基于對稱性評價的曲線對稱中心擬合算法

張 鑫, 劉海波,2,3, 夏玉國

(1.武漢地震計量檢定與測量工程研究院，湖北 武漢 430071；2.湖北省地震局，湖北 武漢 430071；3.中國地震局地震研究所 地震大地測量重點實驗室，湖北 武漢 430071)

1 引 言

在機器視覺中,目標位置的探測是核心問題之一。其中,一維圖像(即灰度曲線)中的目標位置探測,是相關任務中的基礎性問題[1]:一方面,很多基于線陣圖像傳感器的應用,僅能獲取一維圖像,需要獲取其目標位置[2,3];另一方面,在二維圖像目標位置探測中,也經常會采用在圖像中作灰度剖面的方法,將二維探測問題轉換為一維探測問題[4～12]。一維圖像中的目標位置探測,常用的方法有邊緣探測法、閾值法、極值法、曲線擬合法、灰度質心(centroid)法。邊緣探測法、閾值法與極值法均利用曲線局部信息實現曲線中心探測,邊緣探測法通常用于灰度曲線具有陡峭邊緣的情況,極值法適用于具有局部光滑凸起頂部/凹陷底部的曲線,而閾值法更適用于曲線具有良好對稱性的情況,這3種方法都容易受到局部噪聲的干擾,適用范圍有限[2～5,13];曲線擬合法適用于對圖像形狀具有某些先驗信息的情形,如在高斯光束成像的位置探測中,可以假設一維圖像為高斯曲線,曲線擬合所使用的算法因擬合曲線的類型而異,但都會使用曲線的大部分乃至全部信息,在曲線形狀符合先驗假設的情況下具有較高精度,除了曲線中心位置外,通常還需要將曲線幅度及水平尺度相關的系數作為待求參數,有時還需要引入非線性的數學模型,算法復雜,計算量相對較大[8～10,14,15];灰度質心法不需要對曲線形狀進行先驗假設,它無需迭代,計算速度快,在光斑測量時具有明確的物理意義—光斑能量中心,且在計算中使用了窗口范圍內的全部灰度信息,理論上對于高頻噪聲具有很強的抗干擾能力,是目前應用最廣的目標位置探測算法[1,16,17]。在缺乏曲線形狀先驗信息時,灰度質心法是現有算法中的最優選擇,然而,在曲線背景存在干擾的情況下,尤其是干擾信號距質心較遠時,計算結果容易產生較大偏差。因而通常采用窗口截取的方法來降低干擾信號的影響,但此時截取窗口的選取事實上決定了最終計算得到的質心位置,算法的穩健性嚴重依賴圖像的預處理策略。

為解決背景干擾下曲線中心的穩健估計問題,提出了一種通用的擬合算法,采用將曲線與自身水平鏡像匹配的方式,構造自變量為鏡像翻轉軸位置的對稱性評價函數,采用最小二乘法,求取對稱性評價函數極小值點,作為被測曲線的對稱中心(symmetry center)。該方法無需了解被測曲線的近似數學形式,僅含有對稱中心位置一個待求參數,且利用到了曲線與鏡像重合部分的全部灰度信息,適用于多種形狀的曲線中心擬合。

2 曲線對稱中心擬合算法

2.1 算法的基本原理

對原離散曲線進行插值,得到連續曲線:

y(x)=y?x」+(x-?x」)g?x」

(1)

=yn-[y?2η-n」+(2η-n-?2η-n」)g?2η-n」]

(2)

圖1 曲線與其鏡像進行匹配Fig.1 Match the curve to its mirror image

令η=η0+ξ,其中,η0=?2η」/2,顯然,0≤ξ<0.5, ?2η-n」=?2η」-n=2η0-n,則有:

en=yn-{y2η0-n+[2η-n-(2η0-n)]g2η0-n}

=yn-y2η0-n-2ξ·g2η0-n

(3)

在已知η近似值的情況下,可以計算出η0。以所有點不重合誤差的平方和作為對稱性評價標準,可按式(4)構造對稱性評價函數f(ζ)。

=∑(yn-y2η0-n-2ξ·g2η0-n)2

(4)

(5)

