且測得的愛里斑的最大半峰寬度(FWHM)值接近衍射極限尺寸[9]。2022年,Chen等人采用了硅納米柱和相板組成的集成單元結構實現了波長在1100～1500 nm范圍內焦距在32μm處保持基本不變的消色差超透鏡[10]。以上工作是由科學家根據計算和經驗,挑選出光學響應接近于設計目標的單元結構,進行組合構成超透鏡初始結構,然后再仿真分析其性能,并對結構進行優化微調,如此反復迭代,直到超透鏡光學響應能夠滿足設計要求。人工挑選單元結構可能存在偏差,多次仿真與參數優化耗費大量時間[11]。

為實現自動設計與優化,Capasso團隊在聚焦公式中引入一個僅與波長相關的優化因子,采用粒子群優化算法來確定每個波長的優化因子,實現了反射式消色差超透鏡[12]。另外,國內學者申益佳同樣利用粒子群優化算法設計了一種相位調控型透射式超透鏡,實現了400～650 nm波段的寬帶消色差聚焦功能,并且仿真出的半峰寬度與計算的理論衍射極限相比具有較高的一致性[13]。粒子群優化算法雖然實現方式簡單,全局搜索能力強,但缺乏速度的動態調節,容易陷入局部最優,導致收斂慢且精度低[14-16]。

而智能優化算法中另一種算法是遺傳算法,遺傳算法是借鑒自然界生物的進化方式,將生物進化的過程算法化,并在計算機上進行模擬實現,從而用來解決實際領域中的優化問題,是一種可以避免限于局部最值的全局搜索算法[17-18]。

因此,為實現寬帶超透鏡的自動設計,本文首先在高透過率SiO2基底以及高折射率Si納米柱所組成的微納結構基礎上,研究固定高度下,不同直徑納米柱在寬波長范圍的調制特性。之后,通過改進粒子群優化算法并引入遺傳算法組成混合算法,搜索超透鏡中每個位置的最佳單元結構,實現了寬帶的消色差超透鏡的設計,達到了在正入射的條件下,將1000～1250 nm紅外波段的平面波匯聚到軸上同一焦點。

2 寬帶消色差超透鏡設計原理

為實現波長為λ的平面波在正入射條件下透過焦距為f的超透鏡聚焦,要求超透鏡上距透鏡中心為R的任一點,對中心提供的相對相位偏移φ(R)為[19]:

(1)

當入射波長帶寬為(λmin,λmax)時,由于不同波長的光在介質中的傳播速度不同,并不能對不同波長入射光產生同樣的相位延遲,即不能透過超透鏡聚焦于同一個位置,從而產生色差效應。在固定焦距f下,R點的相位分布同波長的函數關系表示下為式:

φlens(R,λ)=φ(R,λmax)+Δφ(R,λ)

(2)

其中:

式(2)表明:偏移相位可以被分為兩部分,其中φ(R,λmax)為參考相位,僅僅與λmax相關而獨立于工作波長λ,利用式(1)就可以獲得;Δφ(R,λ)是一個與工作波長相關的函數,與1/λ成線性關系,可被看作在波長λ相對波長λmax在R點產生的相位差。

消色差超透鏡設計的目的即尋找最佳結構參數,使其在寬波段約束下,能夠提供最接近φ(R)的調制特性。因此,相位分布φlens(R,λ)需要根據波長修正,使Δφ(R,λ)在各波長下都為0或常數,進而使其焦點位置調整。

恒定相位差Δφ(R,λ)可以通過設計每個單元結構的傳輸響應來實現。由于微納結構對波長的敏感性,因此引入一個額外的優化因子C(λ),通過對特定波長的相位補償,實現Δφ(R,λ)定值化。消色差超透鏡的相位分布改寫為下式:

φlens(R,λ)=φ(R,λmax)+Δφ(R,λ)+C(λ)

(3)

由于構建超透鏡所需要的理想相位φ(R)是根據目標超透鏡的參數直接計算出來的,而實際相位由微納單元結構對光波的調制所提供。因此,需研究單元結構的調制特性,構建調制特性數據集,從中篩選符合調制要求的單元結構。

