初中數學教學的變式法則

艾新明 童亞平

變式教學是教師通過不斷變化題目的形式，挑戰學生的思維習慣，促使他們尋找解決問題新途徑的教學策略。這種教學策略不但能加深學生對數學概念和定理的理解和記憶，而且能培養學生的邏輯思維能力、問題分析能力和創新思維能力。在變式教學中，學生需要識別問題的本質，尋找不變的核心要素，這種能力的培養對于學生的長遠發展極為重要，而且，面對不斷變化的題目，學生的好奇心和探索欲得到滿足，學習會更加主動。此外，通過解決各種變式問題，學生能夠不斷鞏固和深化所學知識，提高學習效率。筆者以初中數學代數板塊、幾何板塊、函數板塊的內容為例，闡述變式教學的法則。

一、?????? “變則新”法則

變式教學有利于學生在課堂教學中不斷拓寬知識視野，潛移默化地接受創新意識的培養，也有利于教師落實《義務教育數學課程標準（2022年版）》中加強數與代數的整體性和一致性的要求。代數是初中數學教學的重要組成部分，其抽象性和邏輯性要求學生不僅要理解公式和定理，還要靈活應用它們解決問題。在講解“乘法公式中的平方差公式”這節課時，筆者依據7～9年級學生的年齡特征、認知特點，結合大單元教學理念，不斷呈現變化的題型，讓學生真切體會數與式的完美統一。

原題是“運用平方差公式計算：（4x+3）（-3+4x）”。為發散學生思維，筆者這樣引導學生變式，首先，用（a-b）表示（-b+a），原式就變為（4x+3）（4x-3），同理，（3+2x）（-3+2x）可變式為（3+2x）（2x-3）。在此基礎上，筆者引導學生通過合理變形，運用平方差公式計算兩位數乘法“51×49”。有了前面的變式基礎，學生很快將“51×49”變為“（50+1）（50-1）”，避免了繁雜的計算過程。為拓展學生的變式思維，筆者出示了“（a-2）（a+2）（[a2]+4）”，學生立即發現“（a-2）（a+2）”可合并為“[a2]-4”，所以原式可變為“[（a2]+4）（[a2]-4）”。在此基礎上，筆者又出示“（x+y+z）（x+y-z）”，讓學生借助平方差公式解決這個多項式問題。經過思考，學生將原式轉化為“[（x+y）+z）] [（x+y）-z）]”。

這幾個變式由淺入深，由簡單到復雜，可以讓學生發現只有外在表現形式在變，公式的內在結構保持不變，從而深入理解平方差公式的結構特征，熟練運用平方差公式進行計算。實踐證明，這樣變式讓學生的數學視野更為開闊，數學思維得以發散。

二、“變則?！狈▌t

“變則?！笔墙處熞詶l件中某“一個點”為切入點，引導學生從不同角度解決同類數學問題，以分解題目難點，疏通解題思路，提高發散思維能力。

數學學習能力的高低主要體現在解決數學問題的能力上，“雙減”政策鼓勵“少而精”的訓練，因此，教師可以通過從不同角度分析一道題或一類題，引導學生一題多解，掌握多種解題方法，促使學生在解決一道題的過程中學會解決一類題的方法，培養舉一反三的發散思維能力，最終達到“增效減負”的目的。

例如，在“圓與三角函數”習題課的教學中，筆者借助如下例題開展變式教學活動。

例題? 如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O分別與邊AB、AD、DC相切，切點分別為E、G、F，其中E為邊AB的中點。若AD=3，BC=6，求tan∠AEF。

在教學實踐中，將一道繁難的數學題分解成若干個層層遞進的簡單問題是一種特殊的變式。根據已知條件，解答這道題難度較大，很多學生都有畏難情緒?；趯W情，筆者將題目進行拆解，設置層層推進的問題，幫助學生克服畏難心理，養成階梯式解決問題的思維習慣。

