金四海, 范興亞
新疆大學數學與系統科學學院,新疆 烏魯木齊 830017
李群表示理論是近現代分析學的主要研究領域之一,隸屬于抽象調和分析范疇,是Fourier 級數和Fourier變換理論的深遠推廣,此方面的研究成果極大地推動了數學物理等相關學科的發展.悉知,酉表示中不可約表示的分解是李群表示理論研究的主要問題之一,目的是給出抽象的Plancherel公式,進而構造纏結算子來解決相關實際問題.在此分解中,離散譜的分解是一種極端的情況,此情況可以利用分析的工具來處理.基于此想法,本文在Hermitian型仿射對稱空間上考慮其離散譜的具體構造.從幾何結構方面來講,Hermitian型仿射對稱空間是偽黎曼對稱空間,此空間隸屬于半單對稱空間,據此賦予了Hermite結構的齊性空間.20 世紀80 年代初,Flensted-Jensen(1980)系統地研究了半單對稱空間上的離散序列表示,并得到離散序列表示存在的必要條件.Flensted-Jensen 的這一工作引起了許多表示論專家的關注,究其原因是此理論極大地繼承并發展了Harish-Chandra的經典離散序列表示(Harish-Chandra,1965).
近年來,Hermitian型仿射對稱空間上的離散序列表示受到了國內外廣大學者的關注.該領域主要關心的是Gelfand-Gindikin 問題(Gelfand et al.,1977).最近,Delorme et al.(2021)研究了扭曲離散序列表示,此離散序列表示旨在給出Gelfand-Gindikin 問題的回答,主要的方法是通過Bersentan 態射來構造Plancherel公式.此方法簡化了離散序列表示與主序列表示的復雜計算,主要判別工具是限制球根系是否為零向量空間,進而給出抽象的Plancherel公式.從理論方面來講,此方法值得推廣(韓威等,2023).但是在Hermite情形下,Delorme et al.(2021)的方法不能具體的構造扭曲離散序列表示,究其原因是限制球根系對應的極大交換子空間是一個零向量空間.至于0-扭曲離散序列表示,可以通過'Olafsson et al.(1988)的纏結算子來構造此序列.
根據Flensted-Jensen(1980)提出的必要條件,容易判定Hermitian 對稱空間SU( 1,2 )/SO( 1,2 )上存在離散序列表示.但沒有給出具體的形式,因此有必要去研究它的具體構造.基于'Olafsson et al.(1988)的思想,本文具體地構造纏結算子,進而展開研究SU( 1,2 )/SO( 1,2 )上的離散序列表示,并在限制球根系上,找到了判別離散序列表示存在的一個新的等價條件.在Plancherel 公式中Plancherel 測度的計算是一個核心問題.在Duistermaat et al.(1979)的基礎上,本文精確地計算了此具體情形下的Plancherel 測度,并得到了對應的Plancherel公式.
設SU( 1,2 )是SL( 3,C )的子群,此群保不定內積[z,z]= |z1|2- |z2|2- |z3|2,其中z=(z1,z2,z3) ∈C3.群SU( 1,2 )對應的李代數為su( 1,2 ).定義su( 1,2 )上的Cartan 對合為θ(X) = -X*,其中X*表示X的共軛轉置.在此對合意義下, su( 1,2 )有Cartan 分解k⊕p, 其中k ={X∈su( 1,2) |θ(X)=X}, p ={X∈su( 1,2) |θ(X)= -X}.此外,在su( 1,2 )上引進另外一種對合τ(X) =X?,其中X?為X的共軛,則有相應的τ分解h⊕q,其中h ={X∈su( 1,2) |τ(X)=X},q ={X∈su( 1,2) |τ(X)= -X}.易證θτ=τθ,結合此對合交換關系,得到su( 1,2 )關于θτ的正交分解
易證g+是su( 1,2 )的子空間,且對su( 1,2 )上的李括積運算封閉,則g+是su( 1,2 )的李子代數.設ap∩q是p ∩q的極大交換子空間,記作
注意,此處a的取法還有另外一種形式
此取法在下文計算根系時,所得根系與上面對應的結果一致,故此全文僅考慮第一種情形.
利用a在su( 1,2 )上的伴隨作用,可得根系±2α與±α所對應的特征向量分別如下
令a*是a的對偶空間,定義SU( 1,2 )在a下的根系為
其中α∈a*且α(X) =t,X∈a.Σ(su(1,2),a)的正根系為Σ+(su(1,2),a) ={2α,α}.由根系的反射可得Weyl群,此群同構于對稱群S2.
定義1設R是由{2α,α} 生成的半群,且R ?a*/{0}.設S={α}?R,定義壓縮錐為
注 1設aE={X∈a|?γ∈R,γ(X) = 0 },利用定義1,可知aE= a-∩(-a-)≡{0}.值得一提的是,aE≡{0}為仿射對稱空間SU( 1,2 )/SO( 1,2 )上存在離散序列表示的必要條件,這是Harish-Chandra 定理(離散序列表示存在性定理)的推廣.事實上,設a?= a + aE= a.利用條件aE={0},可知商空間a?/a沒有非平凡對偶,從而SU( 1,2 )/SO( 1,2 )中存在離散序列表示.這種離散序列表示稱為0-扭曲離散序列表示(Kr?tz et al.,2020),此0-扭曲離散序列表示恰好對應的是SU( 1,2 )/SO( 1,2 )中的離散序列表示,具體見文獻(Kr?tz et al.,2020).結合Flensted-Jensen(1980)的定理1.1,只需驗證條件:
此條件可根據SU( 1,2 )的極大環面的維數證實,從而SU( 1,2 )/SO( 1,2 )滿足Flensted-Jensen條件.
