基于POD 方法的EPR 燃料棒流致振動特性分析1)

閔光云 馮琳娜 姜乃斌 ,

* (中山大學中法核工程與技術學院,廣東珠海 519082)

? (中國核動力研究設計院核反應堆系統設計技術重點實驗室,成都 610213)

引言

承受軸向或橫向流的結構常見于能量產生和轉換的行業中[1-2],限制這些結構的發展和可靠性的一個重要原因是流體-結構耦合的振動,通常被稱作流致振動[3](flow-induced vibration,FIV).FIV 是造成燃料棒包殼微動磨損(grid-to-rod fretting,GTRF)最主要的原因之一[4-5],在工程中需時刻注意.燃料棒包殼容納燃料芯塊,并包容裂變氣體,它是防止放射性物質外泄的第一道屏障[6].然而,GTRF 磨損會使得包殼變薄,嚴重時可能會造成放射性物質泄漏,嚴重影響國民經濟、危害人民安全.

近20 年來,國內外學者在燃料棒流致振動機理及GTRF 磨損領域開展了大量的研究[7-15].部分學者采用數值模擬方法研究燃料棒的流致振動,學者們通常只借鑒“弱流固耦合”思想,即只考慮流場對結構的影響,并沒有考慮結構變形對流場的影響.如Kim 等[7-9]建立了燃料棒的多跨連續簡支梁模型,結合半經驗公式并基于隨機振動理論,系統地研究了格架失效對燃料棒固有頻率和振型的影響.齊歡歡等[10-11]也通過多跨連續梁模型研究了格架失效對燃料棒湍流激振和旋渦脫落的影響.然而,“弱流固耦合”會樂觀地估計燃料棒的換熱能力[12],因此考慮流場與結構的雙向耦合,實時更新結構和流場的數據是非常必要的,但對計算機的性能要求較高.陳德奇等[13-14]通過3D 建模軟件UG 建立了帶格架的5×5燃料棒束模型,并通過ICEM 進行了網格劃分,最后基于ANSYS-Workbench 中的system couple 模塊實現了燃料棒和流場的雙向耦合,系統地研究了燃料棒束的流致振動特性.馬玉琢等[15]在文獻[14]的基礎上,進一步考慮了流場-結構場-溫度場多物理場耦合效應下燃料棒束的流致振動特性.也有部分學者通過試驗手段研究燃料棒的流致振動特性,但試驗成本高且工況單一.因此,性價比低、經濟性差是限制通過試驗手段研究燃料棒流致振動特性的主要原因之一.

另外,在計算流體力學(computational fluid dynamics,CFD)研究中,基于試驗或仿真數據樣本,構建降階模型(reduced-order model,ROM)是一種重要的研究手段.目前存在兩類典型的降階模型[16-17]:基于系統辨識方法的ROM (如神經網絡模型)和基于流場特征提取方法的ROM (如本征正交分解(proper orthogonal decomposition,POD)).有關POD 的研究,寇家慶等[18]基于POD 方法研究了OAT15A 翼型的跨聲速抖振模態;李凱等[19]發展了一種基于POD和Kriging 模型的定常氣動力降階模型,針對三維機翼模型的結果證明了該方法的可行性;孫翀等[20]基于POD 方法研究了風力機翼型在失速工況下的非定常流場特性;郭子漪等[21]基于POD-Galerkin 降維法構建了低維模型,系統地分析了熱毛細對流分岔.魏代同等[22]基于POD 方法對葉片碰摩響應問題進行了求解;李玉韋等[23]基于POD 方法求解了加筋筒殼的結構動力響應.Wang 等[24]基于POD-ROM模型系統地研究了黏彈性流體的流動特征.余波等[25]基于POD-RBF 方法對管道內壁進行幾何識別.基于POD 方法搭建降階模型,能夠實現振動特性的快速預測,為燃料棒的流致振動行為研究提供了新的研究手段.

