單調

在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是____.試題精巧凝練,樸實干凈,給人以清爽的感覺,體現了數學的簡潔美,是一道不可多得的好題. 此題既可運用通性通法進行嚴謹的解答,體現扎實的“本手”;也可以借助導函數的單調性給出精簡的解答,體現靈巧的“妙手”.解法1(本手) 對f(x) 求導得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此由f(x)在(0,+∞)上單調遞增可知因即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0, 從而a(1

在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是____.試題精巧凝練,樸實干凈,給人以清爽的感覺,體現了數學的簡潔美,是一道不可多得的好題.此題既可運用通性通法進行嚴謹的解答,體現扎實的“本手”;也可以借助導函數的單調性給出精簡的解答,體現靈巧的“妙手”.解法1(本手) 對f(x) 求導得f′(x) =axlna+(1+a)xln(1+a),因此由f(x)在(0,+∞)上單調遞增可知.因, 故, 即-lna≤ln(1+a),也即ln[a(1+a)] ≥ 0,

導數,判斷函數的單調性,從而求其最值;三是回歸雙參的不等式證明,把所求的最值應用到雙參不等式,即可證得結果.1 真題重現學生解決這道真題主要有三種方法,展示如下:解法1 將blna-alnb=a-b變形為令f(x)=x(1-lnx),則f(m)=f(n),不妨設m2.要證m+n>2?n>2-m?f(n)令g(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),則g′(x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)]≥-ln1=0.所以g(x)在區間(0,1

論函數f(x)的單調性;(2)若?x1∈(0,+∞),?x2∈[-2,-1],使得2f(x1)≤f(x2),求實數a的取值范圍。2.已知函數f(x)=ex-ksinx在區間內存在極值點α。(1)求實數k的取值范圍;(2)求證:在區間(0,π)內存在唯一的β,使得f(β)=1,并比較β與 2α的大小。(1)討論函數f(x)的單調性;(2)設函數g(x)=(3-a)x-f(x)有兩個極值點x1,x2(x15.已知函數(1)試判斷函數f(x)的零點個數;6.設a

)在(0,+∞)單調遞增.g′(1)=2e-2>0，且當0當x>x0時，g′(x)>0，g(x)單調遞增.故g(x)min=g(x0)=x0ex0-x0-lnx0-1.由g′(x0)=0,得即x0ex0=1，lnx0+x0=1.因此g(x)min=g(x0)=0.xex-3ax-lnx-1≥g(x)≥0，滿足題意.xex-3ax-lnx-1又g(x0)=0，所以x0ex0-3ax0-lnx0-1不滿足題意.分析2觀察不等式的結構，從而產生聯想，進行指對同構

■彭向陽函數的單調性是函數的一個重要性質,同學們初學函數的單調性,必須深刻理解定義,“咬文嚼字”進行對比學習。一、“函數沒有單調性”和“函數不單調”例1討論函數f(x)=kx+b的單調性。解析此函數的定義域為R,對于?x1,x2∈R,且x1>x2,則f(x1)-f(x2)=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)。因為x1>x2,所以x1-x2>0。當k>0 時,k(x1-x2)>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),可知此函數

■胡 磊函數的單調性定義的等價形式:設任意x1,x2∈[a,b],x1≠x2,若(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或,則f(x)在區間[a,b]上是增函數;若(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]下面舉例說明函數單調性的應用。例1若函數y=-|x-a|與y=在區間[1,2]上都是嚴格減函數,則實數a的取值范圍為_____。解:y=-|x-a|的圖像關于x=a對稱,且在x=a的左側單調遞增,在x=a的右側單調遞減,要在區間[1,2]上單調遞減,

x在(0,1)上單調遞減，在(1,+)上單調遞增，所以f(x)min=f(1)=1，所以x-lnx≥1，因為exlnx+mx2+(1-ex)x+m≤0，所以ex(lnx-x)+mx2+x+m≤0，所以所以當00,當x>1時,g′(x)因此g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+)上單調遞減， 所以g(x)max=g(1)≤0，所以正實數m的取值范圍為所以當00，當x>1時，h′(x)所以H(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+)上單調遞增，所以由(1)

，討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.解(1)f(x)在(-,0)上單調遞減，在(0,+)上單調遞增(過程從略).當x∈(-,-1)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；當x∈(-1,+)時，g(x)單調遞減，于是gmax(x)=g(-1)=e.又從而f(x)有兩個零點的充要條件為則的取值范圍為).例2(2020年全國卷1理科21題)已知函數f(x)=ex+ax2-x.(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；解(1)f(x)在

x∈[1,m]上單調遞增。故f(x)max=f(m)=lnm-am-b,f(x)min=f(1)=-a-b。因為存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立,所以存在x0∈[1,m]使得f(1)≤-1或f(m)≥1成立,即a+b≥1,或lnm-am-b≥1。若a+b＜1且lnm-am-b＜1,則不存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立。則lnm-a(m+1)＜2,即lnm＜a(m+1)+2。因為a＜0,所以lnm＜2,0＜m＜e2。故當存在x0∈