計算得到的對稱中心位置即為η0+ζ。分析式(5)可知,無論是對曲線進行上下平移、垂直縮放或是上下顛倒(反色),對稱中心的計算結果均不會受到影響。

2.2 迭代計算及收斂誤差

在實際應用中,由于η和η0均未知,在使用式(5)計算計時,采用近似值ζ0代替η0,計算結果為:

(6)

可令ζ0=η0+k/2(其中k為未知整數),代入式(6)則有:

(7)

定義k范圍內的平均梯度gn,k=(yn+k-yn)/k,有yn+k=yn+kgn,k,代入式(7),得:

(8)

(9)

此時的對稱中心計算結果為:

(10)

如采用迭代計算,將上1次計算得到的η′用于計算下1次的ζ0,則迭代結果收斂的充分必要條件為:

(11)

考慮到0≤ξ<0.5,可知:

-1

(12)

(13)

因此,可以認為,當迭代收斂時,k的值只有3種可能性:-1,0,1。根據式(9)及ζ、G的可能取值范圍,可以得到k的取值與γ取值范圍的相互關系。表1列出了k取不同值時,γ的可能取值范圍,表2列出了γ在不同范圍時,k可能的值。

表1 不同k值時γ的可能取值范圍Tab.1 The possible interval of γ with different k value

表2 γ在不同區間時k可能的取值Tab.2 The possible k value when γ lies in different interval

可見,該算法有可能收斂至錯誤的對稱中心,其原因在于式(3)僅在局部成線性,不能杜絕對稱性評價函數出現多個局部極值的可能性。如果收斂結果出現錯誤(k≠0),只可能存在1種情況(見表2),以每0.5 pixel為單元格,實際的像素中心必然位于錯誤結果相鄰的單元格內。因此,在迭代計算收斂后,僅需要在2種可能性中進行判定,即可避免收斂錯誤帶來的影響。

2.3 迭代計算結果的判定

(14)

3 算法的模擬驗證

3.1 迭代起點與收斂性

迭代計算需要先預先得到對稱中心的概略位置,如果算法對概略位置的精度要求過高,其適用范圍將受到極大限制,在此,采用典型的多峰值曲線對算法迭代起點的收斂性能進行驗證。

構造離散曲線yn=|sinc[π(n-328.33)/50]|,n=1,2,…,1000,其對稱中心坐標真值為328.33,采用不同的迭代起算點計算該曲線的對稱中心,結果與真值的偏差如圖2所示?？梢?對于對稱中心擬合算法,只要迭代初始值選取在曲線主瓣范圍內,即可保證收斂至正確的對稱中心。

圖2 迭代計算起點影響模擬實驗結果Fig.2 Simulation results of different iterating start point

3.2 污點干擾的影響

污點干擾是圖像測量中常見的情況,通常來自雜散光斑、衍射條紋及測量光路中的灰塵等,其對曲線中心擬合結果的影響會隨出現位置的不同而變化,在此對污點干擾的影響進行驗證。

圖3 污點干擾影響模擬結果Fig.3 Simulation results of spot interference

3.3 不均勻背景的影響

在理想的圖像測量中,目標曲線的背景應當是均勻的,在灰度質心計算中,甚至要在整個圖像中減去背景灰度值,以避免背景灰度影響。而在實際測量中,由于環境光、測量對像顏色不均勻或區域變色等因素影響,曲線可能存在不均勻背景,在此對不均勻背景的影響進行驗證。

圖4 不均勻背景影響模擬結果Fig.4 Simulation results of background interference

可見,不均勻背景對對稱中心的影響遠小于對灰度質心的影響,主要原因在于背景圖像自身的灰度質心與原始圖像質心不重合時,必然引起總體灰度質心朝向背景質心的偏移,而背景圖像自身的對稱性評價函數較為平坦,因而總體對稱性評價函數極值點受其影響極為有限。

3.4 截取窗口的影響

在通常的圖像處理中,會設置1個截取窗口,以排除目標區域以外圖像的影響,而截取窗口不同的選取方案,會造成曲線中心計算結果不同。在此分別對2種常用窗口截取方式造成的影響進行驗證。

