時變載荷作用下飽和黏土地基的流變固結特性研究1)

王立安 余云燕 孫建忠 陳 輝

* (蘭州交通大學鐵道技術學院,蘭州 730070)

? (蘭州交通大學土木工程學院,蘭州 730070)

引言

飽和黏土地基的固結沉降是影響工程建設和結構安全服役的重要問題[1-2].傳統理論中,將土體的時間效應和長期變形歸因于滲流固結,即超靜孔隙水壓力消散,外力完全轉化為土骨架的有效應力[3-4].然而,這一觀點與工程測試和實驗模擬結果并不完全一致[5-7].尤其對于滲透性很差的飽和黏土,因孔隙水很難滲透,導致孔壓難以消散,所以飽和黏土地基的固結沉降主要取決于流變.

天然土體具有固-流兩相組成和骨架孔隙結構,對于黏性土,其固體骨架不是簡單的彈性材料,而是介于牛頓流體和彈性固體之間的黏彈性材料.在載荷作用下,土顆粒的重新排列和骨架錯位會對應力–應變關系產生時間效應,稱為流變性[8-12].大量實驗表明,飽和黏土在固結過程中,主固結階段和次固結階段都伴有流變現象,即孔隙壓力消散和流變行為是耦合發生的.為了描述土骨架的流變效應,Taylor等[13]最先使用Kelvin 線性流變模型研究了飽和黏土的流變固結.Tan[14]利用Maxwell 模型考慮黏土的二次時間效應,并提出黏彈性固結理論.基于類似研究方法,Abousleiman 等[15]、Xie 等[16]、Liu 等[17]和Ai 等[18]采用整數階Merchant 模型,研究了不同載荷形式及邊界條件下飽和黏土的固結特性.然而,近些年學者們通過對比實驗結果,逐步發現傳統整數階流變模型在模擬黏土固結時不能滿足精度要求,需引入更多擬合參數才能實現有效模擬[19-20].進一步研究成果表明,Blair[21]和Gerasimov[22]提出的分數階流變模型能夠反映土骨架的無流動黏性,對黏性土具有更好的適用性[23-24].最新報道的文獻中,Ai 等[25]利用分數階Merchant 模型研究了多層各向異性飽和黏土的軸對稱固結.Wang[26]考慮溫度效應研究了流變性飽和黏土的固結特性.此外,Cheng 等[27]提出了超固結飽和黏土的分數階雙表面塑性模型.能夠看出,上述關于流變性飽和土固結特性的研究都只針對于恒定載荷,未考慮載荷隨時間的變化.實際工程中,地基土受到的載荷通常是隨時間變化的,如建筑物從開始建設到最終建成,作用于地基土的壓力逐漸增大而后保持恒定,該過程中地基土受到的壓力可視為斜坡載荷;再如施工中的臨時設施,先被建成而后拆除(三角形載荷);以及地基土的預壓固結,先逐級加載而后保持恒載,最后卸載,該過程可視為梯形載荷.盡管Cai 等[28]和耿雪玉等[29]利用時域函數考慮載荷隨時間的變化,對飽和土地基的固結問題做了研究,但采用的土體模型未反映流變效應.

為探索載荷變化和土骨架流變耦合作用下飽和黏土地基的固結特性,本文基于Biot 固結理論,利用分數階Kelvin 流變模型描述土骨架應力-應變關系,引入斜坡、三角形和梯形3 種時變載荷的時空域解析函數,構建飽和黏土地基的三維軸對稱固結模型.采用Hankel–Laplace 聯合變換推導控制方程的變換域解析解,然后通過數值反演獲得時空域解.最后,通過算例分析,討論了飽和黏土地基的固結特性及其物理參數的影響.

1 力學模型

1.1 分數階Kelvin 模型

經典Kelvin 模型是由一個彈簧元件K和一個Newton 黏壺N并聯而成,如圖1.將經典Kelvin 模型中的Newton 黏壺替換為Abel 黏壺[30],則得到分數階Kelvin 流變模型,其本構關系描述為

式中,σ和ε分別為應力和應變;Es為彈簧元件K的彈性模量;η,a分別為黏壺N的黏滯系數和黏性階數;t為時間變量.從式(1)能夠看出,當a=0 時黏壺N退化為線彈性固體,a=1 時黏壺N退化為理想Newton 流體,0

對任意時域函數f(t)引入如下Lapace 變換

利用式(2)對式(1)做Laplace 變換,得到

式(3)反映了分數階Kelvin 模型在Laplace 變換域的應力-應變關系,其中復模量.

