基于半解析渦環模型的農用單旋翼直升機流場快速計算

金濟 薛新宇 姚偉祥

摘要：農業航空領域中，定量獲取風場（流場）速度分布對單旋翼直升機輔助授粉作業、農藥施用效率提升具有重要意義?；诖颂岢鲆环N半解析理論方法能夠快速完整計算單旋翼流場速度。以渦環模型為基礎，將農用直升機旋轉槳盤下的尾渦系等效為渦環連續疊加所形成的圓柱渦面，再由渦環速度誘導公式半解析計算直升機旋翼空間各點速度。理論模型與仿真和文獻試驗數據比較，結果表明：渦環模型簡單快速，普通計算機（CPU 2 GHz，內存2 GB）上2.8 s完成計算；懸停時與計算流體力學仿真結果下洗速度徑向平均誤差小于1.9 m/s，平均相對誤差小于39.1%，軸向平均誤差小于2.26 m/s，平均相對誤差小于54.6%；懸停時，誘速從中央往槳尖遞增；前飛時，平飛速度越大誘速越??；流場主要影響因素依次為前飛速度、旋翼半徑、飛機總重、空氣密度。為定量計算農用直升機旋翼風場、輔助授粉作業和田間施藥噴頭布置提供一種快速方法和參考。

關鍵詞：農用單旋翼直升機；流場計算；渦環模型；流場影響因素；農業航空

中圖分類號：S252? 文獻標識碼：A? 文章編號：2095-5553 （2024） 03-0163-10

Fast computation of single-rotor helicopter flow field based on semi-analytic vortex ring model

Jin Ji1， Xue Xinyu 2， Yao Weixiang3

（1. College of Engineering， South China Agricultural University， Guangzhou， 510642， China; 2. Nanjing Institute ofAgricultural Mechanization， Ministry of Agriculture and Rural Affairs， Nanjing， 210014， China; 3. School ofInformation and Electrical Engineering， Shenyang Agricultural University， Shenyang， 110866， China）

Abstract：

In agricultural aviation， quantitative acquisition of wind field （flow field） velocity distribution is important for single-rotor helicopter-assisted pollination operations and pesticide application efficiency improvement. As a complement to the wind field computational fluid dynamics simulation， field or laboratory measurement methods， this paper applies a semi-analytical theoretical method to rapidly and completely calculate the single-rotor flow field velocity. Based on the vortex ring model， the trailing vortex by the tip of the helicopters high-speed rotating propeller is equated to a vortex ring， and the wake vortices system under the propeller disk is equated to a cylindrical vortex surface formed by the continuous superposition of vortex rings. The wake shape is judged according to the motion state， and the vortex ring position and radius are determined by the fixed wake or predetermined wake， and the velocity of each point in helicopter rotor space is calculated analytically or semi-analytically by the vortex ring velocity induction equation. The comparison of the theoretical model with the computational fluid dynamics simulation and literature test data shows that the vortex ring model is simple and fast， and the calculation is completed in 2.8 s on an ordinary computer （CPU 2 GHz， memory 2 GB）. The average error in radial direction is less than 1.71 m/s， the average relative error is less than 39.1%， the average error in axial direction is less than 2.26 m/s， and the average relative error is less than 54.6%. When hovering， the induced velocity increases from the center to the tip of the rotor. In forward flight， the higher the leveling speed， the lower the induced velocity， and the lower the forward flight speed， the airflow outside the slipstream below the rotor changes from upwash to horizontal flow to downwash. The main factors affecting the flow field are forward flight speed， rotor radius， gross weight of the aircraft， and air density in that order. This model and results can provide a quick method and reference for quantitative calculation of rotor wind field to assist pollination operation and field application nozzle arrangement.