目前,國內外公開文獻針對(European pressurized reactor,EPR)壓力容器內部流場的研究較多,但對于EPR 燃料棒的振動響應仍未有相關研究公開發表.基于此,本文將系統地研究EPR 燃料棒的振動特性.EPR 燃料棒相比M310 燃料棒的棒長更長,導致其頻率降低且幅值增大,在冷卻劑的作用下,可能會加劇GTRF 磨損,造成放射性物質的泄漏.本文基于ANSYS-APDL 建立了帶格架的EPR 燃料棒的多跨連續簡支梁模型,系統地研究了格架失效對EPR燃料棒頻率、模態的影響.然后,基于全階模型的樣本數據形成快照(snapshots)矩陣,利用POD 方法搭建了ROM,該ROM 能夠對模態、湍流響應快速重構.本文研究結果對EPR 燃料棒流致振動特性研究有一定的參考價值.

1 POD 分解

1.1 快照矩陣生成

POD 方法是在全階模型試驗數據或者仿真數據的基礎上形成快照矩陣[26-29],然后將快照矩陣投影到低維度的空間,該空間滿足快照矩陣的分散程度最大,數學解釋即為方差最大.

POD 方法的快照矩陣Y可描述為

式中,y1到yn為不同工況下的樣本數據.

1.2 POD 分解及最優基底獲取

POD 的本質是在全階模型試驗數據或者仿真數據的基礎上,獲得一組最優正交基底

尋找全階系統的最優正交基等價于1 個最值問題

式中,向量 φ 為POD 模態正交基,矩陣 ? 是POD 模態正交基的組合,并且矩陣 ? 滿足式(4)所示的正交性.式(3)中表述的最值問題可以轉化為特征值求解問題

由于快照矩陣Y的行號通常會遠大于其列號,那么矩陣YYT的維數也會遠大于矩陣YTY的維數.因此,為了降低本征正交分解過程中的計算規模,可以定義相關矩陣R

首先通過求解相關矩陣R的特征值和特征向量

進而得到矩陣YYT的特征值對應的特征向量

由此,得到一組POD 模態正交基,且任意樣本數據都可以表示成這組POD 模態基的線性組合,即

式中,αi為POD 模態基的系數.

利用上述式(8)獲得的少數幾個POD 模態正交基可實現對原始全階模型進行自由度縮減.

為了選擇盡可能少的POD 模態正交基,可以通過子空間的總能量與全階空間能量之比I(h)進行模態截取,I(h)可以表述為相應POD 模態特征值和與全部特征值和的比值

一般I(h)的值應大于90%以上,這樣所截取的POD 模態基可以用于將全階模型投影到更低維的子空間,并且保證一定的精度.

2 數值計算對象與方法

2.1 燃料棒-格架模型

目前,中國臺山的EPR 機組可選擇使用兩種燃料組件,一種是西門子設計的HTP 型燃料組件,另一種被采用的是法國阿?，m(AREVA)設計的AFA-3G LE 型燃料組件.

AFA-3G LE 型燃料組件的設計基于AFA-3G L 型燃料組件[30],每個燃料組件有265 根燃料棒和24 根導向管,呈17×17 的方式排布.AFA-3G LE型的燃料組件全長4802 mm,共有11 個格架,其中8 個為帶有攪混翼的攪混格架,另外3 個為不具有攪混功能的定位格架.該型燃料組件底部的2 個格架為定位格架,格架之間的距離較近;再往上為8 個攪混格架,最后1 個定位格架在燃料組件的頂部,詳見圖1 所示[30].

圖1 AFA-3G LE 燃料組件示意圖 (單位:mm)Fig.1 Schematic of AFA-3G LE fuel assembly (unit:mm)

AFA-3G LE 燃料組件的燃料棒由下部端塞、上部端塞、燃料芯塊、彈簧、包殼管和支撐管等部件組成.核反應堆運行過程中燃料棒內部的壓力和包殼的應變可能發生變化(輻照蠕變、熱膨脹或核裂變過程中會產生氣體).因此,在包殼的頂部和底部保留了氣腔室,且燃料芯塊由彈簧壓緊,詳見圖2所示.

圖2 EPR 燃料棒示意圖 (單位:mm)Fig.2 Schematic of the EPR fuel rod (unit:mm)

AFA-3G LE 燃料組件中每個燃料棒的長度為4553.4 mm,包殼的外徑和厚度分別為9.5 mm 和0.57 mm.格架作為保持燃料棒穩定性和提高其剛度的彈性構件,其由多個相互焊接的Zr-4 合金條帶組成.

如圖3 所示,在格架位置處,每個燃料棒由2 個彈簧片和4 個剛凸約束,保持了燃料棒的穩定性.

