三角形的三邊關系在一類問題中的應用

范林　李艷

近幾年來，在江蘇各地高三模擬試題中，發現一類關于隱含三角形三邊關系的題型常常出現，學生感到很難下手，找不到突破口.本文通過幾個例題，讓大家感受如何挖掘題目中隱含的三角形三邊關系.

例1已知△ABC的三邊長a、b、c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，則ba的取值范圍為.

分析從題目中的結果出發，利用三角形的三邊關系，消去變量c.

解因為b+2c≤3a，所以2c≤3a-b.

因為兩邊之差小于第三邊，

所以c>a-b，c>b-a，

即3a-b>2（a-b），

3a-b>2（a-b），解得a+b>0，

5a>3b.

所以ba<53.

因為c+2a≤3b，所以c≤3b-2a.

因為c>a-b，c>b-a，

所以3b-2a>a-b，

3b-2a>b-a，解得4b-3a>0，

2b-a>0.

即ba>34.又由于ba<53，所以34

評注本題可以用題目中兩個條件和三角形三邊關系，同時除以a后，再換元，用線性規劃方法處理.

例2已知三角形ABC的三邊長為a，b，c，滿足b+c≤2a，c+a≤2b，求ca的取值范圍.

分析從題目中的結果出發，利用三角形的三邊關系，消去變量b.

解由題意知

b+c≤2a，

c+a≤2b，

a+b>c，

a+c>b，

b+c>a，同時除以a，得到ba+ca≤2，

ca+1≤2（ba），

1+ba>ca，

1+ca>ba，

ba+ca>1.

令ca=x （x>0）， ba=y （y>0），

所以x+y≤2，

x+1≤2y，

1+y>x，

1+x>y，

x+y>1.

其可行性區域如圖1所示，

所以0

即0

例3已知三角形ABC的三邊a，b，c成等差數列且a2+b2+c2=84，求b的取值范圍.

分析三角形三邊成等差數列，想到三個數成等差數列的常用設法，設公差大于等于0，簡化計算.

解令a=b-d，c=b+d （d≥0），

由于a2+b2+c2=84，

則（b-d）2+b2+（b+d）2=84，

所以3b2+2d2=84，即2d2=84-3b2.

由于d2≥0，所以0

因為任意兩邊之和大于第三邊，c為最大邊，

所以a+b>c，即2b-d>b+d，即b>2d，即b2>4d2，

所以b2>2（84-3b2），即b2>24，b>26.

又因為0

評注不少學生的答案是0

例4在三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2=ac，求sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC的取值范圍.

分析從結果出發，遇切化弦，根據條件轉化成邊，利用三角形三邊關系求解.

解sinA+cosAtanCsinB+cosBtanC=sinA+cosAsinCcosCsinB+cosBsinCcosC

=sinAcosC+cosAsinCsinBcosC+cosBsinC=sin（A+C）sin（B+C）=sinBsinA=ba.

由三角形三邊關系得到b2=ac，

a+b>c，

a+c>b，

b+c>a，

a>0，b>0，c>0，

所以b2

b2>a（a-b），②

b2>a（b-a）.③

由①得（ba）2-ba-1<0，則0

由②得（ba）2+ba-1>0，則ba>5-12，

由③得（ba）2-ba-1>0，則ba∈R，

所以5-12

以上是對三角形三邊關系應用的初步研究，在解題時，要善于挖掘題目中三角形隱含條件，構造不等式或轉化.