Keywords：single-rotor helicopter; rotor flow field; vortex ring; impact factors of flow field； agricultural aviation

0 引言

農用單旋翼直升機廣泛用于植保施藥或植物輔助授粉作業。航空施藥中的單旋翼尺度變化范圍大，航速、航高、噴頭數量等不盡相同，霧滴飄失程度也就相差較遠［1， 2］。單旋翼直升機施藥作業時應使霧滴進入尾跡，利用旋翼下洗氣流使之準確快速接觸植株冠層［3］。同樣，直升機風場寬度、速度也對作物輔助授粉效果有重要影響［4］。故快速有效計算速度分布對掌握單旋翼風場（流場）規律，提高施藥質量、提升授粉效果、降低飄失帶來的環境污染具有重要意義。

研究旋翼流場有數值模擬［5］、理論分析［6］、實驗室（含風洞）或外場試驗三種途徑。傳統直升機空氣動力學領域中，結合數值計算的渦流模型應用最為廣泛。渦流模型的實現需要借助計算機，和旋翼氣動模型、數值算法一起，形成了浩瀚的模型變種和組合［7］?？捎糜诹鲌鲇嬎愕哪Ｐ捅姸?，已編寫成代碼模塊應用較廣的，至少包括OVERFLOW模型［8］，AGDISP實際使用并擴展到多旋翼的CHARM模型［9， 10］，以及黏性渦粒子或渦元法［11， 12］。然而上述代碼或軟件并不完全對外公開，自行編寫工作量大，且同樣涉及數值精度，計算量和穩定性問題，平均相對誤差超過20%［13］。傳統航空領域另有采用CFD或實驗方法研究旋翼流場的極多工作，可為農業航空風場研究提供借鑒。

當前，農業航空領域對旋翼流場的研究尚處于起步階段［14］。例如，AGDISP/AgDrift模型的公開論文［15， 16］處理直升機流場就存在理想化問題。該模型將直升機部分地看成固定翼飛機，認為槳盤下的流場初始為下洗流但迅速轉換為翼尖渦主導，槳葉誘導的下洗流僅在旋翼下方，尖渦誘導的速度場隨距離平方衰減。該流場模型只有當前飛速度較高才成立，而我國噴霧作業往往不符合條件。國外研究單旋翼直升機噴霧的文獻也較少，從理論［17］和ANSYS Fluent［18］方面考慮了飛行速度和側風對流場影響。國內農業航空界近年出于植保施藥飄移預測的實際需求，使用數值模擬、實驗室或田間試驗方法研究直升機旋翼流場。田間法［5， 19］使用傳感器研究無人機輔助授粉時，測量發現單旋翼風場流速沿飛行方向最大，垂直地面方向最小，隨著飛機總重增加，航高降低，風速峰值逐步增大。實驗室法［20， 21］使用不同測速技術捕捉到直升機不同懸停高度和前飛下洗流特征。CFD軟件仿真［2228］觀察到下洗流場主要集中在槳盤下方，伴有周向旋轉和徑向收縮運動。未計入地面效應情況下，下洗流最大值位于旋翼0.8R下方，隨高度降低逐漸減小，風場寬度增大。如有機身阻擋［29， 30］，速度軸向分量比徑向大，沿翼展方向先增加后減?。?1］，在槳尖附近達最大值。除CFD軟件外，另有應用格子玻爾茲曼機［3234］數值方法模擬單旋翼全機身，發現飛行速度與尾渦的關系，及對霧滴飄移的影響。

上述農業航空領域流場研究針對的均為特定機型和特定飛行狀態，定性結果居多，不易推廣擴展。試驗手段成本太高，耗費人力物力，不易獲得完整流場數據。CFD可以計算任意空間點速度，但只針對具體場景和應用，難以二次開發，且計算量大，使用普通計算機需耗費數小時乃至數十小時。因此保證合理精度，提出一種簡單且相對有效方法用于旋翼流場速度計算具有實際意義。

渦環模型是一種消耗較少計算資源的方法，近年已引起一些學者關注，并成功應用于風力機氣動建模［35］。由于風力機與直升機槳葉的相似性，本文選擇渦環作為直升機旋翼尾流模型，研究旋翼周圍空間流場的定量完整快速計算。忽略機身、尾翼等影響，將旋翼等效為作用盤，所發出尾跡用疊加的渦環代替，綜合固定尾跡法或預定尾跡法確定渦環空間位置和半徑，從而可利用Biot-Savart法則解析或半解析快速求出懸停和不同前飛速度下旋翼周圍流場誘導速度及其特征。