在(0,+∞)上單調遞增。在(0,x0)上,f'(x)＜0,f(x)是減函數;在(x0,+∞)上,f'(x)＞0,f(x)是增函數。所以f(x)的最小值是f(x0),其中x0滿足f'(x0)=0,即1+lnx0+2ax0-3a=0。因此,f(x0)=x0lnx0-ax0+1+a(x0-1)2=x0(3a-1-2ax0)-ax0+1+a(x0-1)2=(1-x0)(a+ax0+1)。①當x0=1,即a=1時,f(x)的最小值為0,此時f(x)有一個零點。由g

)在[0，1]上單調遞增；當x∈(1，2)時，φ "(x)＜0，于是φ(x)在[1，2]上單調遞減。3 2.(1)當a=1時，y=f(x)=l n2x—2 l nx+1，令t=l nx∈[—1，2]，所以y=t2—2t+1=(t—1)2。當t=1時，取得最小值0；當t=—1時，取得最大值4。所以f(x)的值域為[0，4]。(2)因為f(x)≤—al nx+4，所以l n2x—al nx—2a—1≤0恒成立，令t=l nx∈[—1，2]，所以t2—a t—2

0,函數f(x)單調遞減;當x∈(-1,3)時,f'(x)＞0,函數f(x)單調遞增;當x∈(3,+∞)時,f'(x)＜0,函數f(x)單調遞減。已知函數f(x)在區間[-2,2]上的最大值為2 0,f(x)=-x3+a x2+b x+c=-x3+3x2+9x+c,f(-2)=2+c,f(2)=2 2+c,f(-1)=c-5為最小值。若f(-2)=2+c=2 0,即c=1 8時,則f(-1)=c-5=1 8-5=1 3為最小值;若f(2)=2 2+c=2

論函數f(x)的單調性；(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2)) 的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k=2-a？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.(1)討論f(x)的單調性；時隔二年，試題2與試題1如出一轍；時隔九年，試題3與試題1又如出一轍.②若a-11，故10.故f(x)在(a-1，1)上單調遞減，在(0，a-1)，(1，+∞)上單調遞增.③若a-1>1，即a>

重要的內容，函數單調性是進一步研究函數圖象與性質的關鍵環節。以導數為載體的含參函數問題的圖象和性質研究是高考考察的熱點和難點。解決此類問題的常見方法是：求導后進行分類討論，而如何進行分類討論則是解題的難點，本文以近年高考試題和模擬題中含參數導數問題為例，從“有無、大小、內外”六字分類法揭開含參單調性討論的神秘面紗。一、導數為零是否有解（有無，內外）例1.已知函數f（x）=Inx+a（1-x）討論f（%）的單調性。解：f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x

+∞)上“先嚴格單調上升后嚴格單調下降”，呈“倒浴盆”形；（2）f(t)在t∈(0,β)上“先嚴格單調上升后嚴格單調下降”，呈“倒浴盆”形，而在 t∈ [β,+∞ )上“嚴格單調下降”。證明由于β為刻度參數，不失一般性，設β=1，并記 ε(t)=-，則對t＞ 0，令函數對t＞ 0，令函數（ⅱ）類似于（?。?，對0＜ t＜ 1，令函數對0＜ t＜ 1，令函數2 BS（α，β）分布失效率函數的圖像特征文獻［14］主要利用了文獻［30］的結論，證明失效率函數呈“倒

09)三角函數的單調性是三角函數的重要性質，在三角函數的各種問題中都能見到單調性的獨特應用之處，特別是在比較大小、求三角函數的單調區間，解不等式等方面有著不可替代的作用.一、利用三角函數的單調性比較大小分析將各個值化為同名的三角函數,且角在同一單調區間內,再利用三角函數單調性求解.點評比較兩個三角函數值的大小常常先將它們化為同名函數，然后將角化為在該函數的同一單調區間內的角．最后利用函數的單調性來比較函數值的大?。?、利用三角函數的單調性求單調區間三、利用

)討論f(x)的單調性；(3)設c>1，證明當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.當00，f(x)單調遞增；當x>1時，f′(x)(2)由(1)知，f(x)在x=1處取得最大值，最大值為f(1)=0，所以當x≠1時，lnx(3)由題設c>1，設g(x)=1+(c-1)x-cx，則g′(x)=c-1-cxlnc．當x0，g(x)單調遞增；當x>x0時，g′(x)所以當x∈(0,1)時，1+(c-1)x>cx.試題新解(1)(2)略.(3)由題設x∈(0

