鄒守文
2007第三屆北方數學奧林匹克第8題為
設△ABC的內切圓半徑為1,三邊長BC=a,CA=b,AB=c.若a、b、c都是整數,求證:△ABC為直角三角形.
文[1]中劉康寧先生指出,該題曾刊登于《數學教學》2000年第1期“數學問題”欄.其實該題曾作為1988年四川省賽題[2],筆者在文[2]中給出下面的問題:
求所有滿足條件的三角形的三邊長:(1)三角形的三邊長為整數;(2)三角形的內切圓半徑為2.
上述兩題分別等價于:
△ABC的周長是面積的2倍和△ABC的周長等于面積.
下面給出此類問題的一般性結論有:
求滿足下列條件的三角形的三邊長:(1)三邊長是整數;(2)周長是面積的整數倍.
解:設三角形的三邊長為a,b,c,周長是面積的k(k為整數)倍,由海倫公式,知
a+b+c=k?a+b+c2?a+b-c2?b+c-a2?c+a-b2,則4?a+b+c2=k2?b+c-a2?c+a-b2?a+b-c2①
注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?!?/p>