1 理論和計算方法

1.1 渦環模型

渦流理論考慮旋翼尾流中渦量的分布，可以完整計算誘導流場。通常渦量分布在螺旋渦面上，即使采用最簡單的固定尾跡法，從螺旋渦面計算誘導速度仍較復雜。注意到槳盤轉速很快，每一圈拖出的渦面近乎圓形，而槳尖集中了槳葉的大部分渦量，故可用連續的渦環等效螺旋渦面。渦環是渦量高度集中在環狀結構里的一種流體對象。以渦環中心為原點，建立圓柱坐標系（r，θ，z），則渦量空間分布

ω=Γδ（r－R）δ（z）

渦量位于圓心z=0、旋翼半徑R的圓上，環量Γ固定。該渦環誘導出軸向速度w和徑向速度u，均有解析表達式［35］。對圓柱坐標系下半徑r、軸向z處的點，誘速為

u（r，z）=Γk4πRzRRr3/2－K（k）+2－k22（1－k2）E（k）（1）

w（r，z）=Γk4πRRr1/2K（k）+R2rk21－k2－2－k22（1－k2）E（k）（2）

k=2Rrz2+（R+r）2

式中：K（k）、E（k）——第一類和第二類完全橢圓積分。

1.2 滑流邊界計算

渦環位置和直徑由滑流（slipstream）邊界確定?；鬟吔缗c流場計算、噴頭布置密切關聯，邊界內外的分割標志是槳尖渦。Landgrebe提出預定尾跡法，為確定尖渦位置和滑流邊界，做了很多試驗，得到定量結果［6］。依Landgrebe公式，畫出懸?；鬟吔缛鐖D1（a）所示，接近槳盤0.78R處，邊界明顯向內收縮，該現象不依賴槳葉具體幾何結構，主要與槳葉雷諾數有關。

前飛時自由來流以與直升機航速V∞相同的值進入槳盤平面，滑流向飛機尾部斜下拖出，不再是懸停時的豎直狀態。Beddoes通過確定入流分布估計槳尖渦豎向位置，依其計算可得到前進比μ=0.022時滑流邊界示意圖1（b）所示。

1.3 旋翼流場計算

按照固定尾跡法和渦環模型，槳葉旋轉尖端不斷發射出一圈圈渦環。如果槳盤由無窮多的槳葉構成（作用盤假設），那么渦環將連續組成圓柱渦面。傳統固定尾跡法的尾跡結構除圓柱渦面外，還包括旋翼平面的渦盤（bound vortex disk）和沿轉軸的根渦（root vortex）。渦盤和根渦激起周向速度分量。已知誘導流場以軸向速度為主，同時伴有周向和徑向速度分量。一般計算時，徑向速度可直接忽略，周向速度（切向或旋流速度）也很小，不到誘導功率的1%。故基于渦環模型計算誘導流場，實際中周向和徑向速度的影響可忽略不計。

1.3.1 懸停狀態

根據固定尾跡法單旋翼直升機懸停時渦環分布和坐標系如圖2所示。

設前進方為x軸，沿徑向y軸，z軸豎直向上，原點位于槳盤中心。設環量為Γ，圓柱坐標系切向單位分量eΨ，徑向er，軸向ez，圓柱渦面的軸向分布區間為［0，z0］。由Biot-Savart法則，圓柱渦面誘導速度［35］為

u（r，z）=ΓR4π∫z00∫2π0eΨ（θ′）［r2+R2－2rRcos（θ′－Ψ）+（z－z′）2］1/2dθ′dz′（3）

設ζ=z-z′，計算得徑向速度和軸向速度為

u（r，z）=ΓR2πr2－k2kK（k2）－2kE（k2）ζ2ζ1（4）

w（r，ζ）=－Γ4πRrζkK（k2）+R－rR+rΠ（k20，k2）ζ2ζ1（5）

其中ζ1=z，ζ2=z-z0，Π為第三類完全橢圓積分。令z0→∞，可解析求得旋翼穩定懸停后的徑向和軸向誘導速度，實際計算中z0只需取較大數。

1.3.2 前飛狀態

前飛時，旋翼尾跡呈一斜圓柱體（skewed cylinder），速度越快，傾斜越大。設圓柱傾角χ，槳盤迎角i，前飛尾流見圖3。在圖3中定義新坐標系x-ζ，ζ與原坐標變量x-z存在確定函數關系，設為ζ=f（x，z）。