將式(3)拓展到三維應力狀態,并寫為張量形式為

式中v為泊松比.

1.2 飽和黏土地基固結模型

如圖2 所示,半空間飽和黏土地基表面作用半徑為r0的圓形分布載荷q,根據力學模型的軸對稱性,建立柱坐標系r-φ-z.基于Biot 多孔介質理論,并考慮土骨架和孔隙水的慣性耦合,飽和黏土的固結平衡方程為

圖2 飽和黏土地基固結模型Fig.2 Consolidation model of saturated clay ground

式中,u和w分別為土骨架和孔隙水的位移張量;p為孔隙水壓力;ρ=(1-n)ρs+nρf為土體總密度,其中ρs和ρf分別為固體顆粒和孔隙水的密度;γw=ρfg為水的重度,g為重力加速度;kf為滲透系數.?表示Hamilton 算子,在柱坐標下,;上標“·”和“··”表示對時間t的一階和二階導數.σa為作用在多孔介質微元上的總應力,p為孔隙壓力.規定壓應力為正方向,則根據有效應力原理有

式中,σ'為土骨架有效應力張量,αs為反映土顆粒壓縮性的Biot 系數.

滲流連續性方程為

式中,M為Biot 系數,表征孔隙水的壓縮性.

將分數階Kelvin 模型應用于土骨架,即有效應力σ'滿足式(4).將式(4)和式(8)代入式(6),并考慮幾何關系(ε=(?u+u?)/2),整理后得到位移形式的固結平衡方程為

式中Kd=ρf s2/n+γws/kf.

1.3 時變載荷的數學描述

本文根據加載、卸載特征,考慮3 種時變載荷.

(1)斜坡載荷

如圖3(a)所示,載荷由t1時段線性增大至q0后保持恒載,不卸載,加載時長te=t1.載荷的時域變化函數描述為

圖3 時變載荷示意圖Fig.3 Diagram of time dependent load

式中,H()為Heaviside 階躍函數,其定義為

(2)三角形載荷

如圖3(b)所示,載荷由t1時段線性增大至q0后隨即線性卸載,卸載時長tu=t2-t1.載荷的時域函數描述為

(3)梯形載荷

如圖3(c)所示,載荷由t1時段線性增大至q0后保持恒載,在t2時刻開始線性卸載,恒載時長td=t2-t1,卸載時長tu=t3-t2.載荷的時域函數描述為

載荷在地表的作用區域為0≤r≤r0,則時變載荷q在空間、時間域的解析函數描述為

對徑向坐標r引入如下Hankel 變換

將式(11)～式(13) 代入式(14),而后利用式(2)和式(15)進行Hankel–Laplace 聯合變換,則分別得到斜坡、三角形和梯形載荷的變換域函數.

斜坡載荷

三角形載荷

梯形載荷

2 控制方程求解

本文考慮初始條件下位移、應力及孔隙壓力均為0,對式(9)做Lpalace 變換,并整理為

對式(7)和式(10)兩邊取散度,再將式(19)代入后得到

對式(20)做0 階Hankel 變換,而后整理為常微分方程組

式中

利用常指數基礎解系,將方程組(21)的通解設為

式中,γ為方程組(22)的特征根,Pf,Pθ為對應的函數幅值.

將式(22)代入式(21),得到線性方程組

由式(23)解得

利用式(23)的非0 解條件,得到

式中,β=γ2,B1=a11+a21,B2=a11a21-a12a22.

求解式(25) 得出βm(m=1,2),并進一步得出4 個特征根

式中,Cm,Dm(m=1,2)為待定系數.本文中地基模型為無限半空間,在無窮深度處(z→∞),所有場量需衰減為0,從而得出Cm=0.

