基于快速平穩冪次趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控制研究

龍琴, 袁森,2*, 李魏魏

(1.貴州大學機械工程學院, 貴陽 550025; 2.貴州理工學院機械工程學院, 貴陽 550003)

隨著人工智能、智慧城市和機器人等技術的發展和國家政策大力支持的背景下,自動導引車 (automated guided vehicle,AGV)廣泛應用在各個行業[1],它也將迎來新的發展機遇—AGV泊車機器人。

AGV泊車機器人能否勝任泊車任務,關鍵在于AGV軌跡跟蹤的響應性、穩定性和精確性。文獻[2]針對單舵輪AGV軌跡跟蹤問題,提出一種基于雙冪次趨近律的雙閉環軌跡跟蹤滑?？刂撇呗?可以實現AGV軌跡跟蹤快速穩定的響應。文獻[3]針對工廠運送物料的差速驅動AGV,提出了一種自適應模糊滑膜軌跡跟蹤控制律,協調控制外界因子對AGV的影響,提高軌跡跟蹤精度。文獻[4]針對AGV軌跡跟蹤控制器中參數較多問題,提出一種基于自適應反演法的軌跡跟蹤策略,可以提高AGV在不同工況下的軌跡跟蹤響應性和穩定性。文獻[5]以舵輪中線布置雙舵輪AGV為研究對象,通過模型預測控制器實現AGV軌跡跟蹤控制,具有較高的實時性和穩定性。文獻[6]在比例積分微分(proportion integration differentiation,PID)算法中引入模糊控制算法,實現PID參數實時自適應調參,可以提高AGV軌跡跟蹤的穩定性和精確性。文獻[7]通過模糊控制與滑膜控制相結合,實現對對角式舵輪分布AGV路徑糾偏控制,可提高AGV軌跡跟蹤的穩定性和精確性。

對于非線性系統的軌跡跟蹤控制是相當復雜的,需要考慮到跟蹤控制的響應性、精確性和穩定性,還需考慮到外界的干擾[8]。據此,采用Lyapunov穩定性理論設計非線性軌跡跟蹤控制器,可以幫助系統穩定性收斂。同時,對于非線性系統參數耦合和外界干擾的問題,滑膜控制是較為常用的控制算法,具有響應快、計算簡單和魯棒性的特點,但其存在控制率變換而產生抖振,如何消除抖振是滑?？刂频囊淮箅y題[9]。文獻[10]針對模型預測控制中存在的穩定性問題,提出一種基于Lyapunov函數輸入約束的模型預測控制器,改善輪式移動機器人的軌跡跟蹤穩定性問題。文獻[11]基于反步法與分層滑?？刂撇呗?提出一種輪式機器人軌跡跟蹤算法,可以提高系統的魯棒性和跟蹤精度,但系統還存在響應性問題。由于輪式移動機器人在運動過程中還存在著模型的不確定性和外部的隨機干擾,因此文獻[12-14]結合自適應控制律與其他控制算法處理軌跡跟蹤中穩定性、精確性和響應性問題,并通過Lyapunov穩定性理論驗證所提算法的魯棒性。

基于以上研究,為實現AGV泊車機器人可以快速平穩的跟蹤預定軌跡,考慮到Lyapunov穩定性理論和滑?？刂频奶攸c,設計一種基于快速平穩冪次趨近律的AGV滑模軌跡跟蹤控制策略。首先,對AGV非線性系統進行數學描述,建立AGV運動學控制模型。其次依據動力學模型,采用Lyapunov函數設計AGV泊車機器人的滑模切換函數,處理非線性AGV系統穩定性收斂問題;然后在冪次趨近律的基礎上添加一指數項,并用連續函數替換符號函數,可削弱外界不確定性干擾的影響,保證系統的穩定性和快速響應性,減弱輸出抖振,并保證了AGV泊車機器人可以快速穩定精確的跟蹤參考軌跡。最后,通過仿真驗證文中所述控制策略的有效性。研究成果為AGV泊車機器人未來的發展與研究提供一定參考依據。

1 AGV泊車機器人結構及數學模型

AGV泊車機器人的結構與運動存在著密切的關系,機械結構設計是否合理直接決定著AGV泊車機器人是否能夠正常運動,進一步影響泊車機器人的軌跡跟蹤精度。在建立運動學模型之前很有必要了解AGV泊車機器人的機械結構。

1.1 六輪式AGV泊車機器人結構

AGV輪式泊車機器人的整體結構如圖1所示,主要由上盤和下盤組成。下盤是泊車機器人的核心部分,直接影響著泊車機器人能否正常完成泊車任務。針對其運輸對象的質量和體積均較大,其運輸環境的特殊情況,AGV輪式泊車機器人采用六輪式的配置方案。