在x-ζ坐標系中誘導速度公式與x-z坐標系下的圓柱渦面相同。函數f與尾流傾角χ相關，而傾角由式（6）確定。

tanχ=V∞cosiV∞sini+vi（6）

槳盤處誘導速度vi由式（7）給出。

vi=V∞sini+T2ρAvi2+（V∞cosi）2（7）

如果槳盤迎角i≈0，解得誘導速度為

vi=－V∞22+V∞222+vh4（8）

式中：vh——懸停時槳盤處誘速；ρ——空氣密度；A——槳盤面積；T——拉力。vh=T/2ρA（9）

求出傾角χ后，渦環便可以按圖3確定圓心空間位置，半徑不變。由式（1）、式（2）求解單個渦環誘導速度，再將各渦環誘速疊加，最后的合速度就是斜圓柱尾流對空間點的誘導速度。尾流傾角χ與前進比（μ=V∞cosi/ΩR）相關，當μ≥0.15時，式（6）已不準確，旋翼尾流應作平面渦系處理［6］。如果對象是重型直升機，高速前飛下的旋翼則可以看成圓形固定機翼，尾流渦量集中在槳尖渦里，旋翼平面渦系可用槳尖渦對替代。AGDISP/AgDrift便如此處理，原因是美國施藥所使用的多為大型直升機，且前飛速度快。

1.3.3 基于預定尾跡的旋翼流場

上兩小節流場計算基于固定尾跡，假設尾流中渦環半徑不變，這不符合事實。根據預定尾跡法確定的滑流邊界就是渦環的分布界限。由該界限可確定各xy截面上渦環半徑和圓心，繼而計算誘導流場。如果用渦環模型表示懸?；蚯帮w時的尾流，旋翼滑流邊界在槳盤平面下的形態如圖1所示。設左右兩條邊界曲線為z=f1，z=f2，則渦環中心為［f-11（z）+f-12（z）］/2，半徑為|f－11（z）－f－12（z）|/2。同前飛斜圓柱情形一樣，基于預定尾跡的旋翼尾渦是不規則圓柱，沒有解析公式，可以利用單個渦環誘速式（1）、式（2）疊加計算，此為半解析法。

2 計算結果和分析

2.1 CFD仿真

目前以Ansys Fluent為代表的商業軟件很成熟，農業航空領域也有較多直升機流場仿真成功案例。為定量驗證渦環模型準確性，本文同時設計CFD仿真試驗。首先使用ICEM CFD建立旋翼三維模型，略去機身、尾槳等結構。旋翼半徑0.219 m，弦長0.032 m，轉速2 400 r/min，槳葉扭轉角-6°，槳葉尖線速度55.013 m/s。旋翼直徑記為D。流域設置為無滑移圓柱體壁面，半徑10D，上表面為速度入口，距旋翼10D，下表面為壓力出口，距旋翼40D，如圖4所示。借鑒張宋超等［29］方法設置動域和靜域，動域為包含旋翼的較小空間，內部使用MRF動網格模型模擬槳葉旋轉。靜域和動域間使用interface連接傳遞計算，動域網格劃分較細，無需生成邊界層網格，經試驗幾乎對精度無影響，靜域較粗。采用非結構化網格，總網格數量約150萬。試驗發現，網格數在120萬～200萬之間，仿真流場、壓力云圖等均無顯著變化，且能捕捉到槳尖渦。故選擇了偏小的網格數量，減少計算復雜度。使用Ansys Fluent仿真，檢測網格質量后選擇穩態，無壓縮（槳尖馬赫數Ma<0.3），基于壓力的求解器，湍流方程為k-ω?sst模型。梯度項計算為基于單元體的最小二乘法插值，壓力—速度耦合采用二階迎風格式的SIMPLE算法。設置自由來流0 m/s，模擬懸停狀態。當殘差至少下降三個數量級以上才認為計算收斂。仿真完成后使用后處理軟件Tecplot打開數據文件，導出流場相應數據，方便與模型計算結果比較。