圖3 燃料棒受定位格架約束的示意圖Fig.3 Schematic of a fuel rod constrained by grid

單根燃料棒受到2 個彈簧片和4 個剛凸的約束,并且這些約束沿格架的對角線對稱.本文將剛凸和彈簧等效于彈性約束,如圖4 所示.

圖4 彈性約束示意圖Fig.4 Schematic of elastic constraints

綜上,單根燃料棒可以簡化為多跨連續簡支梁模型.

燃料棒的簡化模型如圖5 所示,在燃料棒每個格架位置處都有彈性約束.

圖5 EPR 燃料棒的多跨連續簡支梁示意圖Fig.5 Schematic of a multi-span continuous simply supported beam of EPR fuel

2.2 濕模態分析

放置在壓力容器冷卻劑中的燃料棒是典型的流固耦合(fluid-structure interaction,FSI)結構.對于FSI 結構,由于流體和結構之間的耦合效應,模態分析更加復雜.然而,濕模態分析考慮了流體和結構耦合效應.對于FSI 模型,其控制方程可以寫成

式中,MS,CS和KS分別是結構的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Ma,Ca和Ka分別是流體對結構附加的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;Fm(t)和Fe(t)分別為與運動相關和運動無關的流體載荷;X是廣義位移;(·)表示對時間求導數.

當流速遠低于臨界流速且結構振幅很小時,流體附加剛度和附加阻尼可以忽略,僅考慮流體附加質量的影響,強耦合問題退化為單向弱耦合問題:考慮附加質量的流固耦合系統強迫激振問題.

EPR 燃料棒為多點支撐系統.在多點支撐作用下,此類系統的臨界速度通常很高,即運行流速通常遠低于臨界流速.同時,多點支撐意味著支撐之間的管段較短且剛度較高,系統不易發生大幅值振動,即系統滿足小變形假設.基于以上兩點分析,本論文采用單向耦合計算方案分析燃料棒的流致振動特性.流體附加質量等于每個燃料棒排開水的質量,本論文以密度修正方式體現到梁模型中.

根據式(11)進一步可得到

式中,Mc=MS+Ma,Cc=CS,Kc=KS.

對于不考慮阻尼效應的自由振動,式(12)可簡化為

式中,ω為固有頻率,ψ為振型.

將式(14)代入式(13)可得到濕模態分析的特征方程

本文采用ANSYS-APDL 對燃料棒進行濕模態分析.

2.3 湍流激振響應分析

工程上,通常采用湍流激勵響應半經驗公式計算燃料棒的湍流激振響應值.根據壓水堆燃料棒的結構和流場分布特征,采用功率譜密度表征湍流激勵,結合相關功率譜密度試驗參數,求解每階模態的振動位移均方值.

根據文獻[31],對于第i階模態,在x處由軸向流產生的燃料棒均方根振幅為

對于第i階模態,在x處由橫向流產生的燃料棒均方根振幅為

式(16)和式(17)中的物理參數可參考文獻[31].

把軸向、橫向流產生的振幅線性疊加,則有

式中,σi(x)為第i階模態的振幅.總振幅由每個模態的振幅組合求得,模態組合采用10%頻率組合將各振型組集在一起[31].由每個振型的振幅σi(x)組合得到總振幅σ(x),在節點x處總振幅可表示為

式中,βij為組合系數,如果頻率之間的相對偏差小于10%,那么βij=0.5,否則βij=0.

3 POD分解與結果分析

3.1 EPR 燃料棒的流致振動

本文基于ANSYS-APDL 進行濕模態分析.燃料棒是典型的細長結構,其變形主要為梁式變形,因此本文將燃料棒簡化為受約束的多跨連續簡支梁模型,使用Beam4 單元模擬燃料棒,使用Combine40單元來模擬彈簧、剛凸與燃料棒之間的夾持作用.

由于本文建立的EPR 燃料棒簡化模型是結構高度對稱的模型,因此其模態是成對出現的,即X-Z平面和X-Y平面的模態是一樣的,如圖6 所示.

圖6 燃料棒的1 階模態Fig.6 1th-order mode of fuel rod

圖6 僅列出了沒有格架失效時EPR 燃料棒的1 階模態.在本文建立的有限元模型下,當模態階次為16 時,有效質量系數接近1.為了節約篇幅,下文的分析都是基于X-Y面.

