王光宇
(上海市松江教師進修學院附屬立達中學 上海 201600)
如圖1所示,設想某人提起啞鈴處于自然狀態Ⅰ,如圖1(a).而后將啞鈴緩慢抬起處于狀態Ⅱ,如圖1(b).由狀態Ⅰ到狀態Ⅱ,人-啞鈴系統的質心發生了改變,不難想象,系統質心位移應與啞鈴質量和位移有關.那么,假如只是剛體的一部分發生了平移(簡稱“動體”),而另一部分保持在原來的位置(簡稱“靜體”),則剛體質心發生了位移,試問剛體質心位移與哪些因素有關?本文借用能量、力矩、動量等方法對其進行理論分析,供讀者在教學中參考.
圖1 人提起啞鈴
圖2
動體平移前后剛體的重力勢能
Ep=Mgh
(1)
(2)
由式(1)、(2)得出剛體重力勢能的變化量
Mg(h′-h)=MgΔh
(3)
由于剛體重力勢能的變化主要由于動體的位置變化引起,所以,剛體重力勢能的變化量應由動體的變化確定
ΔEp=mglcosθ
(4)
由式(3)、(4)得
MgΔh=mglcosθ
即
剛體質心沿OOM方向變化量
(5)
同理,剛體質心沿垂直OOM方向變化量
(6)
圖3
動體平移前、后剛體重力力矩
MG=MglOA
(7)
(8)
由式(7)、(8)得重力力矩變化量
(9)
由于剛體重力力矩的變化由動體位移引起,所以剛體重力力矩的變化量等于動體力矩的變化量
ΔMG=mglcosθ
(10)
由式(9)、(10)得
MgΔh∥=mglcosθ
即剛體質心位移沿OOM方向的變化量
同理,剛體質心沿垂直OOM方向變化量
圖4
(M-m)u=m(v-u)
(11)
由式(11)得
經時間t, 動體質心的相對位移為l,固連于剛體上的O點位移
(12)
將lOO′在OOM方向和垂直OOM方向分解,則剛體質心位移沿OOM方向變化量
剛體質心位移沿垂直OOM方向變化量
質心平移定理:平面剛體的一部分發生平移時,對于剛體和其移動部分,兩者質心位移方向相同,且位移比等于其質量的反比.
圖5
(13)
(14)
由式(14)得
定理得證.
討論:
(1)當m=M時,可得
即
lOO′=l
所以,當m=M時,相當于剛體發生整體平移,質心位移等于剛體的位移,如同一人站立某處,向前跨一步,仍保持原來的姿勢,質心也隨人體向前平移相同的距離.
(2)當m?M時,可得
即
lOO′=0
所以,當m?M時,平移后,剛體的質心位置幾乎沒有變化,如同一人站立,一根頭發被風吹起,頭發的位移對人體質心位移影響可以被忽略,質心位置不變.
(3) 動體沿OMO平動,即θ=0 或θ=π,可得
由質心平移定理,平移后剛體的質心可通過作圖求得,步驟如下:
(3)在直線OP上求作質心點O′,滿足
【例1】如圖6所示,質量均勻分布,長度為L的直桿,繞距離右端l處彎折θ角,求彎折后桿件的質心.
圖6
由質心平移定理得,剛體質心位移與動體質心位移方向一致,位移大小為
質心由O→O′點,O沿OMO方向平移
O沿垂直OMO平移
討論:
圖7
圖8
(3) 彎折部分繞彎折點旋轉一周,質心運動軌跡.
以O點為坐標原點,以OOM為x軸,垂直OOM方向為y軸,建立平面直角坐標系,則質心參數方程
消去參數θ角,可得質心O的軌跡方程
質心平移定理給質心位置的確定提供了又一思路,尤其是因部分平移引起的質心位置變動問題.該方法帶來了諸多便捷,通過作圖即可確定變動后的質心位置,教學或是競賽輔導中常見的大多都是規則幾何體變化而來的問題,由于剛體原質心已知,變動后的質心便可方便地確定.
參考文獻
1 程稼福.中學奧林匹克競賽物理教程力學篇.合肥:中國科技大學出版社,2002
2 舒幼生.關于質心的定義.大學物理,1987,25(2):27
3 沈晨.更高更妙的物理.杭州:浙江大學出版社,2010
4 漆安慎,杜嬋英.普通物理學教程 · 力學(第二版).北京:高等教育出版社,2005