2.2 懸停流場

懸停狀態下的流場可根據式（4）、式（5）計算。流場速度理論上可以解析求出，但式（4）、式（5）中的橢圓積分無法手動計算，且實際積分限并非無窮，故需使用計算機。此處應用的是普通PC機，配置為Intel CPU T6400 2 GHz，內存2 GB，計算軟件MATLAB，用時2.8 s，是一種半解析方法。

因圓柱渦面對稱性，取yz截面研究，懸停時模型計算和CFD仿真的旋翼流場流線見圖5。模型計算的尾流內部流場稱為下洗流，之外為上洗。尾流內流線與CFD整體相同，均豎直向下，且有收縮。不同的是由于能量耗散，CFD下洗流場先收縮后擴大，相應速度則先增加后減少，符合張宋超等［30］研究的結論。渦環模型沒有考慮渦量耗散，流場寬度只在槳盤處（z=0）收縮，沒有明顯擴充變化。因為槳盤旋轉帶來的壓差，上方旋翼周圍空氣被吸入槳盤，但并不流經槳盤面覆蓋的整個下方空間，傳統結果是氣流半徑突然收縮為0.78R。CFD流場在槳盤處收縮體現得較為劇烈，而觀察模型流線圖坐標，收縮半徑大約為0.9R，相對誤差15.4%?？紤]到渦環模型較簡單，該精度已能令人滿意。

分別截取槳盤下方z=-0.1R、-0.5R處徑向下洗流數據，在相同截線處CFD仿真與渦環模型的計算值進行比較，見圖6。

模型計算的流場速度范圍為-7.2～0.3 m/s，而CFD仿真的誘速范圍為-7.5～0.2 m/s，根據式（8）計算的槳盤誘導速度為-6.9 m/s。模型和CFD兩者曲線的總趨勢是從中心開始沿徑向遞增至槳尖附近最大，越過滑流邊界受槳尖渦影響迅速轉為上洗，而后誘導速度減弱趨于0。故尾流圓柱以外，即上洗流區域和槳盤平面上方氣流速度很小，在直升機空氣動力學中常被視作靜流區。在同一高度，尾流內部平均下洗速度是外部最大上洗速度的5倍以上。從曲線看CFD仿真的下洗速度值和收縮程度均比模型大，在y=0.8左右達最值（模型y=0.9處最大），與圖5滑流邊界一致，而上洗流表現不如模型劇烈，顯示CFD流場捕捉的空間分辨率不夠。原因很可能是使用MATLAB逼近CFD數據時步長偏大，錯過了槳尖渦效應。此外因為無機身遮擋，與劉鑫［20］和張宋超［30］報道的中心誘速近于0不同，本算例模型預測槳盤下z=-0.1R中心點有較小下洗流w≈-0.5 m/s，為平均下洗流值（-3 m/s）的16.67%。CFD曲線上槳盤中心速度值為平均速度的42.83%。在轉軸下方z=-0.5R處CFD曲線原點的峰值消失，可能是根渦誘導效應減弱所致。渦環模型不考慮根渦，故原點周圍速度無波動。

在yz平面離中心y=0.1R、0.5R、0.9R處，下洗流沿軸向分布如圖7所示。

CFD仿真和模型計算均表明槳盤旋翼上方為下洗流。CFD曲線離旋翼平面越近速度值越大，中心附近區域上方有一峰值，此后接近旋翼速度遞減。CFD徑向不同位置的三條曲線均在槳盤平面處表現出振蕩行為。越過槳盤平面后y=0.1R、0.5R處CFD曲線模擬的下洗速度先增大后減小。y=0.9R處受槳尖渦影響，軸向的平均下洗數值較大，無明顯能量耗散。渦環模型因為比較簡單，僅曲線y=0.1R下洗流在槳盤上方波動，其余曲線速度值均沿軸向一路遞增?？缭綐P時模型與CFD曲線行為相差較大，其他位置絕對速度誤差最大約3 m/s，相對誤差為42%。說明考慮能量耗散對預測速度軸向分布很重要，模型與CFD吻合度需要進一步提高。