在燃料棒的設計過程中,除了考慮燃料棒的材料特性和結構特征外,還需確定格架上彈簧片和剛凸對燃料棒夾持力的大小.夾持力太小時,燃料棒和格架之間的GTRF 磨損將增加;夾持力太大時,燃料棒將因過度約束而產生變形.

本文分析了格架失效對燃料棒濕模態和湍流激振響應的影響,且在本文中,認為格架失效為圖3 中格架處的彈性支撐全部失效,即格架中所有的彈簧和剛凸都失去了對燃料棒的彈性約束.本文設定了12 個失效工況,用于EPR 燃料棒的濕模態分析和湍流激振響應分析,相應的12 種失效工況如表1 所示.

表1 失效工況Table 1 Failure working conditions

氣腔室不具備剛度,燃料芯塊是一塊一塊堆疊起來的,也不具備剛度.因此本文在建立燃料棒有限元模型時,認為燃料棒的剛度特性主要由燃料包殼提供,即其他部件對剛度的貢獻很少,不考慮剛度,但需考慮質量.將其他部件的質量折算入對應的包殼管材料密度中可得到濕模態分析、湍流激振響應計算所需的質量參數,詳見表2.此外,楊氏模量為76.9 GPa,泊松比為0.37.

表2 質量參數Table 2 Mass parameter

在上述12 種失效工況下,通過對燃料棒的濕模態分析,得出格架失效對濕模態1 階模態的影響.以X-Y平面的為例,如圖7 所示,其中虛線表示沒有格架失效時燃料棒的固有頻率.同樣,在本文建立的有限元模型下,當模態階次為16 時,有效質量系數接近1,但由于格架失效對第2 階到第8 階模態的影響遠低于1 階,因此這里只列出了1 階固有頻率(圖7中的數值為頻率的大小).

圖7 格架失效和無格架失效下的1 階固有頻率Fig.7 1th-order frequency under grid failure and no grid failure

觀察圖7 可得知,格架失效對燃料棒1 階固有頻率的影響非常顯著.第1 個和第2 個格架單獨失效時燃料棒的固有頻率降低不明顯,這是因為這兩個格架緊鄰,其中1 個格架失效時還有另1 個格架提供支撐剛度.但第1 個和第2 個格架同時失效時,燃料棒的固有頻率將大幅度下降.另外,第11 個格架失效時,燃料棒的固有頻率也非常小.這兩個情況下燃料棒的固有頻率非常小的原因是:格架失效時,結構剛度大幅降低,有限元模型也變為懸臂梁模型.

基于濕模態分析所得模態信息,結合式(16)到式(19)可得到格架未失效時燃料棒的湍流激振響應,如圖8 所示.圖8 中的縱坐標為振幅,橫坐標為燃料棒軸線的標高.

圖8 EPR 燃料棒的湍流激振響應Fig.8 Response of EPR fuel rod

圖8 的主要作用是為了與下面格架失效時燃料棒的湍流激振響應作對比.格架失效對燃料棒湍流激振響應的影響將在下文詳細討論.

3.2 濕模態分析的POD 降階模型

基于全階模型對EPR 燃料棒進行模態分析,得到12 格架失效工況下燃料棒的模態信息并形成快照矩陣Y.根據本文中第1 節介紹的POD 方法將快照矩陣進行POD 分解,得到最優的POD 基,前12 階POD 模態的特征值λ(線性坐標)見圖9.

圖9 前12 階POD 模態對應的特征值Fig.9 Eigenvalues of the first 12 POD modes

根據式(10) 計算的模態能量占比I進行POD 模態的截斷.如圖9 可知第1 階POD 模態能量占比為10.1%,第2 階POD 模態能量占比為9.6%;第3 階到第8 階的POD 模態能量占比相差不大,都在9%左右,與第1 和第2 階POD 模態能量占比的差異不是很大.實際上,對于POD 方法來說,前2 階POD 模態能量占比應該是遠遠大于后2 階的POD 模態能量占比,這里出現這個現象的根本原因可解釋為ANSYS-APDL 在計算濕模態時導出的模態信息是“歸一化”后的模態數據,因此得到的快照矩陣在空間上的分布上是比較均勻的.

