初中數學幾何復習課的教學研究

江菊珠

［摘 要］引導學生動手操作，設計問題串，進行一題多變、一題多解等是有效的復習方法，運用這些方法進行初中數學幾何復習，可以顯著提升復習效果，培養學生的解題能力和思維能力。

［關鍵詞］初中數學；幾何復習課；平移；旋轉；軸對稱

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2024）02-0014-04

中考總復習，要復習整個初中階段所學的知識，重點關注學生對基礎知識和基本技能的掌握，同時也要適當關注其思維能力和思想方法的掌握，復習課的教學內容應滿足不同層次學生的復習需求。時間緊，任務重，該如何復習，才能高效？筆者認為引導學生動手操作，設計問題串，進行一題多解、一題多變等是有效的復習方法，采用這些方法進行初中數學幾何復習，可以顯著提升復習效果，培養學生的解題能力和思維能力。

一、課前準備，任務驅動

在幾何復習課中，讓學生動手操作感受圖形的生成是一種很好的教學方法。課前，先給學生布置任務，讓學生通過畫圖，親身感受圖形的生成過程，并在畫圖過程中體會變中不變的量。學生在實踐操作、思考運用中對所學知識進行回顧，可以加強對知識的理解。

例如，在上“圖形的平移、旋轉與軸對稱”復習課時，教師課前可布置給學生一個任務：請作出一個三角形，使之與圖1所示的[△ABC]全等。

學生通過思考及動手操作得出了以下方法。

二、知識梳理，建立框架

在初中數學幾何復習課中，回顧整理知識是復習的起點。教師可通過思維導圖或者表格幫助學生對知識進行系統化梳理（見表2），喚起學生對已學知識的回憶，建立知識框架，從而使學生對知識有全面且系統的認識。

例如，在上“圖形的平移、旋轉與軸對稱”復習課時，教師先收集如表1所示的學生不同的畫法（學生沒想到的畫法，教師課堂上補充），接著設計問題串驅動學生復習幾何的概念和性質。

問題1：在以上四種變換過程中，什么改變，什么不變？

問題2：變換前后的兩個圖形是什么關系？

問題3：全等圖形有什么性質？

本節復習課知識點較多，采用圖表的形式將零散的知識點進行梳理，可以使學生對知識有系統的認識。在這個環節中，學生的參與面較廣，教師在教學中關注知識與技能的傳授，使學生能較好地把握“四基”。

三、問題導向，自主探究

復習課堂要體現“導為主線，學為主體”， 那么問題串的設計是關鍵。學生在教師設計的問題串的引導下能真正主動參與到教學活動中，積極思考問題，從而能夠有效解決問題。教師在進行問題串的設計時，應根據課標要求及教學重難點，把教學內容轉化為一個個指向明確的問題，引導和啟發學生思考、探索、交流，并概括及抽象出數學結論。問題串的設計要由淺入深、層層遞進，引導學生關注問題的本質。有問題串的引導，學生解決問題水到渠成，教學效率亦得到提高。

例如，在上“圖形的平移、旋轉與軸對稱”復習課時，因為考慮到旋轉和軸對稱是中考出現頻率較高的內容，也是學生的學習難點，所以教師選擇了以下兩道典型例題分別鞏固這方面的知識點。

［例1］如圖2所示，在矩形[ABCD]中，點[E]是[BC]上一點，將矩形[ABCD]沿著[AE]折疊，使點[B]落在點[F]處，若[F]是[CD]的中點，則[ADAB]的值是___________。

問題1：你能從圖中找到哪些相等線段，哪些相等角？

問題2：若[AB=5] cm，你能求出圖中哪些線段的長度？

問題3：若[AB=x]，你又能求出哪些線段的長度？（用含[x]的代數式表示）

問題4：你能求出[ADAB]的值是多少嗎？

［例2］如圖3所示，在正方形[ABCD]中，點[E]、[F]分別在邊[BC]、[CD]上，且[∠FAE=45°]。將[△ADF]繞著點[A]順時針旋轉90°得到[△ABG]，求證：[△AEG] ≌[△AEF]。

四、變式訓練，打破思維定式

一題多變、一題多解、多題一解等都是復習課比較好的教學方法。一題多解和多題一解可以充分調動學生積極參與問題的討論和解答，使不同層次的學生都有所收獲。在實際的教學中，部分教師因為怕浪費課堂時間，而對一題多解的題目擇優而講，這其實是在限制學生的思維。多題一解實際上就是題目變式，可以幫助學生從不同側面理解概念，更好地認識同類問題的本質和解決方法，有效打破思維定式。

針對以上兩道例題，分別設置了如下變式題：

［例1變式］如圖4所示，在正方形[ABCD]中，[AB=3]，點[E]、[F]分別在邊[BC]、[CD]上，將[AB]、[AD]分別沿[AE]、[AF]折疊，點[B]、[D]恰好都落在點[G]處，已知[BE=1]，則[EF]的長為___________?。

問題1：折疊問題屬于什么圖形變換？折疊的性質有哪些？

問題2：例1和變式題的解題方法有什么共同點？解決此類問題的一般步驟是什么？

小結：折疊→全等→確定對應線段數量關系→利用勾股定理或相似構建方程。

［例2變式1］如圖5所示，在[△ABC]中，[∠BAC=90°]，且[AB=AC]，點[D]、[E]都在邊[BC]上，[∠EAD=45°]。若[BD=4]，[CE=3]，則[DE]的長是___________。