圖1 AGV泊車機器人整體結構圖

1.2 AGV泊車機器人的運動學模型

在建立泊車機器人車輪運動與AGV機器人本體中心運動之間的關系前,做出如下假設：①AGV泊車機器人的所有車輪與地面之間的接觸運動只有滾動而無滑動;②把AGV泊車機器人看作剛體;③AGV泊車機器人質心與結構幾何中心重合;④AGV泊車機器人在水平地面上運動。

AGV輪式泊車機器人采用六輪式行駛方案。即是位于車體中心線的兩個驅動輪和位于車體前后方向的4個萬向支承輪。當驅動輪受到電機驅動運動時,萬向支承輪也跟著運動。AGV泊車機器人的結構尺寸及相關運動參數如圖2所示。

XHY為泊車機器人坐標系(以下稱為B坐標系);H為車體結構的幾何中心;O1、O2分別為前驅動輪、后驅動輪的中心;O3～O6分別為4個萬向支承輪的中心;ω1～ω6為各車輪繞自身輪軸的旋轉角速度;vp3、vp4、vp5、vp6分別為4個萬向支承輪的橫向移動速度;d1為幾何中心H到車輪中心的距離;d2為幾何中心H到車軸的距離;車體中心H的速度u=[vX;vY;ωH];ωH為幾何中心H轉動角速度

1.2.1 驅動輪的運動分析

驅動輪受到驅動電機的驅動后只能進行前后運動,其運動學方程為

v1=ω1R

(1)

v2=ω2R

(2)

式中：v1、v2分別為前后兩個驅動輪沿著X方向移動的速度;R為車輪半徑;ω1、ω2為各車輪繞自身輪軸的旋轉角速度。

由于兩個驅動輪是布置在AGV泊車機器人的車體中心線上,可得

v1=v2=vX

(3)

式(3)中：vX為幾何中心H沿X方向速度。

綜合以上各式可得兩個前后驅動輪的旋轉角速度與車體中心H的速度之間的關系為

(4)

式(4)中：vY為幾何中心H沿Y方向速度。

1.2.2 萬向支承輪的運動分析

萬向支承輪有兩種運動狀態：一是繞自身車軸的旋轉運動;二是橫向移動。在AGV泊車機器人坐標系XHY下,以萬向支承輪3為研究對象,由幾何關系和運動關系可得

v3X=ω3R

(5)

v3Y=vp3

(6)

v3X=vX-ωHd1

(7)

v3Y=vY+ωHd2

(8)

式中：v3X、v3Y分別為萬向輪3沿X、Y方向速度。

由式(5)～式(8)可得萬向支承輪3的旋轉角速度ω3、橫向移動速度vp3分別為

(9)

(10)

同理,分析其余3個全向支承輪的旋轉角速度和橫向移動速度,可得4個萬向支承輪的速度與車體中心速度之間的關系為

(11)

(12)

1.2.3 AGV泊車機器人整體運動分析

綜合式(4)、式(11)、式(12)可得AGV泊車機器人的整體運動關系為

(13)

(14)

由式(13)可知,前后方向對應的車輪旋轉角速度是相等的,且車體中心線方向的兩驅動輪的速度均等于車體中心的速度,故可將六輪式的AGV泊車機器人簡化為兩輪式的AGV泊車機器人,以便研究AGV泊車機器人的軌跡跟蹤問題。軌跡跟蹤運動模型如圖3所示。

xoy為全局坐標系(以下簡稱A坐標系);XHY為泊車機器人坐標系(以下簡稱B坐標系);θ為車體中心線與全局坐標系中x軸之間的夾角(航向角);(x,y,θ)為AGV泊車機器人在全局坐標系下的實際位姿;(xr,yr,θr)為AGV泊車機器人的理想位姿;(Xe,Ye,θe)為泊車機器人坐標系下的軌跡跟蹤偏差;v、ω分別為車體中心線速度和角速度

假設汽車無側滑運動,則有

(15)

由于假設所有車輪無縱向打滑,故AGV泊車機器人在全局坐標系下的運動學模型為

(16)

令L=Cq,其中,C為變換矩陣,q=(v,ω)T為AGV泊車機器人的實際速度向量。

1.3 AGV泊車機器人軌跡跟蹤的數學模型

在圖3中,對于任意一點p在A坐標系與B坐標系之間的坐標變換關系為

(17)

(18)

ApBo=(x,y,θ)T

(19)

結合式(17)～式(19),將理想位姿(xr,yr,θr)代入式(17)中可得

(20)

由式(20)可得,AGV泊車機器人的軌跡跟蹤偏差的數學模型為

(21)

對式(21)求導可得AGV泊車機器人軌跡跟蹤的狀態方程為

(22)