將式(27)代入式(10),并利用體應變與位移的關系(θ=?·u),進一步得出土骨架的位移通解為

考慮地表(z=0)為自由邊界,且完全透水,則地表邊界條件描述為

對式(30)運用Hankel-Laplace 變換,則得到

將孔壓和應力通解代入式(31),則得到關于D0,D1和D2的線性方程組

式中,M為3×3 系數矩陣,其矩陣元素為

通過矩陣運算得出待定系數D0,D1和D2為

式中,[ ]T表示矩陣的轉置,[ ]-1表示逆矩陣.將已計算出的D0,D1和D2回代到位移和應力通解中,則得到變換域中位移、應力及孔隙壓力解.利用Parseval法[32]和Crump 法[33]進行Hankel-Laplace 數值反演得出時空域解,數值反演公式為

Hankel 反演

Laplace 反演

式中,Re,Im 分別表示取實部和虛部;?,T為自由參數,計算中取T=2t,?=5/T;N為級數截取項數,取N=256 時能很好地滿足精度[32].

3 算例分析

3.1 斜坡載荷

將式(16)代入系統控制方程,并利用表1 中的參數值,計算斜坡載荷作用下飽和黏土地基的固結響應.文獻[29]將土骨架考慮為線彈性本構,計算了飽和土地基在斜坡變載荷作用下的固結問題.圖4和圖5 首先取黏性階數a=0,將土骨架退化為彈性本構模型與文獻解進行對比.結果顯示,無論位移還是孔隙壓力,本文退化解與文獻解都能較好吻合.由圖4可知,當考慮土骨架的黏性流變后(a=0.5),飽和黏土在主固結階段的沉降速率較慢,而次固結階段的沉降速率加快,而且長期沉降量增大.圖5 顯示,土骨架黏性流變使孔隙壓力峰值減小,而且孔壓消散速率略小于彈性骨架.

表1 計算參數表[29]Table 1 Table of calculation parameters[29]

圖4 位移結果對比Fig.4 Comparison of displacement results

圖5 孔隙壓力結果對比Fig.5 Comparison of pore pressure results

圖6 和圖7 考察了不同加載時長下位移和孔隙壓力隨時間的變化.圖6 顯示,加載時長te越大(加載速率越小),主固結階段的沉降速率越慢,但長期沉降量相同.由圖7 可知,加載速率越小,孔隙壓力峰值越小.這是由于加載時長較大時,在加載過程中孔壓能夠及時消散,孔壓累積效應減小.

圖6 不同加載時長下的位移結果(a=0)Fig.6 Displacement under different loading durations (a=0)

圖7 不同加載時長下的孔隙壓力結果(a=0)Fig.7 Pore pressure under different loading durations (a=0)

圖8 和圖9 給出了不同黏性階數下位移和孔隙壓力隨時間的變化.由圖8 可知,土骨架黏性流變對主固結階段的沉降速率和長期沉降均產生影響.土骨架黏性階數越大(流變性越強),主固結階段的沉降速率越小,而長期沉降量越大,說明土骨架流變性顯著增大了次固結階段的沉降速率.圖9 顯示,土骨架流變性使孔隙壓力的峰值減小,孔壓消散速率減緩,說明土骨架流變性對孔隙水滲透具有抑制作用.

圖8 不同黏性階數下的位移結果(te=0.5 s)Fig.8 Displacement under different viscous orders (te=0.5 s)

圖9 不同加載時長下的孔隙壓力結果(te=0.5 s)Fig.9 Pore pressure under different viscous orders (te=0.5 s)

3.2 三角形載荷

將式(17)代入系統控制方程,計算飽和黏土地基在三角形載荷作用下的固結響應.圖10 和圖11在保持加載時長相同的情況下(te=0.5 s),考察了卸載速率對固結過程中位移和孔隙壓力的影響.圖10顯示,卸載時地基土發生變形恢復,卸載結束后位移收斂于恒定值.卸載時長tu越短(卸載速率越大),位移峰值略有減小,但發生的變形恢復量較大,造成地基長期沉降量減小.由圖11 可知,卸載時地基土中出現負孔壓,卸載速率越大,負孔壓越大.這是由于變形恢復時,土骨架彈性擴張產生負向孔壓;卸載速率越快,孔隙水滲透不及時,將產生更大的負向孔壓.