問題1：題目中的條件有哪些？

問題2：[∠1+∠2]等于多少？

問題3：你能通過適當的圖形變換把[∠1+∠2]拼接在一起嗎？

問題4：你能快速畫出問題3所拼接的圖形嗎？（展示作圖過程）

問題5：觀察你所畫的圖形，你能找出圖中相等的角和相等的邊嗎？

問題6：是否存在特殊角？

問題7：你有什么發現呢？（找三角形全等、直角三角形三邊的數量關系等）

展示解法：解法一利用旋轉作輔助線；解法二利用折疊作輔助線

［例2變式2］如圖6所示，在[△ABC]中，[∠BAC=120°]，且[AB=AC]，點[D]、[E]都在邊[BC]上，[∠EAD=60°]。若[BD=4]，[CE=2]，則[DE]的長是__________。

提示1：能用變式1的方法來解答此題嗎？

提示2：遇到60°角，你會想到什么？能構造出哪些特殊三角形？

設計的變式題，從易到難，條件逐漸弱化，能讓不同層次的學生都有所收獲，且讓學生系統掌握半角模型的使用方法，讓學生達到“解一題會一類，懂一法長一智”的目標。

五、歸納模型，提高解題效率

掌握一些重要的幾何模型，對解決幾何綜合題有一定的幫助。對學生來說，解決幾何綜合題最大的難點是作輔助線。熟悉常見的幾何模型對正確作出輔助線有一定的啟示作用，可以提高解題效率。

在完成以上教學環節后，教師向學生提出以下三個問題，引導學生對基本圖形進行歸納總結，從而歸納出半角模型。

問題1：以上4個圖形的結構特征有什么共同點？

問題2：你能總結一下這類題型的解題方法嗎？

解題方法總結：結合“大角含半角+鄰邊相等”，可通過作輔助線，把分散的條件集中到一起，從而把隱含的條件與性質顯現出來。通過旋轉，使相等的邊重合，以便將另外兩個和為大角一半的角拼湊在一起，得到特殊角，構造旋轉全等。

問題3：你能歸納出幾何模型嗎？

幾何模型歸納（如圖7）：

引導學生對經典幾何模型進行歸納，讓學生在歸納過程中感受模型的提煉是從特殊到一般的，從而培養學生的建模意識。

六、課后作業，加強理解

本節課的作業題是從整體視角熟悉知識之間的內在聯系，包含本單元學習要培養的數學能力、數學思想方法及核心素養等。

（一）技能固化類作業

1.中華文化底蘊深厚，地方文化活動豐富多彩。下面四幅簡筆畫是從我國地方文化活動中抽象出來的，其中中心對稱圖形是（）。

2.如圖8所示，[△OAB]的邊[OB]在[x]軸的正半軸上，點[O]是原點，點[B]的坐標為（3，0），[△OAB]沿著[x]軸向右平移2個單位長度，得到[△CDE]，連接[AC]和[DB]，[△BDE]的面積為3，則圖中陰影部分的面積為（）。

A. [12] ? ? ? ? ? ?B. 1 ? ? ? ? ? ? C. 2 ? ? ? ? ? ?D. [32]

3.如圖9所示，把[△ABC]繞著點[A]順時針旋轉120°，得到[△ADE]。若點[D]、[E]、[B]在同一直線上，則[∠ABC]的度數為_____________。

4.如圖10所示，把矩形紙片[ABCD]沿著[AE]折疊，使點[D]落在[BC]邊的點[F]處。若[AB=8]，[cos∠FEC=35]，則[BC]的值為_____________。

5.如圖11所示，在Rt[△ABC]中，[∠C=90°]，把線段[AB]繞著點[A]逆時針旋轉90°得到線段[AD]，再把[△ABC]沿著[CB]方向平移到[△EFG]的位置，當[E]、[F]、[D]三點在同一直線上時，求[∠BDF]的大小。

（二）能力提升類作業

如圖12所示，在[△ABC]中，[AB=AC]，[AD⊥BC]于點[D]，[∠BAC]為銳角。

（1）將線段[AD]繞著點[A]逆時針旋轉（旋轉角小于90°），在圖中求作點[D]的對應點[E]，使得[BC=2CE]。（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，過點[B]作[BF⊥AC]于點[F]，連接[EF]和[EC]，若[BFBC=45]，求證：[EFBF=58]。

（三）能力拓展類作業

已知：正方形[ABCD]中，[∠MAN=45°]，[∠MAN]繞點[A]順時針旋轉，它的兩邊分別交[CB]和[DC]（或它們的延長線）于點[M]、[N]。

（1）當[∠MAN]繞點[A]旋轉到[BM≠DN]時（如圖13），線段[BM]、[DN]和[MN]之間有怎樣的數量關系？并說明理由。

（2）當[∠MAN]繞點[A]旋轉到如圖14的位置時，線段[BM]、[DN]和[MN]之間又有怎樣的數量關系？證明你的猜想。

（3）若正方形的邊長為4，當點[N]運動到[DC]邊的中點處時，則[BM]的長是_____________。

這些題目與本節課所學的知識點和模型思想聯系緊密，既注重鞏固基礎知識和基本技能，又兼具能力提升。

本節課的教學采用動手操作、問題串設計、一題多變等策略，對學生突破學習難點有較大的幫助。問題串的設計符合學生的認知規律，對于綜合性較強的問題，通過問題串把難度分解，層層推進，各個擊破，使學生能在問題串的引導下順利解決各個問題。一題多變可以讓學生系統掌握同一類題的解題策略，知道在解題時應采取“從具體圖形入手—分析變換形式—掌握變換性質—運用性質解題—歸納總結”的策略。

（責任編輯 黃桂堅）