2 基于Lyapunov函數的快速平穩趨近律的滑模軌跡跟蹤控制器設計

根據Lyapunov函數直接法判定系統穩定性的條件,構造Lyapunov函數使其為正定函數(PD),對構造的Lyapunov函數求導,選取合適的θe使所構造的Lyapunov函數是負定函數(ND),則能使系統一致漸近穩定,即據此原理設計滑模切換函數。在傳統的冪次趨近律的基礎上增加一指數項,構成快速趨近律,同時將快速趨近律中的符號函數替換為連續函數,得到快速平穩的滑模趨近過程,使AGV泊車機器人運動時能快速穩定地從任意偏差位姿狀態到達滑模面。

2.1 基于Lyapunov函數的滑模切換面設計

尋找合適的速度控制律q=(v,ω)T使位姿偏差均趨近于零是AGV泊車機器人軌跡跟蹤的本質。式(16)的運動學模型表達的是一個多輸入多輸出的非線性系統,在利用滑模變結構控制多輸入多輸出系統時,難點在于滑模切換面的設計,故此采用Lyapunov函數直接法設計滑模切換面,可以解決多輸入多輸出非線性系統滑模切換面設計困難的難題。

引理[15]：若?x∈R且x有界,則f(x)=xsin(arctanx)≥0,當且僅當x=0時,f(x)=0成立。在該引理的基礎上,采用Lyapunov函數設計滑模切換面。

當AGV泊車機器人在運動過程中X軸方向的位置偏差為零時(即Xe=0時),令θe=-arctan(vrYe),選擇Lyapunov函數可表示為

(23)

對式(23)求導,有

(24)

(25)

根據式(25)設計滑?？刂破魇箂1→0,且s2→0,以實現AGV泊車機器人在運動過程中X軸方向的位移誤差收斂到零(即Xe→0),且航向角偏差θe收斂到-arctanvrYe,最終達到Y軸方向的位移偏差Ye和方向偏差θe均收斂到零的目標,從而實現AGV泊車機器人較為精確地跟蹤給定參考軌跡(期望軌跡)。

2.2 基于改進的冪次趨近律的速度控制律設計

滑模運動主要包括正常運動,滑動模態,穩態誤差3個過程,正常運動指的是系統在有限的時間內,從任意初始狀態到達滑模面這一過程;滑動模態指的是滑模面內系統狀態的運動;穩態誤差是指系統趨于穩態后出現的等幅振動現象。為削弱振蕩,常采用趨近律的方法。一般趨近律的表達式為

(26)

(1)當f(si)=0時,得到等速趨近律為

(27)

(2)當f(si)=η2si時,得到指數趨近律為

(28)

式(28)中：η1、η2均為正數。

(3)當η=η3|si|n,得到冪次趨近律為

(29)

式(29)中：η3>0;0

以上趨近律各有特點。等速趨近律的性能取決于趨近系數η,η越大趨近速率越大,但系統產生的抖振也就越劇烈,η越小趨近速率越慢。指數趨近律相對等速趨近律趨近時間更短,運動點能夠較為快速地到達切換面si=0,但由于等速項仍然存在,故抖振現象減弱效果不明顯。冪次趨近律相對等速、指數趨近律抖振現象明顯減弱,能夠平滑地過度到滑模切換面,但趨近時間增加,趨近過程變得緩慢。

在滑模變結構控制系統中,既希望系統快速到達穩定狀態,又希望系統到達穩定狀態后出現的等幅振蕩小?；诖?在冪次趨近律的基礎上增加一指數項并用連續函數代替符號函數得到改進的快速平穩冪次趨近律。

(30)

證明如下。

(31)

(32)

由式(32)可得AGV泊車機器人從任意初始位置s=s0>0趨近到s=0的時間t為

(33)

由式(33)可知,系統運動點能在有限的時間內趨近到滑模面s=0。令β=arctan(vrYe),對式(25)求導可得

(34)

式(34)中：β為關于vr、Ye的函數。

聯立式(30)、(34)可解得AGV泊車機器人軌跡跟蹤的速度控制律u為

(35)

3 仿真分析

為了驗證提出的基于Lyapunov直接法的快速平穩冪次趨近律AGV滑模軌跡跟蹤控制算法的準確性、快速性和平穩性,分別以直線和圓弧軌跡為跟蹤對象,采用MATLAB進行仿真試驗。