學院 熊 燈一、單調有界數列的基本理論若數列的項滿足不等式則稱該數列為遞增(遞減)數列，遞增數列和遞減數列稱為單調數列。對任意一數列如果存在某個實數A使得不等式恒成立，則稱A為數列的一個上界，同樣地，如果存在某個實數B，使得不等式恒成立，則稱實數B是數列的一個下界，如果一個數列既有上界，又有下界，則稱該數列有界，此時又存在一個正數M，使得單調有界定理∶在實數中，有界數列必有極限。二、求單調有界數列的方法數列在求極限時，我們事先并不知道數列的極限值，我們可以

x)在(0,3)單調遞增，(3，+∞)單調遞減.∴03.要證a+b>6只要證b>6-a>3,即證F(b)>F(6-a).∵F(a)=F(b)，即證F(a)令P(x)=F(x)-F(6-x),0即證3(t+1)lnt令p(t)=3(t+1)lnt-6(t-1),t∈(0,1),∴p′(t)在(0，1)單調遞減，∴p′(t)∴p(t)在(0，1)單調遞減，∴p(t)題后反思 上述方法中的前兩種方法的本質實際上是一樣的，都是把零點通過單調性偏移到極值的同一側，便

用導數研究函數的單調性在某個區間[a，b]上，如果[fx>0]，那么函數[y=fx]在這個區間上單調遞增；如果[fx<0]，那么函數[y=fx]在這個區間上單調遞減.例1 已知[f（x）=ax-lnx+2x-1x2，a∈R].（1）討論[f（x）]的單調性；（2）當[a=1]時，證明：[f（x）>fx+32]對任意的[x∈1，2]成立.解析 （1）先求[f（x）]的導函數，然后對[a]進行分類討論，得到[f（x）]的單調區間.由題意得，[fx的定義域為0，

來刻畫集值映射的單調性龍天友,葉明露,李 軍(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637009)首先回顧了集值映射和二元函數的幾種單調性,包括單調、嚴格單調、強單調、偽單調、擬單調以及弱單調,并定義了二元集值函數的這幾種單調性,同時舉出大量例子說明這些單調性之間的關系。最后,利用二元實值函數和二元集值函數的六種單調性分別刻畫了集值映射的六種單調性。集值映射;二元函數;單調性條件0 引 言許多數學模型,包括優化問題、多目標優化問題、變分不等式問題、不動

學　岳峻復合函數單調性的求解策略安徽省太和中學岳峻我們知道，在復合函數y=f［g（x）］中，若內層函數u=g（x）在區間（a，b）上具有單調性，當x∈（a，b）時，u∈（m，n），且外層函數y=f（u）在區間（m，n）上也具有單調性，則復合函數y= f［g（x）］在區間（a，b）上一定是單調函數。單調性的判斷規律可總結為：對于內層函數和外層函數，同增同減復合增，增減相異復合減，簡而言之：同為增，異為減。函數的單調性是高考的重點和熱點內容之一，其中復合函數的

宋志春函數的單調性是函數的一個非常重要的性質，在高考中經常會碰到有關函數單調性求解的問題，需要同學們重視.下面通過例子來說明此類問題的求解策略.一、掌握幾種常見函數的單調性，求復合函數的單調區間復習過程中要熟練掌握幾種常見函數（如一次函數、二次函數、反比例函數、指數對數函數及三角函數）的單調性，并能利用復合函數單調性的性質求解復合函數的單調性問題.

10004）淺議單調有界函數的極限鄧 敏（湖南交通職業技術學院 湖南長沙 410004）本文闡述、舉例說明了由“單調有界數列必有極限”不能得到“單調有界函數必有極限”這一結論的理由，并進一步討論了單調有界函數極限存在的條件。單調有界 數列 函數 極限 極限過程一、引言“單調有界數列必有極限”是微積分學的基本定理之一，是《高等數學》中證明第二個重要極限公式的一個重要預備定理，因為數列是一種特殊函數，所以很多學生就想當然的認為“單調有界函數必有極限”，甚至有些

f(x)在D上的單調性；（3）若k＜-6，求D上滿足條件f(x)＞f(1)的x的集合（用區間表示）。分析：（2）由（1）可知函數f(x)的定義域D為：在同一直角坐標系中畫出g(x)與h(x)的圖像，如下圖所示：由上圖可知在(-∞,x1)，g(x)＞0,h(x)＞0且g(x),h(x)都為減函數，∴g(x)·h(x)為減函數，從而f(x)為增函數；在(x3,-1)，g(x)＜0,f(x)＜0且g(x),h(x)都為減函數∴g(x)·h(x)為增函數，從而f(

限的計算方法中，單調有界原理是一種非常有效的方法.有些數列的極限，用其它方法不一定能求出極限值，用單調有界原理卻能迎刃而解.應用單調有界原理求極限時，許多情況下，往往是證明數列單調增加有上界，或者單調減少有下界，由此確定數列有極限.定理 單調有界數列必有極限.這個定理就是單調有界原理（證明略）［1］50－55.還有一類數列，求它的極限要用到單調有界原理，卻不清楚它是單調增加還是單調減少的.這類數列極限的求法，可以考慮一種新的思路，先證明它是單調的，不用知道