《數據的代表》復習指導

朱元生

一、知識梳理

1. 平均數

（1）算術平均數：對于n個數x1，x2，…，xn，我們把（x1+x2+…+xn）叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數，用表示.

（2）權：加權平均數中的權，表示各個數據的比重，反映了各個數據在這組數據中的重要程度.

（3）加權平均數：如果在n個數中，x1出現 f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk 次（f1+f2+…+fk=n），則=（x1 f1+x2 f2+…+xk fk）叫做加權平均數.

2. 中位數

（1）中位數的定義：一般地， n個數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數（或最中間兩個數的平均數）叫做這組數據的中位數.

（2）中位數的求法：先將要求中位數的數據按從小到大（或從大到?。┑捻樞蜻M行排列，然后根據數據個數確定中位數.若數據個數為奇數，則最中間的一個數據就是這組數據的中位數；若數據個數為偶數，則最中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.

注意：中位數不一定是這組數據中的數.

（3）中位數僅與數據的排列位置有關系.當一組數據的個別數據相差較大時，不宜用中位數來描述這組數據的集中趨勢.

3. 眾數

（1）眾數的定義：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.

（2）眾數的求法：①弄清各個數據重復出現的次數；②找出出現次數最多的數據.

注意：眾數是出現次數最多的數據，而不是出現的次數；一組數據的眾數有時不止一個，當出現次數最多的數據是n個時，則這組數據的眾數就有n個.

（3）眾數是對數據出現次數的考查，只與這組數據中部分數據有關.當一組數據中有數據多次重復出現，以至于其他數據的作用顯得相對較小時，眾數可以在某種意義上代表這組數據的整體情況.

二、重點、難點

1. 重點：平均數、中位數及眾數的概念及有關計算.

2. 難點：加權平均數的理解和計算；不同情境中， 平均數、中位數及眾數的比較與選擇.

三、錯解剖析

例1 眾志成城，抗震救災．某小組7名同學積極捐出自己的零花錢支援災區.他們捐款的數額分別是（單位：元）：50，20，50，30，50，25，135．這組數據的眾數和中位數分別是（）.

A． 50，20B． 50，30C． 50，50D． 135，50

錯解：選B.

剖析：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.在這組數據中，20出現1次，25出現1次，30出現1次，50出現3次，135出現1次.50是出現次數最多的數據，所以眾數是50.

求一組數據的中位數，要先將這組數據按從小到大（或從大到?。┑捻樞蜻M行排列，然后根據數據個數確定中位數.錯解沒有先將這組數據進行排列，就將最中間的數據30當成這組數據的中位數，導致錯誤.

正解：選C.

例2 在一次捐款活動中，某班50名同學都拿出了自己的零花錢，有捐5元、10元、20元的，還有捐50元和100元的.圖1反映了不同捐款數的人數比例，那么，該班同學平均每人捐款元.

錯解：=（5+10+20+50+100）=37，即為所求.

剖析：錯解忽視了這些數據的“權”.扇形統計圖反映了不同捐款數的人數比例，可以看出各個數據在這組數據中的重要程度（權重）不一樣. 在扇形統計圖中，可把各部分的百分數看做各部分的權重.認清數據及各數據對應的權重是解決此類題的關鍵.

正解：=5×8%+10×20%+20×44%+50×16%+100×12%=31.2，即為所求.

四、典例精析

例3 圖2是交警在一個路口統計的某個時段來往車輛的車速情況．請分別計算出這些車輛行駛速度的平均數、中位數和眾數.（結果精確到0.1）

分析：要正確運用計算一組數據的平均數、中位數和眾數的方法進行計算，并注意本例的平均數是加權平均數.

解：從條形統計圖可以看出，車速為50 km/h的有2輛，為51 km/h的有5輛，為52 km/h的有8輛，為53 km/h的有6輛，為54 km/h的有4輛，為55 km/h的有2輛，車輛總共為27輛.

這些車輛的平均速度為：

=（50×2+51×5+52×8+53×6+54×4+55×2）≈52.4（km/h）．

將這27個數據按從小到大的順序排列，處于最中間位置的一個數是52， 因此中位數是52．在這27個數據中，52出現了8次，出現的次數最多，所以這組數據的眾數是52.

例4 汶川大地震牽動著全國億萬人民的心.某校為地震災區開展了“獻出我們的愛” 賑災捐款活動．八（1）班50名同學積極參加了這次賑災捐款活動.表1是小明對全班捐款情況的統計表.

表中有兩處不慎被墨水污染，已無法看清，但已知全班平均每人捐款38元．

（1）請計算出被污染的數據，并寫出解答過程.

（2）該班捐款的眾數、中位數分別是多少？

分析：根據班級人數和表中人數可求得被污染處的人數，再根據全班平均每人捐款數可求得被污染處的捐款數，進而求得該班捐款的眾數和中位數.

解：（1）由50-3-6-11-13-6=11，可知被污染處的人數為11.

設被污染處的捐款數為x，則3×10+6×15+11×30+11x+13×50+6×60=50×38.

解得x=40.即被污染處的捐款數為40.

（2）處于最中間位置的兩個數都是40，因此這組數據的中位數是40.

在這50名同學中，捐款50元的同學最多，有13人，所以眾數是50.

例5 某市廣播電視局欲招聘播音員一名，對A、B兩名候選人進行了兩項素質測試，兩人的兩項測試成績如表2所示．根據實際需要，廣播電視局將面試、綜合知識測試的得分按3∶2的比例計算兩人的總成績.那么，誰將被錄用？

分析：由于面試和綜合知識測試的得分的重要程度不同，所以本題須用加權平均數公式來計算兩人的成績.

解：A==88 （分），B==89 （分）.

所以B將被錄用.

點評：這是用加權平均數來解決實際問題的實例.權表示數據的重要程度.權有兩種表示形式:百分數和整數比.

例6 （2008年·沈陽）在學校組織的主題為“喜迎奧運，知榮明恥，文明出行”的知識競賽中，每班參賽的人數相同.成績分為A，B，C，D四個等級，相應的得分依次為100分，90分，80分，70分.學校將某年級的一班和二班的成績整理并繪制成統計圖（分別如圖3、圖4）.

請你根據以上提供的信息解答下列問題.

（1）此次競賽中二班成績在C級以上（包括C級）的人數為.

（2）將下面表格補充完整.

（3）從下列不同角度對這次競賽成績進行分析.

①從平均數和中位數的角度來比較一班和二班的成績.

②從平均數和眾數的角度來比較一班和二班的成績.

③從B級以上（包括B級）的人數的角度來比較一班和二班的成績．

解：（1）因為各班參賽的人數相同，從條形統計圖上可以看出，各班的參賽人數均為25.從扇形統計圖中可以看出，二班C級以上（包含C級）的人數占84%.所以此次競賽中二班成績在C級以上（包括C級）的人數為84%×25=21.

（2）根據上述兩幅統計圖可知，一班成績的眾數為90，二班成績的中位數為80.

（3）略.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。