分類討論思想在高中數學中的應用

李英

摘 要：本文就分類討論思想在高中數學中的應用進行簡要的分析與探討，希望能夠給數學教師提供一些有價值的教學建議.

關鍵詞：分類討論；教學方法；解題思路；數學能力

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）09-0009-03

隨著新課改的不斷深入，分類討論思想教學被廣泛地應用在課堂教學中.但在實際教育教學中，并沒有取得良好的課堂教學效果.由于教師的素質和經驗的差異性，使分類討論思想教學出現了各種各樣的問題，本文就此展開探討.

1 關于分類討論思想的概述1.1 分類討論思想的含義

眾所周知，數學是一門重視思維邏輯和思維發散的綜合性學科，它旨在提高學生解決數學問題的能力.通過將問題進行分解，幫助學生利用各種方式解決每個小問題，從而使學生依據自身的邏輯思維，撥開整體問題迷霧，進而促進學生解決問題.分類討論思想對拓寬學生思維、挖掘學生學習潛能，具有良好的推進作用.因此，從某種層面上看，分類討論思想是解決數學難題的關鍵，也是打開思維格局的“金鑰匙”.

分類討論思想在數學教學中的應用需要遵循相應原則，主要體現在以下幾方面：（1）同一性原則.所謂同一性原則是指在進行數學問題分類處理的過程中要按照同一個標準，如果標準不統一會造成分類層次謬誤的問題.比如，在高中數學探討有關函數單調性問題的過程中，需要按照同一個標準進行劃分，如按照函數遞增或者遞減來劃分，如果第一次是圍繞這一因素進行劃分，而第二次則圍繞別的因素劃分，就不符合分類討論思想的應用原則.（2）層次性原則.所謂層次性原則實際上是指在數學教學中對題目進行分類討論可能存在不同的層次，也就是對題目進行一次分類后，每個類別的下面還存在若干個小分類，遵循層次性原則進行分類討論能夠使學生層層進深地對問題進行思考和探究.而在遵循層次性原則進行分類的過程中，需要學生兼顧同一性原則，也就是每一層分類都要按照相同的標準進行，這樣才能確保分類探討的合理性與有效性.（3）互斥性原則.互斥性原則是指在數學分類討論中，子項之間是互不相容的.也就是說，在進行分類的過程中，教師要引導學生做到不重不漏，既不能漏掉某些元素，也不能讓不同子項中存在相同的元素［1］.

1.2 分類討論思想的作用

一直以來，學生在實際學習中很容易遇到無從下手的數學難題.由于思維出現盲點，難以理解一些怪的、奇的數學知識，導致學生無法解決相關的數學難題.隨著教育事業的發展和數學教學質量的提高，分類討論思想已成為一種重要的教學方法，它對提升學生審題能力、拓寬學生解題思路、提高學生解題能力有著十分重要的幫助.一方面，通過分類討論思想的應用，學生能夠在教師的引導下，由淺入深地思考、探究、討論數學問題，完善數學思維，幫助學生梳理與數學知識相關的知識，構建完整的知識體系.通過對問題的分解，降低了學生思考和解題的難度，而且通過各子項之間的關聯性，學生的思維更具邏輯性、縝密性.另一方面，通過分類討論思想的應用，提升了學生數學學習的主觀能動性，使學生在合作學習、自主探究中完成知識的學習和數學問題的思考，消除了學生對數學的厭學情緒，為提升數學教學實效提供了保障.在利用分類討論學習后，學生可以很輕松地解決數學難題.通過提高思維寬度和深度，有效提高了學生的數學思維品質［2］.

2 分類討論思想在高中數學教學中存在的問題

2.1 課堂組織學習較差，知識結構片面

隨著新課改的不斷深入，分類討論思想教學被廣泛地應用在課堂教學中.但在實際教育教學中，并沒有取得良好的課堂教學效果.由于教師的素質不同，經驗不同，這就使分類討論思想教學出現了各種各樣的問題.部分教師對分類討論思想的應用不夠重視，沒有認識到分類討論思想在數學教學中應用的重要性，在教學中仍然是按照傳統的教學形式，未能引導學生自主學習、思考和探究.再加上教師沒有掌握分類討論思想教育精髓，對分類討論思想的內涵、分類討論實施的方法和策略未能掌握，在具體的教學實踐中只是對學生進行了淺層次的知識滲透，致使學生只學到了分類討論思想的皮毛，只理解了題干內容，并沒有從真正意義上找到解題方法和辦法.