3 微單元結構響應特性數據庫構建

由于柱形結構具有結構簡單、光學性能優異(可以實現超廣角、低畸變、高分辨率的光學成像)、體積小巧、易于模塊化等優點,因此本文選取的納米結構的形狀為柱形結構。首先,選擇如圖1所示的微結構作為消色差超透鏡的基本單元,該結構由二氧化硅基底和硅納米柱兩部分構成。超透鏡的局部相位調控功能由微單元的材料及結構參數決定。在材料選定的情況下,調整硅納米柱形狀,考察其調制特性。

圖1 消色差超透鏡的單元結構

用于聚焦成像的超透鏡單元應當滿足0～2 π的相位調制深度覆蓋,需要對單元結構的初始參數進行相應的設置。已有研究表明,固定硅納米柱直徑情況下,相位調制深度隨單元柱高度的增高而變大[2]。因此,本文采用固定單元結構高度,改變單元結構直徑的方式來實現相位調制。在數值仿真軟件FDTD中搭建如圖1所示的單元結構,并設置仿真區域及虛擬監視器。受制造工藝限制,設置單元結構高度為0.6 μm定值。由于目前超透鏡制造的最小可實現寬度限制為0.08 μm,同時為保障聚焦效率,最大實現寬度一般設置為相鄰單元中心至中心的距離,故納米柱半徑r的設置范圍為(0.04 μm,0.2 μm)。

之后,調整硅納米柱形狀,考察其在不同波長下的調制特性。以硅納米柱最小半徑rmin=0.04 μm起始,逐步增大,增大步長Δr=0.0008 μm,直至最大半徑rmax=0.2 μm為止。選擇工作波段(λmin,λmax)=(1000 nm,1250 nm)上的6個特征波長(λ0=1000 nm,λ1=1050 nm,λ2=1100 nm,λ3=1150 nm,λ4=1200 nm,λ5=1250 nm),考察不同半徑微納結構對每個特征波長的調制特性,記錄FDTD計算所得此半徑單元結構對此波長入射光產生的相位延遲。最后將所得到的6個波長的半徑與相位一一對應構建實際離散相位數據集合φ[r,λ],其中r為微納單元結構半徑,λ為特征波長。

相位延遲數據集φ[r,λ]如圖2所示,可以看出6個波長的相位覆蓋都在[0,2π]之間。

圖2 各波長下微納結構調制特性曲線圖

4 PSO_GA算法尋找最優解

超透鏡設計的目的是使單元結構對每個波長所給出的實際相位波面與理想相位分布之間的差異最小,如式(4),即使各位置R上的相位誤差函數ε最小:

(4)

超透鏡設計轉化為求解C(λ)使上式取得極小值的數學問題。本文利用粒子群優化算法加上遺傳算法(PSO_GA)搜索最優C(λ)。PSO_GA是以粒子群優化算法作為基本框架,在其中加入了遺傳算法的交叉、變異操作,用于對種群進行更新。該算法是通過對主循環不斷的迭代得到適應度最小所對應的最佳種群。其中交叉算子的引入可以提升算法的全局搜索性能,有效避免單一粒子群算法搜索陷入局部最優值的缺陷。因此組合后的 PSO-GA 混行算法的優化性能可以得到很大的提升[20]。本文設計的是數值孔徑為NA=0.5、焦距f=20 μm 的寬帶消色差超透鏡。利用PSO_GA算法得到最優C(λ)具體流程如下:

(5)

Step3:對更新后的種群C′進行交叉、變異操作,具體過程為:

(6)

(7)

其中,下標p表示隨機挑選某一行向量。

利用PSO_GA算法得到最佳的6個C(λ)列于表1。

表1 各個波長對應的最優的優化因子C(λ)

