沈坤松
新課標要求開展項目式學習,“通過綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決真實問題,著力培養學生的創新意識、實踐能力、社會擔當等綜合品質”.根據這一理念,2023年中考中出現了許多新穎的項目式學習試題,下面舉例介紹這類試題的特點與解法.
例1 (2023·四川·自貢)為測量學校后山高度,數學興趣小組活動過程如下:
(1)測量坡角. 如圖1,后山一側有三段相對平直的山坡AB,BC,CD,山的高度即為三段坡面的鉛直高度BH,CQ,DR之和,坡面的長度可以直接測量得到,要求山坡高度還需要知道坡角大小.
如圖2,同學們將兩根直桿MN,MP的一端放在坡面起始端A處,直桿MP沿坡面AB方向放置,在直桿MN另一端N用細線系小重物G,當直桿MN與鉛垂線NG重合時,測得兩桿夾角[α]的度數,由此可得山坡AB坡角[β]的度數.請直接寫出[α],[β]之間的數量關系.
(2)測量山高. 同學們測得山坡AB,BC,CD的坡長依次為40 m,50 m,40 m,坡角依次為24°,30°,45°.為求BH,小熠同學在作業本上畫了一個含24°角的Rt△TKS(如圖3),量得KT = 5 cm,TS = 2 cm.求山高DF.([2] ≈ 1.41,結果精確到1 m.)
(3)測量改進. 由于測量工作量較大,同學們圍繞如何優化測量進行了深入探究,有了以下新的測量方法.
如圖4、圖5,在學校操場上,將直桿NP置于MN的頂端,當MN與鉛垂線NG重合時,轉動直桿NP,使點N,P,D共線,測得∠MNP的度數,從而得到山頂仰角[β]1,向后山方向前進40 m,采用相同方式,測得山頂仰角[β]2. 畫一個含[β]1的直角三角形,量得該角對邊和另一直角邊分別為a1 cm,b1 cm;再畫一個含[β]2的直角三角形,量得該角對邊和另一直角邊分別為a2 cm和b2 cm.已知桿高MN為1.6 m,求山高DF.(結果用不含[β]1,[β]2的字母表示)