圖10 不同卸載時長下的位移結果(te=0.5 s,a=0)Fig.10 Displacement under different unloading durations(te=0.5 s,a=0)

圖11 不同卸載時長下的孔壓結果(te=0.5 s,a=0)Fig.11 Pore pressure under different unloading durations(te=0.5 s,a=0)

圖12 和圖13 反映了三角形載荷作用下土骨架黏性階數對位移和孔隙壓力的影響.由圖可知,土骨架流變性使地基土在卸載時發生的變形恢復量減小,因而產生的負孔壓相應減小.通過對比加載階段和卸載階段的曲線形態,能夠發現,在加載階段流變對位移和孔壓的影響大于卸載階段.

圖12 不同黏性階數下的位移結果(te=tu=0.5 s)Fig.12 Displacement under different viscous orders (te=tu=0.5 s)

圖13 不同黏性階數下的孔壓結果(te=tu=0.5 s)Fig.13 Pore pressure under different viscous orders (te=tu=0.5 s)

3.3 梯形載荷

將式(18)代入系統控制方程,計算梯形載荷作用下位移和孔隙壓力響應.圖14 和圖15 在保持加載時長和卸載時長相同的情況下(te=tu=0.5 s),考察了梯形加載過程中恒載時長td對位移和孔隙壓力的影響.圖14 顯示,恒載時長越大,土體固結程度越高,位移峰值和長期沉降量都越大,卸載時的變形恢復量也較大.由圖15 可知,恒載時長越大,卸載時產生的負孔壓也相應增大.

圖14 不同恒載時長下的位移結果(te=tu=0.5 s)Fig.14 Displacement under different dead load durations (te=tu=0.5 s)

圖15 不同恒載時長下的孔壓結果(te=tu=0.5 s)Fig.15 Pore pressure under different dead load durations (te=tu=0.5 s)

圖16 和圖17 在保持加載時長和恒載時長相同的情況下(te=td=0.5 s),考察了卸載時長tu對固結響應的影響.圖16 顯示,梯形載荷作用下,卸載產生的變形恢復小于三角形載荷.這是由于梯形載荷通過恒載階段使土體充分固結,因而卸載時的變形恢復減小.圖17 則表明,梯形載荷在卸載階段的孔隙壓力變化形態與三角形載荷相同.圖18 和圖19 給出了梯形載荷作用下,黏性階數對位移和孔隙壓力的影響.對比三角形載荷發現,當黏性階數較大時,梯形載荷作用下位移在恒載階段大幅增大,導致位移峰值和長期沉降量都明顯增大.這是由于黏性階數較大時,土體在恒載階段的次固結沉降增大,造成位移峰值和長期沉降量增大.

圖16 不同卸載時長下的位移結果(te=td=0.5 s)Fig.16 Displacement under different unloading durations (te=td=0.5 s)

圖17 不同卸載時長下的孔壓結果(te=td=0.5 s)Fig.17 Pore pressure under different unloading durations (te=td=0.5 s)

圖18 不同黏性階數下的位移結果(te=td=tu=0.5 s)Fig.18 Displacement under different viscous orders (te=td=tu=0.5 s)

圖19 不同黏性階數下的孔壓結果(te=td=tu=0.5 s)Fig.19 Pore pressure under different viscous orders (te=td=tu=0.5 s)

4 結論

利用分數階Kelvin 模型描述土骨架的黏性流變,結合Biot 多孔介質理論構建飽和黏土地基的三維軸對稱固結模型.考慮斜坡、三角形和梯形3 種載荷工況,研究了飽和黏土地基的固結特性.通過算例分析,總結出以下幾點結論.

(1)土骨架流變性對孔隙水滲透具有抑制作用,使土體在主固結階段沉降速率減緩,次固結階段沉降速率加快,而且長期沉降量增大.

(2)卸載階段土體會發生變形恢復,土骨架彈性擴張產生負孔壓.土骨架黏性流變越強,變形恢復量越小,產生的負孔壓也越小.

(3)載荷類型和加載路徑主要影響固結過程中位移和孔壓隨時間的變化形態,而土骨架黏性流變影響土體的長期沉降量.