同時,考察本文提出的PSO_GA算法和傳統PSO算法的性能,結果如圖3所示。

圖3 PSO以及PSO_GA尋找最優C(λ)的性能對比圖

其中,圖3(a)繪制了兩種算法優化下,適應度值的下降曲線?？梢钥闯?要使適應度趨于穩定,PSO_GA算法所需的迭代次數要小于PSO算法,這表明PSO_GA算法的收斂性更好。圖3(b)則是10次蒙特-卡羅實驗結果,兩種算法分別運行得到最優解,計算第1次的最優解與之后每次的最優解的相關度,并畫出折線圖。通過比較可以看出:PSO_GA算法每次運行結果的相關度起伏較小(實線型),而PSO算法每次運行結果的相關度起伏劇烈(虛線型),這表明PSO_GA算法的穩定性更好。

5 實驗驗證

5.1 根據得到的最佳C(λ)利用FDTD構建超透鏡

首先將得到的各個波長最優C(λ)帶入式(3)得到超透鏡中每個位置對應的最佳相位φlens(R,λ)。

其次,讓超透鏡每個位置的最佳相位φlens(R,λ)分別與相位數據庫φ[r,λ]中的值做差,從相位數據庫φ[r,λ]中找到與各個位置最佳相位φlens(R,λ)最接近的那個相位值,其中二者之間的最大誤差為構建相位數據庫時單元結構納米柱半徑增大步長的一半,即Δr/2=0.0004 μm。根據φ[r,λ]中相位與單元結構半徑的對應關系,找到每個位置最優的單元結構。

最后根據選擇好的單元結構使用數值仿真軟件FDTD構建超透鏡,本文構建的是直徑為23.3 μm的圓形超透鏡,其中超透鏡的每條直徑上分布著40個微單元結構,構建結果如圖4所示。

圖4 微單元陣列構建的超透鏡

5.2 驗證超透鏡是否滿足消色差需求

超透鏡構建完成之后,在數值仿真軟件FDTD中分別使用波長為1000 nm,1050 nm,1100 nm,1150 nm,1200 nm,1250 nm的平面波照射超透鏡,計算獲得焦平面處的遠場光強度分布,如圖5所示。其中,超透鏡位于z=0處,圖5(b)是每個波長下,x-z平面內的光場強度分布圖,可以看出每個波長對應的焦距都在20 μm附近;圖5(a)是每個波長下,z=20 μm 距離處x-y平面的光場分布圖,可以看出λ=(1000～1150 nm)的愛里斑能量都比較集中,聚焦效果較好,而隨著波長的增大,即λ=(1200～1250 nm)的愛里斑彌散,表明出現色差。

圖5 不同波長通過超透鏡后的平面光場分布圖

5.3 定量的評估與對比

為定量評估寬帶消色差透鏡的聚焦性能,分別計算特征波長的衍射極限,并搜索圖4(b)中的愛里斑的半峰寬度(FWHM),列于表2。通過比較可以看出,二者具有較好的一致性,說明聚焦效果良好。

表2 理論衍射極限與優化設計所得超透鏡愛里斑直徑比較

另外,表2還列出了利用PSO算法得到的FWHM。通過計算得出利用PSO算法得到的FWHM與衍射極限的最大誤差errmax1=0.581,利用PSO_GA算法得到的FWHM與衍射極限的最大誤差errmax2=0.259。通過比較可以看出利用PSO_GA算法得到的FWHM與衍射極限的最大誤差較小,說明利用PSO_GA算法得到超透鏡聚焦效果更好。

6 總 結

本文設計了以二氧化硅為基底的硅納米柱單元結構,首先通過改變其半徑來獲取不同半徑對應的不同相位構建相位數據庫,然后通過PSO_GA算法找到每個波長最優的C(λ),并根據C(λ)從相位數據庫中找到超透鏡每個位置最佳的單元結構,最后在FDTD上構建超透鏡,此透鏡對1000～1250 nm波長范圍光波聚焦效果,最大焦深差<3 μm,最大焦斑半徑差<1 μm,說明具有良好的聚焦效果。本文所使用的PSO_GA算法相對于傳統的PSO算法具有更快的收斂速度以及更高的穩定性,另外利用PSO_GA算法構建的超透鏡相較于利用PSO算法構建的超透鏡在聚焦效果以及光斑質量上也具有明顯的改善。