線性代數直觀化教學模式的探索與研究

高桂英 劉怡娣 張鶴 高旭彬

摘要：線性代數是大學數學一門重要基礎課，該課程的理論比較抽象，初學者不易深刻理解。為使教師更好地講授這門課，學生更好地掌握其要領，本文結合教學實踐，提出一些切實可行的教學方法，對線性代數形象化，直觀化的教學模式做了有益的探索。

關鍵詞：形象化；線性代數，幾何圖形。

中圖分類號G420

線性代數是大學數學的一門重要基礎課，不僅將為學生后續專業課的學習打下基礎，而且還可以培養他們運用數學思維解決實際問題的能力，同時也為部分學生學歷晉升做必要的準備。因而理工科院校對線性代數的教學歷來都十分重視。如何講好這門課程，同樣是數學老師關注和探討的話題。本文結合自己多年教學工作的一點收獲，就線性代數授課中引入直觀化教學模式談一些看法和感想。

1.1 多元化人才需求對線性代數教學賦予新任務

隨著社會的進步，時代的發展，社會上用人單位對人才的需求也在發生變化，趨于多元化，更多的是由過去的“知識型”轉變為“應用型”。走出校門的畢業生單有理論知識而不會應用，在社會上已經很難立足。為了適應這種變化，我們的教學方法也應該做出適當的調整，在保證學生學好理論知識的同時，培養學生對數學的興趣。特別注重知識向能力的轉化。

1.2 學生的實際特點對線性代數課提出新要求

線性代數這門課的特點比較抽象、枯燥?，F行的線性代數教材多數是抽象地引出概念，盡管有時也從例子中引出，但是有的例子本身就很復雜，不好理解。對于習慣于中學學習方式的本科生來說，初學線性代數往往感到困難較大。他們雖然思維活躍、求知欲強，但抽象思維能力較差，不少學生在學習線性代數的過程中，只是形式上地接受、模仿、做題，沒有抓住線性代數的本質，久而久之，對學習失去興趣?；蛑皇菫榱藨犊荚?，學過了也不知道如何應用。造成這種情況的一個重要原因就是對抽象概念缺少形象的展示。因此如何將線性代數教學直觀化、形象化，應做為一個有著實際意義的探討話題。

1.3 線性代數直觀化的教學模式探索

1.3.1挖掘相關定義和定理所隱含的實際背景

線性代數的許多概念都有其蘊含的背景。挖掘出這些實際背景，對學生學習將會有很大的幫助，使他們對抽象的概念接受不再感到枯燥乏味，而是真實貼切。比如講矩陣的概念時，我們從方程組，運輸問題，電路理論等引出概念，還加入了人們所熟知的田忌賽馬【1】5-6的故事：春秋戰國時期，齊王與其手下大將田忌賽馬，雙方各出上、中、下三等馬各一匹比賽，在同等馬中，田忌的馬均處于劣勢，但田忌的上等馬可戰勝齊王的中等馬，中等馬可戰勝齊王的下等馬。由于田忌采用了孫臏的建議，最后贏得了齊王的千金賭注。事實上，這是一個對策問題，在比賽中，齊王和田忌的馬匹可以隨機出陣，那么每次比賽雙方的勝負情況就要根據雙方的對陣情況來定。出陣的可能策略為：策略1（上、中、下）；策略2（中、上、下）；策略3（下、中、上）；策略4（上、下、中）；策略5（中、下、上）；策略6（下、上、中）。

如果齊王和田忌依次使用上面6種策略進行比賽，那么齊王的勝、負情況就可以用下面的矩形數表來表示。其中齊王采用的策略用橫向行表示，田忌采用的策略用縱向列表示。

田忌策略

.

說明：策略1（上、中、下）表示按先后出陣的順序派上等馬、中等馬、下等馬。其他策略解釋類似。每場比賽中，如果齊王的馬匹三戰全勝，則用數3表示；如果2勝1負，則用數1表示；如果1勝2負，則用數-1表示。

這個矩形數表就是矩陣。通過這些事例的引入，學生在趣味盎然的氣氛中進入了矩陣知識的學習。

1.3.2用學生熟悉的知識對比講解

學生對線性方程組的問題比較熟悉，從中學起就開始接觸。線性代數中不僅行列式的概念可以從解線性方程組問題中引出，其他的概念，如矩陣、矩陣的秩，向量組的秩，向量組的線性相關性等問題。以至于矩陣的初等行變換都可以與解方程組的過程對照講解。

例如在中學代數里，用加減消元法求解二元、三元線性方程組時，常需對方程組進行下列同解變形：

（1）交換兩個方程的位置；

（2）用一非零常數乘以某一方程；

（3）把某個方程乘以一個非零常數后加到另一方程上去。

如線性方程組 ，

把第一、第二兩個方程的位置互換，得

，

將第一個方程的-2倍加到第二個方程上，-4倍加到第三個方程上，得

，

將第二個方程的-1倍加到第三個方程上，得

，

再經過類似的變換得方程組的解為

。

而我們知道，方程組的解取決于變量前的系數和常數項部分，每個方程組都對應一個矩陣，因而方程組的每一次變換相當于對矩陣進行一次同樣的變換，這樣就輕松地引出了矩陣的初等變換的概念。即互換第任意兩行；將某行各元素乘以非零常數 ；將某行各元素乘以非零常數 后加到另外一行的對應元素上。

1.3.3結合幾何圖形，使抽象問題形象化

以二次型的問題為例。把一個二次型化為標準型是線性代數的常見運算。為什么要化為標準型？實質上，化標準型的過程中，借助了正交變換【2】134-135。由于正交變換沒有改變向量的模，從幾何上看，只是將坐標系旋轉，用二次型表示的圖形本身并沒有變化。而圖形在新的坐標系下，其表達式是一個標準的解析表達式，其所表示的幾何形狀一目了然。例如直角坐標系 下，曲線 經坐標變換后在直角坐標系 下變為 ，顯然所代表的曲線是橢圓。如圖1所示，這樣用幾何的觀點討論二次型的問題，學生接受起來就不會感到茫然。

圖1

1.3.4增加各知識點的相關應用，激發學生學習興趣

行列式的應用除了人們所熟知的解線性方程組的問題，還可以應用行列式求三角形面積。如圖2，要求三角形 的面積，設 ，則 ，而

圖2

再如，求如圖3所示的平行六面體的體積，

圖3

設 ，則立方體的體積為 ，其中

再如特征值和特征向量的問題一直都是比較抽象的概念，學完后如何用一直困擾著學生，其實它的應用很多，例如判別系統穩定性的問題，人口增長問題，斐波那契（Fibonacci）數列問題，生物基因遺傳問題，以及差分方程的問題、多元函數的極值問題等都可以使用特征值和特征值向量的有關知識來處理。以上內容可以在課堂上選取一二進行講解，而可作為應用實例供學生課后閱讀。

簡而言之，根據筆者的感受，在抽象的線性代數中，引入了形象化、直觀化的教學模式，無論是老師講解還是學生學習，都會收到較好的效果。相信這種做法如果推廣開來，不僅對線性代數，而且對其他的數學學科的學習，都是一個很好的借鑒。

參考文獻：

【1】 Xie Guorui(謝國瑞).Linear Algebra and its Applications[M].Beijing: Higher Education Press.1999 (in Chinese).Pages:5-6.

【2】Bai Tongliang(白同亮)，Gao Guiying(高桂英).Linear Algebra and its Applications[M].5th ed.Beijing:University of Posts and Telecommunications Press.2010 (in Chinese).Pages:134-135.