2.2 學生不能很好掌握討論方法

在實際教學中，由于教師過于追求教學進度，未能給學生自主討論、交流留有足夠的時間，往往是學生還沒有討論出結果，教師便打斷了學生的討論，由教師進行講解灌輸.這樣的分類討論活動流于形式，并沒有發揮其應有的作用，而且如此快節奏的教學進度也會給學生帶來嚴重的學習負擔.一些教師為了提升教學效果，生搬硬套一些分類討論思想教學法，沒有根據班級學生的實際情況、學習需求、能力水平針對性地設計分類討論方案，導致分類討論教學活動的開展與學生學情不符，學生參與程度較低，分類討論效果不理想，致使學生沒有足夠的時間消化所學知識，課下也不能進行及時的復習.久而久之，學生就會喪失學習興趣以及學習信心，從而不能較好地運用分類討論思想進行解題.分類討論思想能夠提升學生的思維格局，提升學生的解題能力.因此，教師必須給予足夠的重視.

2.3 學生對分類討論興致不高

一方面，在實際教學中，由于教學模式過于固化、缺少新鮮元素，致使學生在課堂上跟不上教師的教學節奏，學生對分類討論興趣并不高漲.長此以往，教師與學生就會失去探討學習的機會，也不能進行有效的數學知識交流，學生的數學成績變得越來越差，尤其是在學生對數學失去興趣后，很容易對學習出現恐懼的心理，從而喪失教學意義.另一方面，隨著教育事業的發展，分類討論教學法雖然得到了應用，但在實際教學中由于應用方法不夠成熟，沒有打造出一個良好的教學環境，給學生學習數學帶來了一定的壓力.在數學教學中，教師對分類討論理論的應用形式比較單一，雖然分類討論對于提升學生學習的主體性、調動學生參與數學討論學習的積極性以及促進學生數學知識的深度學習和數學問題的深入探討等都有重要價值，但是由于分類討論形式單一，久而久之會讓學生對分類討論失去興趣，不能積極參與教師組織的分類討論活動中，勢必會影響分類討論思想的應用效果.另外，教師長期不重視營造教學環境，缺少應有的實際練習，學生對于分類討論教學越來越陌生，無法自主歸類和總結題型，從而導致學習數學變得越來越困難.

3 分類討論思想在高中數學教學中的應用策略

3.1 改變教學方案，提升分類討論教育效果

傳統的教育方式已跟不上時代發展的形勢，各種新型的教學方法應運而生.為了提升學生的數學能力，教師必須重視改變教學方案，提升分類討論教學的質量.首先，教師應深入研究分類討論的目的與意義.通過觀察學生的學習狀態掌握學生的學習心理，不斷針對學生的學習能力進行有針對性的思維訓練，推進分類討論教學法的效用.

其次，教師應加強對課本教材的研究.通過調整教學細節內容不斷創新教學方法，從而使分類討論教學更加生動、形象，激發學生學習興趣，拓展其數學思維.最后，教師要加強教學方法的創新與豐富.分類教學思想在應用的過程中，教師還要注重創新豐富傳統單一的教學方法，采用多樣化的教學形式引導、啟發學生進行分類和討論，調動其參與分類討論的積極性，在此過程中要突出學生的主體地位，訓練并提升學生的邏輯思維和解題能力［3］.