引理1g+的根系為Σ( g+,a )={±α},其對應的Weyl群同構于對稱群S2.
證明由k,h,p和q的定義,可知
于是
的常數倍.利用上式,結合g+的定義,可知Σ( g+,a )={±α}.g+的Weyl群由根系Σ( g+,a )={±α}的反射組成,此群同構于對稱群S2,引理證畢.
注2利用引理1,得到Σ( g+,a )的素根系為I={α}.定義aI?{X∈a |α(X) = 0 },易證aI={0},此條件暗示了在限制根系意義下,SU( 1,2 )/SO( 1,2 )上不存在非零扭曲離散序列表示.
設n = n(Σ+(su( 1,2 ),a )),定義P=LN為SU( 1,2 )中τθ不變的極小拋物子群,其中N= exp (n),L是a在SU( 1,2 )上的中心化子,即
設L=MA,其中M是τ穩定子群,
定義2子群P誘導SU( 1,2 )的主序列表示定義為:
其中ρ為正根和的一半,σ是M的離散序列表示,λ∈ia*.
現具體構造M的離散序列表示,其記號為(σ,Vσ).
引理2M/(M∩H) ?SU( 1,1) /SO( 1,1) ,其中H= SO( 1,2).
證明由于M是L的τ穩定子群,則M?SU( 1,1).設
從而
引理證畢.
證明結合文獻(Duistermaat et al.,1979),可知ia*上的Plancherel測度為
設ρ為Σ(g,a )的半根系,其中
利用正特征向量的重數,得到
從而
于是
現將c(λ)代入式(1),此命題得證.
定理1(Plancherel公式) 仿射對稱空間Z= SU( 1, 2 )/SO( 1, 2 )上的Plancherel公式為
其中σ±n和dλ如上所述,F2r+4-|ν|見下文.
首先構造定理1 中的離散序列表示部分.本部分的構造需要一些準備和技巧.提醒讀者的是,如下所定義的符號和第2節定義的單位圓盤不同,因此空間的定義域和指標也不盡相同.
其中dz是Lebesgue測度,ν∈R.如果|ν| >2,|ν|∈Z+,定義Hilbert空間
特別地,如果 |ν|= 3,那么H3(B)是經典的Bergman空間.定義群SU( 1, 2 )在Hν(B)上的酉表示為
設(λ1,λ2)為2l的拆分,即(2l,0),(2l- 1,1),…,(l,l)共有l+ 1種取法.定義兩個集合Λ+和Λ-滿足
為了行文方便,分別記Λ+以及Λ-中的元素為λi1,λi2,其中i1,i2∈{1,2}且i1≠i2.
引理6(鐘家慶,1989) 設l>0,z1,z2∈C,則
其中
在引理6 中,函數S(λ1,λ2)(z1,z2)稱為Schur 函數,具體實例見文獻(鐘家慶,1989).定義Laplace-Beltrami 算子為
且
對于任意的z∈B,通過Laplace方程的正則化理論,我們可定義Hm(B)上的光滑閉子空間
這里
令m>2且m∈2Z+,定義在B上的分布向量為
易證
結合表示π(ν見式(2)),可知v0(z)是一個SO( 1, 2 )-不變的分布向量.
命題3設Ap= exp ( ap),對于任意的at∈Ap,有
證明設t∈R,且
利用式(2)~(3),可知
引理7對于任意g∈SU( 1, 2 ),有Cartan-Berger分解g=kah,其中k∈K,a∈Ap,h∈SO( 1, 2 ).
設x0=eSO( 1, 2 ).根據引理6、文獻('Olafsson et al.,1988),以及SU( 1,2 )/SO( 1,2 )=·x0, 有
其中dk是K上的規范Haar測度,且
定理2 設m>2,則
證明 利用式(4),有
此外,對于Re(α) >-1且Re(β-α) >0,定義Beta函數
取α= 1,β=m- 1,有
利用Gamma函數的性質,可知m>2,定理證畢.
由引理3,定理2,可得以下結果:
其中x∈SU( 1,2 )/SO( 1,2 ).根據文獻('Olafsson et al.,1988),容易得到空間
此空間關于SU( )1,2 的表示是不可約的.于是,對于k∈K,at∈Ap,存在一個非零復數c使得
其中χ為K的不可約特征標.
現只需證明Im1 ∈L2(SU( 1,2 )/SO( 1,2 )).為了證明這一事實,下文需要用到Bergmann 空間的一些結構,即循環向量的技術來表明此事實.悉知,常值函數1 在表示πm意義下是Hm(B)的循環向量,即對于任意的g∈SU( 1,2 ),πm(g)1 線性張成的空間在Hm(B)中稠密.對于1 ∈Hm(B),利用式(3)、引理4 和定理3,可知m>2 且m∈2Z+,即Fm的指標與Hm(B)的指標一致,可知Fm?Hm(B).因為特征標函數χ(k)是一個類函數,從而Im1 ∈L2(SU( 1,2 )/SO( 1,2 )),定理證畢.
歸結起來,由引理6以及定理3,定理1得證.