《圖形的平移與旋轉》復習全攻略

陳路飛

一、教材解讀

1． 平移

在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．平移不改變圖形的形狀和大小.

理解這個概念應注意以下兩點：

（1）平移是指平面圖形在同一平面內的變換．

（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離．

經過平移，對應點所連的線段平行且相等；對應線段平行且相等；對應角相等．

“對應點所連的線段平行且相等”，這個性質可作為平移作圖的依據．

2． 旋轉

旋轉是指由一個圖形繞著一個定點沿某種方向旋轉一定角度后形成另一個圖形．旋轉后，直線仍然變成直線，線段變成和原來線段相等的線段，平行直線仍為平行直線，并且旋轉后的圖形與原圖形全等．

運用旋轉變換的關鍵在于選好旋轉中心和旋轉角．

旋轉變換在解題中的應用主要有以下兩個方面：

（1）在題設條件與結論間聯系不易建立或條件分散不易集中利用的情況下，通過旋轉變換鋪路架橋．

（2）圖形錯綜復雜，圖形中等量關系較多，可通過旋轉變換，移動部分圖形，讓相等的部分有所聯系，使題中隱蔽著的關系明朗起來，從而找到解題途徑．

二、常見考點透視

1． 平移概念及其特征

例1 如圖1，有一條小船，若把小船平移，使得點A平移到點B．

（1）請你在圖中畫出平移后的小船；

（2）若該小船先從點A航行到岸邊L上的點P處，再航行到點B，如果要求航程最短，試在圖中畫出點P的位置．

解析：（1）平移后的小船如圖2所示；

（2）如圖2，作點A關于直線L的對稱點A′，連接A′B交直線L于點P，則點P即為所求．

評注：平移的最顯著特征就是不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置．

2． 旋轉的概念及其特征

例2 如圖3所示，把一個直角三角板ABC繞著30°角的頂點B順時針方向旋轉，得到△EBD.點C、B、E在同一直線上．

（1）三角板旋轉了多少度？

（2）連接CD，試判斷△CBD的形狀.

（3）求∠BDC．

解析：（1）由∠ABC =∠DBE = 30°，則∠CBD=180°－30°=150°．

故三角板旋轉了150°．

（2）根據旋轉的性質， 則BC=BD．

所以，△CBD是等腰三角形．

（3）由（1）、（2）知，△CBD是等腰三角形，∠CBD=150°．

所以，∠BDC =（180°－150°）= 15°．

評注：要注意平移與旋轉的區別和聯系．

3． 簡單的圖案設計

例3 （1）如圖4，在方格紙中（每個小方格都是邊長為1個單位的正方形），如何通過平移或旋轉兩種變換，由圖形A得到圖形B，再由圖形B得到圖形C？（對于平移變換要求寫出平移的方向和距離；對于旋轉變換要求寫出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度）

（2）圖5是某設計師設計的圖案的一部分，請運用旋轉變換的方法，在方格紙中將該圖形繞點O順時針依次旋轉90°、180°、270°，依次畫出旋轉后所得到的圖形.將得到的圖形涂上合適的陰影，你會得到一個美麗的圖案.你來試一試吧！

解析：（1）由圖形A得到圖形B： 圖形A向上平移4個單位后得到圖形B.由圖形B得到圖形C： 先將圖形B向右平移4個單位后，以點P2為旋轉中心，順時針旋轉90°，即得圖形C．

（2）運用旋轉變換的方法，按照要求進行作圖，如圖6所示．

4． 平移與旋轉性質的應用

例4 數學課上，老師先讓同學們觀察圖7，然后問：“它繞著圓心旋轉多少度后可與它自身重合？”甲同學說是45°；乙同學說是60°；丙同學說是90°；丁同學說是135°．以上四位同學的回答中，錯誤的是（）.

Ａ． 甲Ｂ． 乙Ｃ． 丙Ｄ． 丁

解析：分析圖7，一個圓被分成8個小部分，故最少旋轉=45°就能與它自身重合.同時，旋轉45°的倍數也能重合.于是可知，四位同學的回答中，只有乙同學的回答錯誤，故選B．

評注：此類問題，只要分析出圖形被平均分成了幾個部分，然后用部分數除周角，即可確定旋轉的最小角度了．

例5 在梯形ABCD中，AD∥BC ，∠B+∠C=90° ，AB=4 cm，CD=3 cm．求BC-AD的值．

解析：如圖8，將CD平移，到AE的位置， 由平移的性質可知：EC=AD，AE=CD=3 cm，∠AEB=∠C．

因為 ∠B+∠C=90°，所以∠B+∠AEB=90°．

所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°．

由勾股定理，得BE===5（cm）．

所以BC-AD=BE=5 cm．

評注：平移前后對應點的連線平行且相等，對應線段平行且相等，這些都是很重要的性質．

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。