轉化思想在梯形問題中的運用

劉少偉

梯形問題常常通過添加輔助線轉化為三角形或平行四邊形的問題，再利用熟知的三角形或平行四邊形知識來解決.添加輔助線的策略有以下幾種.

（1）平移一腰（或兩腰），即從梯形的一個頂點作一腰的平行線，把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）.

（2）過頂點作兩條高，即從同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉化成一個矩形和兩個直角三角形（圖2）.

（3）延長兩腰交于一點，把梯形轉化為三角形（圖3）.

（4）過一腰的中點作輔助線.連接一個頂點與一腰的中點并延長，與一條底邊的延長線相交，把梯形轉化為三角形（圖4）.

（5）平移對角線，即從梯形的一個頂點作一條對角線的平行線，把梯形轉化成平行四邊形和三角形（圖5）.

例1（2008年·泰安）如圖6，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別是AD、BC的中點.若∠B與∠C互余，則MN與BC-AD的關系是（）.

A. 2MN>BC-AD B. 2MN

C. 2MN=BC-AD D. MN=2（BC-AD）

解析：問題中涉及線段BC與AD的差，若作平行一腰的輔助線，很容易找到BC-AD，但與線段MN無法比較.所以，我們不妨靈活一點，過點M分別作兩腰的平行線ME、MF（如圖7），容易知道四邊形ABEM、DCFM均為平行四邊形，從而有BE=AM=MD=FC.又BN=NC，故EN=NF，且EF=BC-AD.又∠MEN+∠MFN=∠B+∠C=90°，則∠EMF=90°.根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，2MN=EF= BC-AD，故選C.

評析：由于本題是選擇題，故也可以用特殊值法解，設∠B=∠C=45°，易知答案為C.

例2（2008年·青島）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC， 對角線AC平分∠BAD，∠B=60°，CD=2 cm，則梯形ABCD的面積為（）cm2．

A． 3 B． 6 C． 6 D． 12

解析：如圖8，分別過點C、D作CF⊥AB于F，DE⊥AB于E.

因對角線AC平分∠BAD，則∠DAC=∠BAC=∠DCA，AD=CD=2 cm.BC=2 cm.

在Rt△DEA與Rt△CFB中，根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，可知AE=BF=1 cm，故DE= cm.

∴S梯形ABCD=（CD+AB）·DE=3 cm2，故選A.

評析：當題目中出現平行線與角平分線時，要注意會有等腰三角形出現.

例3（2008年·威海）如圖9所示，四邊形ABCD為一梯形紙片，AB∥DC，AD=BC．翻折紙片ABCD，使點A與點C重合，折痕為EF．已知CE⊥AB．猜想EF與BD的位置關系，并說明理由.

解析：觀察圖形，容易猜想EF∥BD.如何說明理由呢？如圖10，連接AC交EF于K，根據折疊的意義容易發現K為AC的中點.若將對角線BD平移到CH的位置，在△ACH中，只要說明點E是AH的中點，由三角形中位線定理，便可得解.

過點C作CH∥BD，CH交AB的延長線于點H.連接AC，AC交EF于點K，則AK=CK.

因AB∥DC，四邊形BHCD是平行四邊形，故BH=CD，BD=CH．

因AD=BC，故 AC=BD=CH.

因CE⊥AB，故AE=EH.

所以EK是△AHC的中位線．

所以EK∥CH.從而EF∥BD．

評析：本題也可以這樣思考（盡量利用折疊的特性）.因∠AEC=90°，由折疊的性質知∠AEF==45°.又AE=CE，Rt△AEC等腰，故∠EAC=45°.因梯形ABCD等腰，故易知∠DBA=∠CAB=45°.故∠AEF=∠ABD，EF∥BD.

例4（多選題）（2008年·黃岡）如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°.E為AB上一點，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD.則下列結論中正確的有（）.

A. ∠ADE=∠CDE B. DE⊥EC

C. ∠AED=∠BEC D. CD=AD+BC

解析：延長DE交CB的延長線于點F，如圖12.由ED平分∠ADC，可得∠ADE=∠CDE，故A成立.由AD∥BC，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，可得∠CDE+∠DCE=（∠ADC+∠BCD）=×180°=90°，故∠DEC=90°，即DE⊥EC.又∠CDF=∠ADE=∠DFC，故CD=CF.根據等腰三角形的三線合一性質，知E是DF的中點，進一步可證△BEF≌△AED，BF=AD，CD=CF=BF+BC=AD+BC，故B、D都正確.C錯誤.綜上，正確的有A、B、D.

評析：本題有平行線和角平分線，利用了等腰三角形.

跟蹤練習： 1. 在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且AC=5 cm，BD=12 cm，則梯形中位線的長為（）.

A． 7.5 cmB． 7 cmC． 6.5 cmD． 6 cm

2. 如圖13，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD.DE∥AC，DE交BC的延長線于點E，∠B=2∠E．求證：AB=DC.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。