Landgrebe由多個模型計算和試驗測量得到下洗流徑向分布［6］，可以定性表述為：除槳葉尖端外，0.2R～0.9R范圍流速近似保持線性遞增。與圖6基本吻合，說明本算例的仿真和計算是可靠的。

2.3 前飛流場

下面考慮前飛情形。前飛旋翼尾流非定常，隨槳葉方位角變化大，CFD瞬態仿真需較強算力，故這里與前人的標準結果對照。NASA的Heyson［36， 37］對獨立旋翼流場做了大量測算工作，發布了一系列可靠報告，為下面算例比較參照。

現設尾流傾角χ為45°，繪制誘導流場xz截面流線如圖8所示。圓柱中的尾流斜向下運動，而圓柱下方滑流邊界外的氣流包含較小的下洗分量，氣流主要向前方上卷，離旋翼槳盤邊沿越近，對應坐標（1，0）處，上卷越強烈。注意到圖中流線從上到下穿透尾流，實際中是不存在的。出現該現象一則因MATLAB數值計算誤差，二因未捕捉到槳尖渦，而槳尖渦是滑流內外分界的標志。

隨著前飛速度加大，斜圓柱形態的尾流傾角將增大，其邊界下方上洗流區域縮小，逐漸前移到飛行前方，原來區域轉為下洗流。最極端情況尾流水平向后拖出，旋翼下方誘導速度完全下洗，僅水平前方上洗。我國中小型農用直升機通常前飛速度較小，以農業農村部南京農業機械化研究所N-3直升機為例［29］，平飛速度V∞=3 m/s，旋翼轉速Ω=828 r/min，槳盤直徑D=3.115 m，則前進比μ=0.022，尾流傾角χ=22°，遠達不到水平尾流狀態。

從圖8可以看出，飛行方向旋翼前后流場不對稱。令z=-0.2R，得到沿x軸分布的下洗速度，并與Heyson［36］結果比較，如圖9所示，縱坐標已使用平均誘導速度v0無維化。Heyson給出的是無維化后的數據，并未給定v0，故需要模型同時無維化與之比較速度分布形態。槳盤后緣曲線值顯著高于前緣，槳盤范圍以外后方為下洗，前方上洗，2R外趨于0。槳盤后緣最大誘速為平均值v0的1.4～1.8倍，前緣處為平均值0.2～0.5倍。x=±R處速度有一個跳變，進入槳盤前緣從上洗轉為下洗，脫離槳盤后緣下洗值急劇減小。略有不同的是，Heyson曲線很準確地定位跳變點在x=±R，而模型曲線向后方有約0.2R平移，且行為模式更復雜，表現為先增大后減少。這是槳尖渦臨近速度的典型行為，Heyson因試驗測量，傳感器布置不夠密，空間分辨率欠缺，有可能錯過流場的精細行為。此外，模型預測的滑流邊界外誘導速度比Heyson試驗值偏小。

植保施藥時，噴頭通常安裝在旋翼后下方。該位置的速度特征直接關系到噴頭布置。設典型參數χ=75°，x=0.5R，取旋翼上下兩條截線z=0.3R，z=-0.12R，繪制下洗流沿y軸分布曲線，和Heyson［37］結果見圖10。

旋翼上方z=0.3R處模型和試驗結果吻合得非常好，下洗流幾乎在整個槳面上維持穩定。旋翼下方z=-0.12R處超出尾流區域時上洗流較大，但在中心y=0處兩種方法差異明顯。模型預測為下洗流，Heyson試驗測量曲線則輕微上洗。由計算結果可知，z=-0.12R處已接近尾流邊界，容易受槳尖渦影響，加之前飛尾流復雜，致使此處模型不太準確。而在0.5R～0.8R區域，模型與試驗一致，此區域也是布置噴頭，最大限度利用下洗流場的地方。故x=0處誤差并不影響實際噴頭處模型速度估計。

