普通光源的時空相干度分析

張國華

(山東省海洋環境監測技術重點實驗室 山東省科學院海洋儀器儀表研究所 山東青島 266001)

1 引言

在自然界中，兩束光相遇經常發生，但干涉現象并不多見，原因在于干涉現象必須滿足一定的條件才會出現．下面是必要條件:

(1)兩列光波的頻率相同;

(2)兩列光波的光矢量的振動方向相同或存在相平行的振動分量;

(3)兩列光波在相遇點位相差恒定或光源的初位相恒定．

補充條件:

(1)相干光的振幅不能相差太大;

(2)相干光的光程差不能太大，最大不能超過波列長度．

以上條件在常規條件下難以滿足，原因在于實際光源的復雜性．其中光源的非單色性和寬度是影響光波相干性的兩個重要因素［1］．

時間相干性和空間相干性正是從光源的非單色性和寬度兩個角度來描述對光波相干性的影響．在教學和實驗中，一般是分別講述時間相干性和空間相干性，對統一的理解時空相干性造成困難．本文在光源的非單色性和寬度對干涉條紋可見度影響公式的基礎上推導出普通光源的時空相干度的計算公式．

2 光源的非單色性對干涉條紋可見度的影響——時間相干性

嚴格的單色光是不存在的，實際光波只能看成線寬為Δλ的許多不同頻率成分的理想單色波的疊

加［2］．

圖1為楊氏雙孔實驗．設波列長度ΔL=Nλ，其中λ為波列的中心波長．根據光強的極值條件，當兩相干波列在P點的光程差δ=kλ時，P點的光強有最大值Imax．假設一個空間周期的單個擾動在P點產生的光強為I0．而此時兩波列中的相干部分為相長干涉，故重疊部分單個擾動在P點產生的光強為4I0．

圖1 楊氏雙孔干涉實驗

如圖2(a)所示，兩波列共有(k+k)個單波和(N－k)個重波到達P點，所以P點的光強為

同理，與P點相鄰的暗紋P'點的疊加情況如圖2(b)所示，兩波列中的相干部分為相消干涉，則P'點的光強為

圖2 兩相干波列的疊加

根據定義，P點附近的可見度為

上式表明，兩相干光波疊加時，能產生干涉現象的最大光程差δmax等于光波波列長度ΔL，即相干長度．當準單色光的單色線寬Δλ越小，相干長度ΔL越長，光源的相干性就越好．這種由單色光的單色線寬(或相干長度)所決定的光源的相干性稱為時間相干性［3～4］．

3 光源的寬度對干涉條紋可見度的影響——空間相干性

嚴格的點、線光源是不存在的;實際光源上任一點或線都可看成點光源或線光源．每一點和線光源都要產生自己的一套干涉條紋，彼此錯開，屏上總強度為各套干涉條紋的非相干疊加［2］．

圖3 楊氏雙縫干涉實驗

圖3 是楊氏雙縫干涉實驗示意圖．設光源S是縫寬為b的縫源，當R與L均遠大于縫間寬度t時，光程差和位相差分別為

P點的總光強Ip是所有縫元在P點所產生的光強的非相干疊加，即

干涉條紋的可見度為

4 普通光源的時空相干度分析

以上是通過楊氏實驗討論光波的時空相干性．實際上，光波的時空相干性是普遍存在的，與實驗裝置無關．如圖4所示，光源S是寬度為b，單色線寬為Δλ的普通光源，光波的中心波長是λ．下面在光源S的光場中確定與給定點O處光波相干的光波所在點的范圍，并推導出此范圍內各點處的光波與O點處的光波的相干度的計算公式．時，雖然V不一定為零，但起伏較?。?，通常把θ＜也為定值．設C為光場中的任一點，由于光波的空間相干性，光線SC與光線SO的夾角θ必須小于θ0，即C必在頂角為2θ2的 圓錐體中．又因Δλ給定，所以?

圖4 普通光源時空相干示意圖

已知b與λ給定，則為定值．由于時間相干性，C點處的光波與O點處的光波的光程差應小于δmax，因此C點必在球冠A與球冠B之間的區域中．

首先討論線段AB．在此線段上光線SC與光線SO的夾角θ=0，故僅存在時間相干性問題．由于該線段上，C，O兩點處的光波的光程差δ＜ΔL，因此C，O兩點處的光波是相干的．因為兩光束的相干度等于其干涉條紋的可見度(γ=V)，［5］所以可通過討論干涉條紋的可見度來討論光波的相干度．由于線段AB上僅存在時間相干性問題，C，O兩點處的光波等光程相遇后產生的干涉條紋的可見度相當于單色線寬為Δλ的點光源在楊氏實驗中產生的級干涉條紋的可見度，僅受C，O兩點處的光波的光程差δ的影響，即

當δ≥ΔL時，即C選在球冠A，B之外(或恰好選在球冠A，B上)時，γ =V=0，說明此時C，O兩點處的光波是不相干的．

當0＜δ＜ΔL時，0＜γ=V＜1，即C，O兩點處的光波是部分相干的．

當δ=0時，γ=V=1，即C，O兩點處的光波是完全相干的．

由于線段AB上的任一點處的光波與O點處的光波是相干的，且干涉中僅存在時間相干性問題，稱之為O點的相干線域．即當給定光場中一點的相干線域時，則知該線段上的任一點的光波與給定點處的光波是相干的，相干度僅與兩點處的光波的光程差有關，即

然后討論曲面O．在此曲面上，C點處的光波和O點處的光波無光程差，故僅存在空間相干性問題，稱之為O點的相干面域．由于該面域位于頂角為2θ0的圓錐體內，即光線SC與光線SO的夾角θ＜θ0，故C點處的光波和O點處的光波是相干的，其相干度等于干涉條紋的可見度，僅受光線SC與光線SO的夾角θ的影響，即

δ＜1;當θ=0時，即C，O兩點重合時，γ=V=1．

最后討論頂角為2θ0的圓錐體與球冠A，B相交的整個區域．由以上討論可見，僅有該區域內的光波才與給定點O處的光波相干，稱之為相干體域．若給定光場中一點的相干體域，則知該體域內任一點處的光波與給定點處的光波是相干的．其相干度λ與兩點對光源中心的夾角θ和兩點處光波的光程差δ有關，即

相干體域從整體上反映了光源發出光波時空相干性的好壞;即在D0一定的情況下，相干體域越大，說明該光源發出的光波的時空相干性就越好;反之，光源發出的光波的時空相干性就差．

1 劉坤英，范汝鹽．光學．北京:中國科學技術出版社，1994．182～228

2 孔艷，朱益清，朱拓．時間相干性的進一步精確描述．江南大學學報(自然科學版)，2003，2(4):421～422

3 田興時．光學．昆明:云南大學出版社，1996．85～90

4 謝莉莎．光場時間相干性的描述．物理通報，2000(11):9～10

5 吳詩敏．關于兩光波干涉條件和相干度的討論．贛南師范學院學報，1996(6):25～27