帶電粒子在電場中的三類運動

劉　偉

第一類 在勻強電場中的運動

帶電粒子受到恒定的電場力，我們可以用牛頓第二定律和動能定理兩種方法求解。由于動能定理同時也適用于非勻強電場，因此應用范圍更廣，普適程度更高。

（一）初速度方向與電場線平行

①當粒子帶正電時，一直做勻加速運動，由動能定理得：qU=mv2－mv20，v=

②當粒子帶負電時，一直做勻減速運動，由動能定理得：－qU=mv2－mv20，v=

我們注意到不論粒子電性是什么，射出小孔時的速度是由極板電壓U，粒子的比荷q/m和初速度v0共同決定的，而與極板間距d，場強大小E等其他因素無關。

（二）初速度方向與電場線垂直

帶電粒子受恒定電場力，沿曲線做勻變速運動，也叫類平拋運動。由于電場力對粒子做正功，因此射出電場后，粒子的動能一定增加。由于粒子的軌跡是曲線，運用運動的合成與分解是我們處理此類問題的主要思路。如圖2所示，質量為m，電量＋q的粒子，由中間沿平行水平極板AB的初速度v進入電場后，將在電場中發生偏轉，所以我們把這樣的電場叫做偏轉電場，描述粒子經過此電場發生偏轉的特征量為側移y和偏向角φ，它們之間存在著確定的定量關系：y=，tanφ=，y=tanφ。

雖然粒子事實上是沿拋物線射出電場的，但我們往往把它等效為從正中間O點沿著直線射出電場，這樣就用更簡單的直線代替曲線處理問題，特別是一些裝置（如擋板、熒光屏等）擺放空間位置交代明確的，依據“直線射出”，應用相似三角形的關系處理，可以收到很好的效果。

圖2

如果初速度方向與電場線成任意角θ（θ不等于0°、90°、180°），那么粒子在電場中就做“類斜拋運動”，我們仍可以用運動的合成與分解的思想來解決。

第二類在非勻強電場中的運動

（一）利用U=Ed作定性判定

如圖3所示，帶正電粒子沿電場線從a經b到c，已知ab和bc間的距離相等，判斷動能的增量ΔEKab和ΔEKbc的大小。

解析 由動能定理qU=ΔEk可以作出判定，所以只需比較Uab和Ubc的大小。U=Ed在定量的計算上只能用于勻強電場，但在定性的判斷上我們可以拓展它的范圍，應用于非勻強電場中。由電場線的分布我們知道，ab間的平均電場強度比bc間的小，它們間的距離相等，因此必有Uab＜Ubc，故ΔEKab＜ΔEKbc 。

（二）利用帶電粒子的電性、電場力做功正負、電場線疏密作定性判定

如圖4所示，靜電場的電場線為實線，某帶電粒子的軌跡ab為虛線。

分析此類問題一般都從三個角度入手：

１． 從力的角度：由電場線疏密判斷聯系著力的物理量（如F、E、a等）。b處更密，粒子在b處的F、E、a均大一些。

２． 從能量的角度：由指向軌跡凹處力的大致方向與軌跡切線的夾角確定電場力做功的正負，再由動能定理（或能量守恒定律）判斷聯系著能量的物理量（如Ek、E電、v等）。從a到b電場力做正功，b處粒子的動能Ek大，速度v大，由能量守恒知電勢能E電小。

３． 從電勢角度：由受力大致方向結合粒子電性，通過確定電場線方向來判斷電勢。由于粒子電性未知，我們不能確定電場線的方向，也就不能判斷電勢的高低。

帶電粒子在非勻強電場中一般做非勻變速曲線運動，特殊的可以做勻速圓周運動（粒子繞中心電荷的運動），我們通常用動能定理（qU=ΔEk）或能量守恒來確定物理量的值。

第三類 在交變電場中的運動

帶電粒子在交變電場中受到方向周期性變化的電場力作用，從總體上看粒子體現出三種基本的運動形式，一般都從兩條思路去處理。

思路一：階段分析法。分析粒子在一個周期內各階段（以力方向的變化來劃分階段）的運動情況，再考慮運動的周期性。

思路二：v-t圖象法。根據已知條件作出粒子運動的v-t圖象來分析。

如圖5所示，質量為m，帶電量為＋q的粒子，原來靜止于豎直放置、間距為d的平行金屬板間，兩極板間所加的電壓U隨時間t的變化如圖6所示。根據極板間加上電壓的不同時刻，粒子的運動可能存在著三種基本的運動形式。

基本形式一：一直向某一極板運動

設在t＝0時刻兩極板間加上電壓，并以右為正。

①0~內，F=q，s1=at2=T2

在t＝時，v1=at=

向右做勻加速直線運動。

②~T內，s2==T2

v2=v1－at=0，向右做勻減速直線運動。

即粒子在一個周期內一直向右運動，先做勻加速運動再做勻減速運動，總位移s＝s1+s2＝T 2，末速度v2=0，以后重復這樣的運動。

對應的v-t圖象如圖7所示。

如兩極板是在t＝時刻加上電壓，粒子的運動情況類似，只是一直向左運動。

基本形式二：往復運動

設在t＝時刻兩極板間加上電壓，并以右為正。

①~內，水平向右做勻加速直線運動。

s1=T2v1=

②~內，水平向右做勻減速直線運動。

s2=T2v2=0

③~T內，水平向左做勻加速直線運動。

s3=T2v3=

④T~內，水平向左做勻減速直線運動。

s4=T2v4=0

粒子在一個周期內~，向右運動的最遠距離2s1=T2，而總位移為零。

一個周期結束時，粒子恰好回到原靜止點（即出發點），恢復到原先的初始運動狀態。以后重復這樣的運動，對應的v-t圖象如圖8所示。

如兩極板是在t＝時刻加上電壓，粒子的運動類似，只是開始時向左運動。

基本形式三：一周期時間總體向某一方向運動，周期內運動有往返

設在t＝時刻兩極板加上電壓，并以右為正。

①~內，水平向右做勻加速直線運動。

s1=T2 v1=

②~內，水平向右做勻減速直線運動。

s2=T2 v2=0

③~T內，水平向左做勻加速直線運動。

s3=T2 v3=

④T~內，水平向左做勻減速直線運動。

s4=T2 v4=0

粒子在一個周期內~，向右運動的總位移為s=2s1－2s2=T2，一個周期結束時，粒子速度恰好為零，以后重復這樣的運動，對應的v-t圖象如圖9所示。

如兩極板是在t（除0、、、外）時刻加上電壓或極板上的電壓大小正負半軸不同，粒子的運動仍然是類似的，只是在一個周期內通過的總位移大小和方向有所不同而已。

在具體的題設情景下，要能完整、清晰、充分地描述粒子在交變場中的運動，解讀其運動本質，我們往往需要把兩種方法結合起來分析：通過階段分析展示粒子在各個過程中運動的細節，才能真正理解為什么這樣運動和怎樣運動，側重的是分析這個過程；通過v-t圖象直觀地再現了粒子的整個運動，物理量值間的關系簡約明了，側重的是解題這種手段。題給條件（臨界條件、隱含條件、極值條件等）的不同，會約束粒子的運動，這些限制性的條件是需要我們解題時仔細挖掘的。