3.1 直線軌跡跟蹤仿真

圖4 直線軌跡跟蹤曲線

圖4為直線軌跡跟蹤曲線,由于參考軌跡與實際軌跡設定不同的初始位姿,導致AGV泊車機器人運行初期,實際軌跡與理想軌跡存在較大偏差,但很快便能高精度地跟蹤參考軌跡,由此驗證了AGV泊車機器人運動學模型的正確性。圖5為AGV泊車機器人運行過程中,位姿偏差隨時間的變化情況。從圖5中可以看出,在0～1 s,縱坐標Y方向的位移偏差Ye的振蕩最大,橫坐標X方向的位移偏差Xe的振蕩和AGV泊車機器人航向角偏差θe相對較小,三者中振蕩最小的是Xe,主要原因在于設計滑模切換面時首先使Xe=0,據此構造關于Ye的合適Lyapunov函數,根據Lyapunov直接法穩定性的判定條件,選擇了關于Xe、θe的滑模切換函數,通過控制滑模切換面s趨于s=0,控制Xe→0,θe→0,再間接控制Ye→0。在這個過程中存在誤差累積,故Ye振蕩最大、θe次之、Xe的振蕩最小。1 s后,位姿誤差均趨于0,且幾乎不存在抖振現象。由此驗證了提出的基于快速平穩趨近律的滑模軌跡跟蹤控制算法的先進性、準確性、快速性。

圖5 位姿誤差隨時間的變化曲線

圖6、圖7分別為AGV泊車機器人的線速度、角速度隨時間的變化關系。由圖6、圖7可知,仿真線速度和仿真角速度由于初始值設置的不同,在1 s之前波動較大,這是在快速趨于期望值的表現,屬于正常情況。AGV泊車機器人在追蹤初始期望位姿的過程中,初始角速度的大小需要從正值開始減小,直到無限趨近于零,這個過程中慣性作用較大,且方向角也時刻在變化,故角速度存在的振蕩現象較線速度嚴重,但在1 s后均與參考值重合,且無振蕩,穩定性能好。圖4～圖7驗證了本文設計的軌跡跟蹤控制器能快速平穩地跟蹤直線參考軌跡。

圖6 速度隨時間的變化曲線

圖7 角速度隨時間的變化曲線

3.2 圓弧軌跡跟蹤

圖8 圓形軌跡跟蹤曲線

圖8為AGV泊車機器人跟蹤圓形軌跡時的跟蹤曲線,可以看出,圓形跟蹤效果良好,實際初始位姿和參考初始位姿的不同導致了較大的初始偏差。圖9直觀地反映了AGV泊車機器人的位置與姿態在跟蹤過程中存在的偏差,從圖中可以看出航向角偏差θe振蕩現象最明顯,而Xe、Ye幾乎不存在振蕩現象;同時Xe、Ye在3 s后穩定于零,θe的收斂速度相對于Xe、Ye顯得較為緩慢,主要原因在于AGV泊車機器人在圓形軌跡跟蹤過程中,航向角θ時刻都在變化,且參考初始航向角和實際初始航向角設置的偏差較大,但θe在4 s后也能穩定地收斂于零。

圖9 位姿誤差隨時間的變化曲線

圖10、圖11分別反映了AGV泊車機器人在圓形軌跡跟蹤過程中的速度、角速度隨時間的變化關系?？梢钥闯?實際線速度和實際角速度均能快速平穩地收斂到參考速度和參考角速度。圖8～圖11表明,所提出的基于快速平穩冪次趨近律的滑模軌跡跟蹤控制算法在圓形軌跡跟蹤過程中的準確性、快速性、平穩性與先進性。

圖10 速度隨時間的變化曲線

圖11 角速度隨時間的變化曲線

4 結論

為使AGV輪式泊車機器人能快速平穩地跟蹤期望軌跡,提出基于快速平穩冪次趨近律的滑模軌跡跟蹤控制策略。首先建立AGV泊車機器人的三維模型,根據三維模型進行運動分析,得到簡化模型的依據,推導出簡化后的運動學模型,在此基礎上推導軌跡跟蹤偏差的狀態空間方程。然后選取合適的Lyapunov函數,在驗證了系統的穩定性后設計滑模切換面,并使滑模切換面s→0,以實現X軸方向的位置偏差Xe和航向角偏差θe在AGV泊車機器人的運行過程中均收斂到零,從而間接實現Ye在AGV運行過程中能夠在有限的時間內收斂到零。針對傳統趨近律難以同時滿足滑?？刂期吔^程中的快速性與系統抖振弱的問題,在冪次趨近律的基礎上添加了指數項,并將冪次項的符號函數替換為連續函數,得到快速平穩的冪指函數趨近律,根據該滑模趨近律設計了AGV泊車機器人軌跡跟蹤的速度控制律,實現AGV泊車機器人既能快速地跟蹤給定的參考軌跡,又能使系統的抖振現象得到較大的減弱。最后,通過MATLAB分別對直線和圓形兩種參考軌跡進行仿真試驗。仿真結果驗證了所提算法的準確性、快速性和平穩性及先進性。該算法為AGV軌跡跟蹤控制策略的進一步研究提供一定的參考與借鑒。