2.4 誤差分析

對懸停情形，以CFD曲線為基準，根據圖6、圖7計算模型與CFD間的誤差Δw，并取絕對值|Δw|。由對稱性，徑向只取正半軸，繪制誤差曲線如圖11所示。對y軸范圍-R～R，z軸下方0～4R計算各項誤差指標（最大誤差、平均誤差、平均相對誤差），并設線性回歸函數y=p1x+p2，擬合模型和CFD值，得到表1。

綜合表1和圖11，徑向上下洗流轉換位置y=1.1R～1.2R處誤差最大，為6.6 m/s，原因可能為槳尖渦位置模型預測值與CFD并非完全一致，模型預測為上洗流時CFD還是下洗。軸向槳盤z=0處和洗流耗散將要衰減處（y=2R），誤差最大分別達到7.8 m/s和4.2 m/s。除個別極端點外，模型與CFD間徑向平均誤差小于1.71 m/s，平均相對誤差小于39.1%，軸向平均誤差小于2.26 m/s，平均相對誤差小于54.6%。除軸向y=0.5R外，模型與CFD線性擬合決定系數R2均大于0.72，均方根誤差RMSE小于0.52，說明模型可以經簡單線性回歸矯正達到同CFD仿真接近的效果。值得注意的是y=0.5R和y=0.9R的擬合系數p1小于0，說明模型與CFD數據負相關，原因是CFD曲線先增后減，而模型曲線是嚴格的增函數，導致遠離槳盤時誘速趨勢不一致。

對前飛情形，以Heyson曲線為基準，根據圖9、圖10計算模型與Heyson曲線間的誤差，并取絕對值設為E，如圖12所示。同樣計算各項誤差并線性擬合得到表2。

由于Heyson試驗數據已經做無維化處理，且無法獲知該因子v0，故無法得到真實速度誤差。無維化的意義是為不同參數的試驗或計算提供統一比較。對χ=45°，z=-0.2R，平均誤差0.2，最大誤差在滑流邊界x=±R。對χ=75°，z=-0.12R、z=0.3R，平均誤差小于0.71，中心和邊界處誤差最大。三條曲線的決定系數均大于0.73，最大為0.8，表明模型與試驗數據相關性較強。

實際尾流圓柱內部充滿渦量，且渦環半徑比理論值小，而渦環模型假定渦量自槳尖發出構成圓柱面，這是速度誤差的根源。模型計算值比實際小，但速度曲線形態一致，并有較強線性相關性，這就可以改進渦環模型，精細地向圓柱內補充渦量，或通過線性回歸調整模型數據，減小速度誤差。

3 討論

渦環模型能夠定量計算一般旋翼流場，不局限具體直升機型號，還可以定性分析速度規律，合理化噴頭布置。

設無維化系數w0=Γ/2πR，由式（1）、式（2）知實際速度依賴此系數，不同旋翼或直升機w0數值并不相同。對渦環模型而言，流場形態、徑向或軸向速度相對于平均速度的比例，不同直升機均為一致，只是絕對數值在變，需要乘以系數w0獲得真實速度。懸停情形［6］，有

w0=W/NπρΩR3

這樣飛機總重W、槳片數量N、空氣密度ρ、旋翼轉速Ω、旋翼半徑R等直升機具體參數均包含在無維化系數w0或環量Γ中，各參數影響最終通過w0體現。w0越大實際速度越大。一般農用單旋翼槳葉數N=2，故速度是總重W的增函數，是空氣密度ρ，轉速Ω，旋翼半徑R的減函數。不同作業環境下，空氣密度ρ變化較大，海平面與高原可相差30%～40%，誘速改變近30%，所以直升機高原作業時下洗速度變大。拉力T常與槳尖速平方成比例，T∝v2tip=（ΩR）2。即是說給定某直升機總重W（等于T）和旋翼半徑R，旋翼轉速Ω是W和R的因變量，并不能隨意變化。這正是一些輕型單旋翼直升機轉速高的原因，其槳盤直徑小，維持相同載荷必須通過高轉速彌補拉力。故懸停狀態流場主要受W、ρ、R的影響。又知R微小變化導致無維化系數w0與其三次方成反比，而同一區域地表空氣密度ρ變化不大，因此流場影響因素重要性排序為R、W、ρ。