3.2 注重教學引導，拓寬數學學習思維

隨著教學事業的發展，提高學生自主學習地位已成為一種必然.教師通過翻轉課堂教學，逐步發揮教師指導學習的效用，為學生拓展思維提供空間，全面推進學生學習數學.首先，教師應在課堂上，對學生進行更多的習題訓練.以問題為導向，指導學生審題、解題，幫助其找到解決問題的思路.其次，教師應注重教學重點內容，不能一味地給學生灌輸解題思路.教師應通過豐富學生的知識體系，訓練學生的思維能力，使學生在掌握解題方法的同時提升自身的運算能力.例如，教師在教“空間幾何體”時，需要依據平面幾何的知識內容，幫助學生構建立體空間模型，從而找到解題方向.由于空間幾何體所涉及的知識比較抽象，學生理解起來有一定難度，在以往的題目解答中，學生對空間幾何體題目的作答常常出現不完整的情況，比如只考慮到了某一方面情況，還有其他的情況未能分析到.因此，教師在空間幾何體的教學中要注重給學生滲透分類討論思想，讓學生掌握分類討論的方法，借助分類討論確保問題分析的全面性和具體性.比如“在空間四邊形ABCD中，已知AC與BD的長度相等，都為a，又已知AC和BD的夾角為60°，取AB的中點M，CD的中點N，求MN的長度.”這道題目中，教師要想引導學生構建立體空間模型，須通過模型幫助學生更加直觀地了解題目中各個數量之間的關系，然后再引導學生運用分類討論的方法，對∠MEN可能存在的情況進行分類討論，這樣一來，學生能夠借助分類討論準確作答題目，并從中感受到分類討論的便捷性與高效性.高中數學教學中能夠運用分類討論思想的教學內容有很多，比如在有關“概率”方面的內容教學中，教師也可以引導學生運用分類討論思想對具體的概率問題進行分析.借助分類討論思想可以使學生掌握科學的數學解題方法，在分析數學問題時條理更加清晰，解題效率更高，還能發散思維.

3.3 注重學習規律，加強學生習題訓練力度

眾所周知，數學是一門規律性強的學科.學生想要學好數學，就必須找到相應的數學規律.從某種層面上看，認知數學規律就是拓展數學思維的有效前提.基于此，教師應在實際教學中，給學生滲透發現數學規律的方法.通過加大習題訓練力度，不斷強化學生的數學能力［4］.首先，教師應讓學生主動認知解題的各個步驟.通過練習多種類型習題，不斷提升學生的數學思維能力，從而使其能夠更好地應對相似的類型題.其次，教師應幫助學生體驗和感悟數學.通過合理利用多媒體技術，給學生提供良好的學習環境.以學習興趣為導向，不斷培養學生思考和反思學習的習慣.最后，做好習題訓練的延伸與拓展，夯實分類討論.分類討論思想的應用不能只局限于課堂之上，也要向課下延伸，教師可以通過課后習題的方式來夯實分類討論，引導學生在課后習題中運用分類討論思想，提升課后習題訓練效果.教師在對學生進行習題訓練之前，需要結合教學內容以及學生數學水平，針對學生的學習缺點和不足明確習題訓練范圍，并將該范圍內的習題進行匯總與分類，找出其中可以應用分類討論思想的題目作為習題訓練的素材.在課后習題訓練中應用分類討論思想，教師要注重引導學生舉一反三，也就是在學生完成一個習題的訓練后，可以再給學生列出多個相類似的題目，使學生能夠熟練運用分類討論思想，提升其分析能力、解題能力.

4 結束語

分類討論思想在高中數學教學中的應用十分常見，為了提升學生的數學素質和能力，教師必須重視改良和創新教學方法，通過依托各種教學手段以及實際教學經驗，培養學生的數學素質.

參考文獻：

［1］劉朝清.高中數學教學中分類討論思想的應用探討[J].科學咨詢（教育科研），2023（05）：232-234.

[2] 陳秀君.淺析分類討論思想在函數單調性討論中的應用 [J].科學咨詢（教育科研），2021（04）： 111-112.

[3] 王秋華.高中數學課堂教學中分類討論思想的應用初探[J].中國新通信，2020，22（11）： 147.

[4] 李琳，閆笑麗.淺談分類討論思想在高中數學中的應用 [J].才智，2019（04）：116.