將最大灰度所在像素作為截取窗口中心,在區間[21,301]內改變窗口寬度,分別計算截取后曲線的灰度質心及對稱中心,結果見圖5。

圖5 以最大灰度中心窗口截取影響模擬結果Fig.5 Simulation results of cut out curve with max-gray-scale-center window

設置閾值t∈[0.5, 1.5],刪去被測曲線中灰度小于t的部分,并刪去剩余曲線中與主峰斷開部分,分別計算截取后曲線的灰度質心及對稱中心,結果見圖6。由圖6可見,對于較為復雜的非對稱曲線,對稱中心受截取窗口選擇的影響遠小于灰度質心。

圖6 閾值窗口截取影響模擬結果Fig.6 Simulation results of cut out curve by gray scale threshold

4 算法的模擬驗證

采用工業相機及1倍遠心鏡頭,對準條碼水準標尺中的1根條碼(黑色),保持相機與條碼固定不動,在均勻照明的基礎上,在側方設置強光源,以產生不均勻背景。使用工業相機采集圖像,圖像的每1行作為獨立的灰度曲線,采用對稱中心擬合算法直接計算對稱中心,同時,對每一曲線進行反色處理(用飽和灰度值減去圖像灰度值),計算每一反色曲線的灰度質心。

圖7展示了其中1幀圖像的各行曲線中心計算結果?；叶荣|心的連線由于條碼內、外的污點而產生了明顯的扭曲,而圖像右下角的暗色區域使得灰度質心明顯偏離條碼中心;與之相比,曲線對稱中心連線基本不受污點與背景的干擾,在條碼中心附近,成一條與條碼平行的近似直線。

圖7 實際圖像中的曲線中心擬合結果Fig.7 Curve centers in real photo

通過調節光照強度,獲取不同曝光度的測量影像,采用對稱中心擬合算法及灰度質心法計算圖像中每行的對稱中心及灰度質心,并與參考直線x=814.16-0.0089565y(由其中一幀圖像對稱中心擬合得到,坐標系原點在左上角,y方向朝下為正)相比較,其結果見圖8,其中圖8(a)～圖8(d)分別是曝光度依次增大的影像,圖8(d)曝光度最大,背景噪聲最少。在曝光度發生巨大變化的情況下,每行灰度曲線的對稱中心變化量絕大部分在像素量級(在圖8(d)中,條碼右上角的亮斑擴大,覆蓋了右邊緣,使得前14行灰度曲線中心向左移動了11～16 pixel),而灰度質心受背景圖像的影響,位置變化量達到了數十甚至上百像素。

圖8 不同曝光度所得圖像每行曲線中心Fig.8 Curve centers obtained with different exposures

表3列出了圖8(a)、圖8(b)、圖8(c)中每行(除去圖像前14行數據)灰度曲線對稱中心與圖8(d)中對稱中心位置之差均方根值(RMS)。

表3 對稱中心位置變化量均方根值Tab.3 Table 3 RMS of symmetry center change

5 結 論

提出了一種通用的曲線中心擬合算法,通過曲線與其鏡像匹配程度,構造對稱性評價函數,定義了對稱性評價函數最小值點為曲線的對稱中心。通過構造對稱性評價函數,實現了曲線對稱中心的定義,推導出曲線對稱中心的計算公式,并對迭代計算的收斂情況進行了分析,給出了收斂結果的判定方法。對稱中心擬合算法經過理論分析及模擬、實際驗證,不受曲線上下平移、縮放與翻轉的影響,與灰度質心法相比,對污點及不均勻背景具有極強的抗干擾性,受窗口截取的影響也遠小于灰度質心,是一種穩健的擬合算法,在實際使用中,對圖像預處理的要求較低,具有普遍的適用性。且對稱中心擬合算法不僅適用于圖像處理中的曲線中心計算,也可應用于其他領域(比如時域信號分析、光譜分析等)。

在實際應用中,可以針對被測圖像特點,對算法實施進一步改進,比如梯度計算中可以采用平均梯度,以減小高頻噪聲的影響,或者引入加權策略,增加重要特征的權重等。

目前尚未對算法所能達到的最高精度進行驗證,后續將結合具體應用,對其計算精度進行進一步驗證與評價,同時,還將對算法向二維圖像中心擬合進行擴展,用于對稱軸(軸對稱)或對稱中心(中心對稱)的計算。