前飛情況較復雜，可以認為［6］

w0=1－1.5μsinΨ1－1.5μ2WNπρΩR3cosi=FG

式子中包含F和G兩項。槳盤迎角i≈0，第二項與懸停相同。繪制第一項函數

F=1－1.5μsinΨ1－1.5μ2

關于前進比μ和方位角Ψ的云圖如圖13所示?？梢钥闯?，當方位角Ψ運行在三、四象限時比一、二象限誘導的流場速度大。μ增大，前行槳葉（一、二象限）誘速減小，后行槳葉（三、四象限）誘速增大。實際農用單旋翼直升機噴霧不可能考慮前后行槳葉情況，只能計及平均效應。根據式（7）誘速是航速的減函數。故前飛狀態流場主要受W、ρ、R、V∞的影響。由于前飛速度可控性最強，變化最靈活，按重要性前飛流場影響因素依次為V∞、R、W、ρ。這里僅從渦環模型予以理論分析，實際流場還很復雜，與槳葉幾何、飛行高度、作業環境等諸多因素相關。

當選定農用單旋翼直升機和作業環境后，流場便主要與V∞相關。前飛速度越小，流場越接近懸停狀態。懸?；蚪咏鼞彝r滑流內部氣流速度大，施藥效果好，但工作效率降低。所以應根據實際作業要求選擇合適前飛速度，在工作效率和施藥質量間達到平衡。

已知滑流外部為上洗流或微弱的下洗流，霧滴需要較長時間沉降，且受自然風影響，容易偏離靶標。那么應該根據尾流傾角χ調整噴頭位置和角度，使釋出霧滴落入滑流內部。目前單旋翼施藥時，相當部分噴桿沿y軸橫向布置在旋翼中央正下方。當增加前飛速度，滑流偏離中心，向后傾斜較大時，所有噴頭將裸露在滑流界外，無法利用下洗氣流，易于飄失。如果將噴頭向槳盤后緣移動，或噴桿縱向沿x軸放置，則可以利用后緣更大下洗流，提高施藥質量，減少飄失農藥帶來的環境污染。

4 結論

1） 本文針對目前農業航空領域流場研究成本高、耗時耗力狀況，提出一種基于半解析渦環模型用于旋翼流場速度計算。該模型簡單快速，在普通PC機（CPU 2 GHz，內存2 GB）上可2.8 s完成計算。模型與CFD仿真和試驗數據趨勢一致。

2） 懸停時徑向平均誤差小于1.9 m/s，平均相對誤差小于39.1%，軸向平均誤差小于2.26 m/s，平均相對誤差小于54.6%，除y=0.5R軸向截線外，其他模型數據與基準曲線間的線性擬合決定系數R2均大于0.72，最大為0.934 8。前飛時模型與試驗曲線的決定系數均大于0.73，最大為0.803 3。懸停時槳盤及下方0.5R區域內，中央下洗流較小，沿徑向速度增加，越過尾流區域后表現為上洗，迅速衰減。前飛時，槳盤后緣比前緣速度大。當前飛速度增大，滑流外速度方向由上洗逐漸水平呈卷揚氣流甚至變成下洗。

3） 旋翼流場主要影響因素依次是前飛速度、旋翼半徑、飛機總重、空氣密度。通常誘導流場速度隨飛機總重增加而變大，隨旋翼半徑、空氣密度、前飛速度增加而變小。

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基金項目：國家重點研發計劃項目（2017YFD0701000）

第一作者：金濟，男，1980年生，湖北荊門人，博士，講師；研究方向為植保施藥霧滴飄移建模。E-mail： ji_king314@scau.edu.cn

通訊作者：薛新宇，女，1969年生，江蘇蘇州人，博士，研究員；研究方向為植保機械與施藥工程。E-mail： 735178312@qq.com