問題1? 圖中有哪些基本圖形？

問題2? 依據AD=3，BC=6，你認為可以解決哪些線段長度的問題？還可以用哪些方法解題？

問題3? 你有哪些求tan∠AEF的方法？

筆者將原題拆解為以上三個問題。其中，前兩個問題比較簡單，學生可以比較容易地在問題的引導下求出圓的半徑，切線DG、DF、CF等長度，為后續解答做鋪墊。在解決變式問題3時，筆者引導學生自主思考、小組交流，學生給出了不同的解法，筆者引導學生比較各種解法的優劣，最終確定了以下三種相對優化的方法。

解法1? 如圖2，過點D作DP⊥BC于點P，過點F作FM⊥AB于點M，交DP于點N。

這種輔助線的做法比較直接，構造出含有待求角的直角三角形，然后通過反復解直角三角形解決問題，但對題中含有的基本圖形沒有充分利用，解決問題的過程略顯費力。

解法2? 如圖3，延長AD、CB與直線EF交于點P、H。

這樣構建輔助線基于兩點：①將∠AEF放在直角三角形中，∠A為直角；②解決tan∠AEF的實質是解決線段的比值問題，而題中有平行線，所以要構造“X型”圖或“A型”圖來解決問題。

解法3? 如圖4，延長BA、CD交于點M，再連接OE、OM。

由于題中切線很多，我們可以從切線長定理入手解讀，如E、G為切點，學生很容易想到切線長定理。據此，筆者引導學生進一步思考，若E、F為切點，如何建立切線長定理的模型。這樣構建輔助線不僅體現了在圓的背景下切線長定理的運用，更巧妙地將∠AEF轉化為∠MOE，進而方便求解。

這樣變式可以讓學生掌握多種解決問題的方法，并且通過比較不同方法的優劣，養成批判思維習慣。

三、“變則通”法則

“變則通”就是教師從不同的角度改變教材例題的呈現方式，如增加條件或減少條件，由簡單到復雜，由特殊到一般等，引導學生從不同的角度認識知識的本質屬性。

函數是初中數學的重要內容，筆者以“一次函數的概念”變式教學為例談談變式教學在促進學生理解函數概念、提升學生解題技能方面的運用。

例題? 某登山隊大本營所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1km，氣溫下降6℃。登山隊員由大本營向上登高xkm時，他們所在位置的氣溫為y℃。你能用函數解析式表示y與x的關系嗎？它是正比例函數嗎？

筆者從學情出發，結合不同的實際情境設計變式問題，如物理學中的彈力問題、生活中的經濟問題等，幫助學生深入理解一次函數中兩個變量所滿足的關系，更好地掌握一次函數的概念。

變式1? 一個彈簧不掛重物時長12cm，掛上重物后伸長的長度與所掛重物的質量成正比。掛上1kg的物體后，彈簧伸長2cm。表示彈簧總長y（單位：cm）與所掛物體質量x（單位：kg）的關系。

變式2? 某種電話套餐的月金額y（單位：元）包括月租費22元和撥打電話x分鐘的計時費（按0.1元/分鐘收?。?。表示出y與x關系。

變式3? 在某火車站托運物品時，不超過1kg的物品需付2元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg計算）需增加托運費0.5元。設托運pkg（p為整數）物品的費用為c元。試寫出c與p的關系。

以上變式問題的介入，有利于學生將一次函數的概念與實際情境相聯系，更深刻地理解和掌握一次函數的概念，增強解決實際問題的能力。限于篇幅，不再詳解。

變式教學通過不斷改變題目的形式和條件，讓學生不再僅僅依靠公式、定理解決問題，而是通過深刻理解數學概念本質解決問題，從而培養學生的思維能力和創新能力，為學生的全面發展和終身學習奠定了堅實的基礎。

（作者單位：武漢市江夏區教學研究室）

責任編輯? 吳鋒