為保證降階模型的計算精度,截取前8 階POD 模態作為投影子空間 ?=[φ1,φ2,····,φ8],將全階模型投影到由POD 基所展成的子空間中,從而達到模型降階目的,最后重新投影回原始的物理空間重構EPR 燃料棒的濕模態.將格架失效后,全階模型和POD 降階模型所得濕模態進行對比,評估POD降階模型的計算精度.

本文通過濕模態分析,發現格架失效會對EPR燃料棒的1 階模態產生明顯的影響,且這種影響是具有規律的.為了便于分析,本文只列出了格架失效后燃料棒的1 階模態,如圖10 所示.

圖10 EPR 燃料棒的1 階模態Fig.10 1th-order mode of EPR fuel rod

觀察圖10 得到:濕模態的幅值會在格架失效位置處突然變大.8 階截斷的POD 降階模型基本能夠完全重構大部分失效工況下燃料棒的濕模態,但對于第10 工況下燃料棒的濕模態的重構誤差較大,需要增加截斷階次.但繼續增加階次將使得降階效果不明顯,這主要是模態數據“歸一化”導致的.

3.3 湍流激振響應的POD 降階模型

基于全階模型對EPR 燃料棒進行湍流激振響應分析(前8 階模態響應的疊加),得到12 個格架失效工況下燃料棒的湍流激振響應,并形成快照矩陣Y.接著,根據本文中第1 節介紹的POD 方法將快照矩陣進行POD 分解,得到POD 正交基,前12 階POD 模態的特征值λ(對數坐標)見圖11.

圖11 前12 階POD 模態對應的特征值Fig.11 Eigenvalues of the first 12 POD modes

根據式(10)計算的模態能量占比I進行POD模態截斷.如圖11 可知第1 階POD 模態能量占比為58.59%,第2 階POD 模態能量占比為41.27%,第3 階POD 模態能量占比為0.08%.觀察湍流激振響應的POD 模態能量占比圖,可以明顯看到前2 階模態能量占比遠大于后2 階的模態能量占比.

對于湍流激振響應分析,為保證降階模型的計算精度,截取前2 階POD 模態作為投影子空間 ?=[φ1,φ2],將全階模型投影到由POD 正交基所展成的子空間中實現模型降階,最后在物理空間重構湍流激振響應.12 個格架失效工況下燃料棒的湍流激振響應如圖12 所示.

圖12 EPR 燃料棒的湍流激振響應Fig.12 Response of EPR fuel rod

觀察圖12 得到:湍流激振響應會在格架失效位置處突然增大,這主要是因為格架失效會導致燃料棒的局部剛度減小.第11 和第12 工況下燃料棒的湍流激振響應非常大,因為這兩個工況下燃料棒的簡化模型將變為懸臂梁模型.此外,第3 和第10 工況下燃料棒的湍流激振響應也比較大,工程中也值得注意.

基于2 階截斷的POD 降階模型能夠重構大部分失效工況下的湍流激振響應,但對于第1 和第2 個格架失效時燃料棒湍流激振響應的重構誤差較大;對于第1 和第2 個格架失效時燃料棒湍流激振響應的重構需要增加截斷階次.但第1 和第2 個格架失效時燃料棒的湍流激振響應非常小,對結構的危險性是非常低的.

4 結論

本文以EPR 燃料棒為例,系統地研究了格架失效對燃料棒頻率、湍流激勵響應的影響,得到以下結論.

(1) 格架失效對燃料棒1 階固有頻率的影響非常顯著.其中,第1 個和第2 個格架同時失效、第11 個格架失效時,燃料棒的固有頻率明顯低于無格架失效的固有頻率.

(2) 格架失效會導致局部的剛度減小,因此格架失效會使得燃料棒的固有頻率降低,且在格架失效處,燃料棒的湍流激振響應會明顯增大.

(3) 第1 個格架和第2 個格架同時失效、第11 個格架失效時,燃料棒的湍流激振響應非常大.此外,第3 個格架、第10 個格架失效時,燃料棒的湍流激振響應也比較大.

(4) 對于湍流激振響應分析,POD 方法能降低樣本維度,截取前2 階POD 正交基形成的降階模型基本能重構燃料棒的湍流激振響應.對于濕模態分析,前8 階POD 降階模型才能基本重構燃料棒的濕模態.

(5) 增加燃料棒的支撐剛度以及增加格架的數量能有效地降低EPR 燃料棒的激振響應,工程中應當注意.